第七單元第七單元 立體幾何立體幾何第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)1. 以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2. 能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題考綱解讀考綱解讀 知識(shí)匯合知識(shí)匯合 1. 如果一條直線和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的_都垂直，那么就稱這條直線和這個(gè)平面垂直.其中直線叫做平面的_;平面叫做直線的_；交點(diǎn)叫做_.2. 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的_都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面.任意一條直線垂線垂面垂足兩條相交直線3. 設(shè)l，m為直線，為平面，若l m，且l，則_；若l，且m ，則_ .4. 設(shè)l為直線，、為平面，若l ，且，則_;若l，且l，則_.5. 如果兩個(gè)相交平面所成的二面角為_，則稱這兩個(gè)平面互相垂直.m l ml 直二面角6. 如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的 ，那么這兩個(gè)平面互相垂直.7. 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)_的直線垂直于另一個(gè)平面.8. 自平面外一點(diǎn)P向平面引垂線，垂足P叫做點(diǎn)P在平面內(nèi)的 _.一條垂線垂直于交線正射線9. 如果一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，那么這條直線叫做這個(gè)平面的 _;直線和平面的交點(diǎn)叫做 _. 10. 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的_，那么它也和這條斜線垂直;如果它和這個(gè)平面的一條斜線垂直,那么它也和這條斜線在 _垂直.斜線斜足射線垂直平面內(nèi)的射線11. 過一點(diǎn)且垂直于一個(gè)已知平面的直線條數(shù)為 _；過一點(diǎn)且垂直于一條已知直線的平面?zhèn)€數(shù)為 _.12. 從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的斜線段中，相等的斜線段其射影長(zhǎng) _;較長(zhǎng)的斜線段其射影 _，反之亦然.有且只有一條有且只有一個(gè)相等較長(zhǎng)考點(diǎn)一直線與直線垂直的判定考點(diǎn)一直線與直線垂直的判定【例例1】如圖，CD，EA，垂足為A，EB，垂足為B，求證：CDAB.證明CD，CD，CD.又EA，CD，EACD，同理EBCD.EACD，EBCD，EAEBE，CD平面EAB.AB平面EAB，ABCD.典例分析典例分析 點(diǎn)撥點(diǎn)撥 證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識(shí)即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等.若兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進(jìn)行證明.考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例例2】如圖，P為ABC所在平面外一點(diǎn)，PA平面ABC，ABC90，AEPB于E，AFPC于F.求證：(1)BC平面PAB；(2)AE平面PBC；(3)PC平面AEF.點(diǎn)撥點(diǎn)撥1. 證明直線和平面垂直的常用方法有：(1)利用判定定理(2)利用平行線垂直于平面的傳遞性(ab，ab)(3)利用面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)利用面面垂直的性質(zhì)2. 當(dāng)直線和平面垂直時(shí)，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直考點(diǎn)三平面與平面垂直的判定與性質(zhì)考點(diǎn)三平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例例3】如圖所示，ABC為等邊三角形，EC平面ABC，BDCE，且CECA2BD，M是EA的中點(diǎn)求證：(1)DEDA；(2)平面BDM平面ECA；(3)平面DEA平面ECA.考點(diǎn)四線面角與二面角的求法考點(diǎn)四線面角與二面角的求法【例例4】如圖所示，四棱錐PABCD的底面為直角梯形，ABDC，DAB90，PA底面ABCD，且PAADDCAB1，M是PB的中點(diǎn)(1)求CD與平面PAD所成的角；(2)求AC與PB所成角的余弦值；(3)求平面AMC與平面BMC所成二面角的余弦值點(diǎn)撥點(diǎn)撥1. 求角應(yīng)注意：“一作圖、二證明、三求解”2. 求二面角，作角是關(guān)鍵的一步，作其平面角的方法主要是利用定義，在棱上任取一點(diǎn)O，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作射線OA、OB垂直于棱，這樣構(gòu)造的三角形有時(shí)不易找到與已知條件的聯(lián)系，因此要分析圖形的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可在一個(gè)半平面內(nèi)過一個(gè)特殊點(diǎn)作與棱垂直的射線然后再去證明在另一半平面內(nèi)過棱上垂足的射線與棱垂直 高考體驗(yàn)高考體驗(yàn) 1. 在高考中，垂直關(guān)系的考查一般有三種方式：(1)考查垂直關(guān)系的有關(guān)定義、判斷及性質(zhì)，即通過有關(guān)命題真假判定直接考查(2)以空間幾何體為載體，證明有關(guān)線線、線面、面面的垂直關(guān)系(3)利用定義結(jié)合垂直關(guān)系考查線面角、面面角的確定2. 題型一般有兩個(gè)客觀題和一道解答題，難度中等，分值14分左右1. 下列條件中，能判定直線l平面的是()A. l與平面內(nèi)的兩條直線垂直，B. l與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直C. l與平面內(nèi)的某一條直線垂直D. l與平面內(nèi)任意一條直線垂直解析：由直線與平面垂直的定義，可知D正確答案：D2. (2011宣武模擬)已知a，b為不同的直線，為不同的平面，a，b，則ab；a，b，ab，則；，則；a，則a.以上結(jié)論正確的是()A. B. C. D. 解析：易知正確；中，、可能相交；中，可能有a.答案：A練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固3. (2011蘇北四市聯(lián)考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列命題：若m，則m；若m，m，則；若，則；若m，n，mn，則.其中真命題的序號(hào)是_答案：4. 設(shè)平面，l，直線a，直線b，且a不與l垂直，b不與l垂直，則a與b()A. 可能垂直，不可能平行 B. 可能平行，不可能垂直C. 可能垂直，也可能平行 D. 不可能垂直，也不可能平行解析：當(dāng)al，bl時(shí)，ab.假設(shè)ab，如圖，過a上一點(diǎn)作cl，則c.bc.又ba，b，bl，與已知矛盾答案：B5. 三棱錐PABC的頂點(diǎn)P在底面的射影為O，若PAPBPC，則點(diǎn)O為ABC的_心，若PA、PB、PC兩兩垂直，則O為ABC的_心解析： 當(dāng)PAPBPC時(shí)，OAOBOC，O為外心當(dāng)PA、PB、PC兩兩垂直時(shí)，AOBC，BOAC，COAB.O為垂心答案：外垂6.如圖，已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，若PDA45，求證：MN平面PCD.7.如圖，在正三棱錐ABCD中，BAC30，ABa，平行于AD、BC的截面EFGH分別與AB、BD、DC、CA交于E、F、G、H四點(diǎn)，點(diǎn)A在底面BCD上的射影為點(diǎn)O.(1)試判斷四邊形EFGH的形狀，并說明判斷理由；(2)設(shè)P點(diǎn)是棱AD上的點(diǎn)，當(dāng)AP為何值時(shí)，平面PBC平面EFGH？請(qǐng)說明理由8.如圖，四面體ABCS中，SA、SB、SC兩兩垂直，SBA45，SBC60，M為AB的中點(diǎn)求：(1)BC與平面SAB所成的角；(2)SC與平面ABC所成的角的正切值9. (2011浙江)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A. 若lm，m，則l B. 若l，lm，則mC. 若l，m，則lm D. 若l，m，則lm解析：可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐個(gè)檢查本題主要考查了立體幾何中線面之間的位置關(guān)系及其中的公理和判定定理，也蘊(yùn)含了對(duì)定理公理綜合運(yùn)用能力的考查，屬中檔題答案：B10. (2011.河南模擬)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于()A. 30 B. 45 C. 60 D. 90解析：如圖，延長(zhǎng)CA到D，使得ADAC，則ADA1C1為平行四邊形，DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又三角形A1DB為等邊三角形，DA1B60. 答案：C