第七單元第七單元 立體幾何立體幾何創(chuàng)新課堂創(chuàng)新課堂第七單元第七單元第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì) 1.直線和平面垂直:(1) 定義:如果一條直線l和一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都垂直,則該直線與這個(gè)平面垂直;(2) 判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與這個(gè)平面垂直;知識(shí)匯合知識(shí)匯合(3) 性質(zhì)定理:垂直于同一平面的兩條直線互相平行. 2.直線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在此平面上的射影所成的銳角,叫做這條直線和平面所成的角.一條直線垂直于平面,我們說(shuō)它們所成的角是直角;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi),我們就說(shuō)它們所成的角是0角.3.空間平面與平面垂直:(1)判定定理:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直;(2)性質(zhì)定理:垂直于同一平面的兩條直線平行;兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.題型一線線垂直題型一線線垂直【例1】如圖，ab=CD，EAa，垂足為A，EBb，垂足為B，求證：CDAB.證明：ab=CD，CDa，CDb.又EAa，CDa，EACD，同理EBCD.EACD，EBCD，EAEB=E，CD平面EAB.AB平面EAB，ABCD. 典例分析典例分析 題型二線面垂直題型二線面垂直【例2】如圖，已知四棱柱PABCD中，底面ABCD是直角梯形，ABDC，ABC=45，DC=1，AB=2，PA平面ABCD，PA=1.(1)求證：BC平面PAC；(2)若M是PC的中點(diǎn)，求三棱錐MACD的體積題型三面面垂直題型三面面垂直【例3】(2011聊城模擬)如圖，菱形ABCD所在平面與矩形ACEF所在平面互相垂直，已知BD=2AF，且點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)(1)求證：AM平面BDE；(2)求證：平面DEF平面BEF.(1)如圖，設(shè)ACBDO，連接OE，由題意得EM EF ACAO.EMAO，四邊形EOAM為平行四邊形，EOAM.EO平面BDE，AM 平面BDE.AM平面BDE.(2)如圖，連接DM，BM，MO.AFAC，ECAC，平面ACEF平面ABCD，AF平面ABCD，EC平面ABCD，AFAD，ECDC，又四邊形ABCD為菱形，ADDC，DFDE.又點(diǎn)M是EF的中點(diǎn)，DMEF.BD2AF，DO BDAFMO，DMO45，同理，BMO45，DMBM.又EFBMM，DM平面BEF.121212題型四直線、平面垂直的探究性問(wèn)題題型四直線、平面垂直的探究性問(wèn)題【例4】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別為棱BB1和DD1的中點(diǎn)(1)求證：平面B1FC1平面ADE；(2)試在棱DC上求一點(diǎn)M，使D1M平面ADE.解：(1)ADB1C1，又B1C1平面FB1C1，AD平面FB1C1，同理，AE平面FB1C1，又ADAE=A，AD，AE平面ADE，平面ADE平面FB1C1.(2)M應(yīng)是DC的中點(diǎn)B1C1平面DD1C1C，D1M平面DD1C1C，B1C1D1M，由題意知FC1D1M，F(xiàn)C1B1C1=C1，F(xiàn)C1，B1C1平面FB1C1，D1M平面FB1C1，又由(1)知平面ADE平面FB1C1，D1M平面ADE.高考體驗(yàn)高考體驗(yàn) 1. 下列條件中，能判定直線l平面a的是()A. l與平面a內(nèi)的兩條直線垂直B. l與平面a內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直C. l與平面a內(nèi)的某一條直線垂直D. l與平面a內(nèi)任意一條直線垂直2. 直線a直線b，a平面b，則b與b的位置關(guān)系是()A. bbB. bbC. bb D. bb或bb3. 已知直線a和兩個(gè)平面a，b，給出下列四個(gè)命題：若aa，則a內(nèi)的任何直線都與a平行；若aa，則a內(nèi)的任何直線都與a垂直；若ab，則b內(nèi)的任何直線都與a平行；若ab，則b內(nèi)的任何直線都與a垂直則其中()A. 、為真 B. 、為真C. 、為真 D. 、為真 練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固4. (2010浙江)設(shè)l，m是兩條不同的直線，a是一個(gè)平面，則下列命題正確的是 ()A. 若lm，ma，則la B. 若la，lm，則maC. 若la，ma，則lm D. 若la，ma，則lm5. 如圖1所示，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE、AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使B、C、D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，如圖2所示，那么，在四面體AEFH中必有()圖1圖2A. AHEFH所在平面 B. AGEFH所在平面C. HFAEF所在平面 D. HGEFH所在平面答案：1. D解析：由直線與平面垂直的定義，可知D正確2. D3. A4. B5. A解析：在圖2中，AHEH，AHFH，且EHFH=H，所以AH平面EFH.6.(2011徐州模擬)如圖所示，四邊形ABCD為矩形，BC平面ABE，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF平面ACE.求證：AEBE.證明：BC平面ABE，AE平面ABE，BCAE，同理AEBF，BFBC=B，AE平面BCE，又BE平面BCE，AEBE. 7.(2011濰坊模擬)在四棱錐PABCD中，ABC=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，PA=2AB=2.(1)求四棱錐PABCD的體積V；(2)若F為PC的中點(diǎn)，求證：PC平面AEF.8.8.(2011江蘇海安如皋聯(lián)考)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：平面BC1D平面A1ACC1.證明：因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體，所以ACBD，A1A平面ABCD，而BD平面ABCD，于是BDA1A.因?yàn)锳C、A1A平面A1ACC1且AC交A1A于點(diǎn)A，所以BD平面A1ACC1.因?yàn)锽D平面BC1D，所以平面BC1D平面A1ACC1.9.(2010山東)在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA平面ABCD，PDMA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點(diǎn)，且AD=PD=2MA.(1)求證：平面EFG平面PDC；(2)求三棱錐PMAB與四棱錐PABCD的體積之比解：(1)證明：由已知MA平面ABCD，PDMA，所以PD平面ABCD.又BC平面ABCD，所以PDBC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以BCDC.又PDDCD，因此BC平面PDC.在PBC中，因?yàn)镚、F分別為PB、PC的中點(diǎn)，所以GFBC，因此GF平面PDC.又GF平面EFG，所以平面EFG平面PDC.(2)因?yàn)镻D平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，不妨設(shè)MA1，則PDAD2，所以VPABCD S正方形ABCDPD .由于DA面MAB，且PDMA，所以DA即為點(diǎn)P到平面MAB的距離，三棱錐VPMAB 122 ，所以VPMABVPABCD14.1383131223