會(huì)應(yīng)用柯西不等式及排序不等式求有關(guān)最值及證明不等式12,1212121 122121 21 22 1001AB1C1 . D2aabbaabba ba ba abba ba b若，且，則下列代數(shù)式中值最大的是12,121 1220 0aabba ba b因?yàn)?，由排解析：序不等式可知最大選A.22231492.xyxy若，則的最小值為，且最小值點(diǎn)為2222222224911231149.21312123423123161491 1()24 6xyxyxyxyxxyxyxyyxy 由柯西不等式，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)由，得，解析：最小值為 ，最小值點(diǎn)為，所以的553.4861055個(gè)人各拿一只水桶到水龍頭接水，如果水龍頭注滿這 個(gè)人的水桶需要的時(shí)間分別是 分鐘、分鐘、分鐘、 分鐘、分鐘，統(tǒng)籌安排這 個(gè)人接水的順序，使他們等待的總時(shí)間最少為分鐘545688104 545 46 38 2 10 1 個(gè)人接水分別按 分鐘、分鐘、分鐘、分鐘、 分鐘的順序進(jìn)行，因此等待的總時(shí)間最少為解析：分鐘222,2254.xyzxyzxyzR已知 ， ，且，求的最小值2222222222222212222122510109992252225.9925.9xyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz 根據(jù)柯西不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立因?yàn)?，所以因此，的最小值為解析?23123222222121212121212() ()_0(1,2,3)_1_2_nnnninnnnaaaabbbbaaabbbbinkaaabbbcccbbb設(shè) ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是實(shí)數(shù)，則，當(dāng)且僅當(dāng)， ，或存在一個(gè)數(shù) ，使得時(shí)等號(hào)柯西不等式排序不等式成立設(shè)，為兩組數(shù)， ， ， 是 ， ， ， 的任一排列，那么1 1221212_“_nnnna ca ca caaabbb，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，反序和等于順序和排序不等式可簡(jiǎn)記為 ”21 12212111 122()(1,2,3)nniinnnnna ba ba bakb ina ba ba ba ba ba b；， ， ；反序和亂序和【要點(diǎn)指南】順序和 222221235221213.xyxyAxyxyzAxyz設(shè) 、 滿足，求的最例值；設(shè)，求的最小值題型一題型一 柯西不等式的應(yīng)用柯西不等式的應(yīng)用 222222222122( 23)2314112 13()23.23655235263303302.66xyxyxyxyxyxyxy因?yàn)椋?，所以解析?2maxmin233301422232 33023533330222 3303330636330.xyAxyxyxyA 當(dāng)，即解得時(shí)，解得，解，時(shí)析： 222222min2211( 23)231123(1)236123.112313261316111111112.2Axyzxyzxyzxyzxyzxyzxyzxyz因?yàn)?，所以?dāng)，即，時(shí)，解析：配湊出符合公式的形式，注意公式的正用、逆用在二次形式限制下，求一次函數(shù)的最值，在一次形式的條件下，求二次形式的評(píng)析：最小值等321213 3121.abcabcabc R已知 ， ，且，利用柯西不等式證明：素材 ：| | 可利用三維柯西不等式或向量分析：不等式推證2222( 212121)212121 111272121213131ababcacccbab ，所以方解析：當(dāng)法 ：且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)( 212121)1,1,121212121 221 221 22333.|2122122121| 31213 33.abcabcabcabcabbcac pqp qpqp qp q設(shè)，則，因?yàn)?，方法所以：即，解析?2方法 是三維柯西不等式的常見變形，方法 是柯西不等式的三維向量形式，這是構(gòu)建柯西不等式的兩種常用方法，應(yīng)評(píng)析：引起注意.2.32ABCABCaAbBcCabcabc在中，角 、 、 所對(duì)邊分別為 、 、 求證：例題型二題型二 排序不等式的應(yīng)用排序不等式的應(yīng)用.3.3abcABCa Ab Bc CaAbBcCa Ab Bc CbAcBaCa Ab Bc CcAaBbCaAbBcCabcABCaAbBcCabcabc 不妨設(shè)，于是，由排序不等式：；三式相加得：，得證明：0,0,00(2 )(2 )(2 )22.32bcaabcacbA bcaC abcB acba BCAb ACBc ABCaAbBcCabcaAbBcCaAbBcCabcaAbBcCabc 又由，得，所以證，所以明：ABC注意排序式的輪換對(duì)稱，同時(shí)注意內(nèi)角和的評(píng)析條件，甚至把 變成尋找不等轉(zhuǎn)換：的條件 122221121222221122311)1,2,32.2.12.(2011)ninnnaaaainnaaaaaaaaaanaaBaa設(shè) ， ， ，是互不相等的正數(shù)，其中，且， ， ，證明：素材學(xué)海導(dǎo)航湖南第三次；月考 卷 1212222221112212121212212121222211212 1000.aaaaaaaaaaaaaaaaa aaaaaa aaaaaaa因?yàn)?，且，所以，所以證明： 1222212121111 2.nnnaaaaaaaaa證明不妨設(shè)，則，且由排序不等式知，亂序和不小于反序和，又等號(hào)均：不成立，22221122311212222211223112111.1 1 .1.nnnnnnnnnnaaaaaaaaaaanaaaaaaaaaaaaaan 個(gè)：所以明即證2221.2PABCxyzPabcRABCxyzabcR是內(nèi)一點(diǎn)， 、 、 分別是 到三邊 、 、 的距離， 是外接圓半徑，求證：備選例題222224211111111121221.2SABCabcabcaxbyczSRRxyzaxbyczabcabcaxbyczabcRabcabcabbccaabbccaRabcRabcR記 為的面積，則，所以證明：1 1223 322222221 1223 31231231| | |bkka ba ba ba ba ba baaabbb 應(yīng)用柯西不等式時(shí)，常常需要根據(jù)柯西不等式的特定結(jié)構(gòu)，對(duì)相關(guān)式子適當(dāng)變形，如添、拆、分解、組合等注意：二維形式的柯西不等式；向量形式的柯西不等式：設(shè) ， 是兩個(gè)向量，則，當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量或存在實(shí)數(shù) ，使時(shí)，等號(hào)成立；注意公式的逆用：如；解題的關(guān)鍵是找出兩組數(shù)1122222222112212122.xyxyxyxyxxyy R二維形式的三角不等式：設(shè) 、 、 、，那么注意：把不等式兩邊各個(gè)式子與兩點(diǎn)距離公式聯(lián)系起來，運(yùn)用幾何關(guān)系、數(shù)形結(jié)合法證明不等式，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)3“”n對(duì)于包含具有明確大小順序關(guān)系、數(shù)目相同的兩組數(shù)的題目，當(dāng)考慮它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積之和的大小時(shí)，排序不等式是很有用的工具在證明不等式時(shí)，將個(gè)互不相同的數(shù) 按大小關(guān)系進(jìn)行排序，是證明中常常使用的一個(gè)重要技巧23273yxxx求函數(shù)的最大值22222222max3()( 2 )( 73 ) ( 2)11 2( 23273 )( 23273 )222327322.22.xxxxxxxxxxxxy由柯西不等式得，即，所以錯(cuò)故解： ()()32732112xxxx應(yīng)用柯西不等式的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組數(shù) 式 應(yīng)用柯西不等式求最大 小 值，一要注意通過配湊出現(xiàn)定值，二要注意等號(hào)能夠成立錯(cuò)解中雖然得出錯(cuò)解分析了定值，但等號(hào)成立的條件是無解所以最大值無： 法取得2222222ax2m2303 7202 3730( 23)()() 73 1( 2)1 ( 23273 )( 2243273 )16.232734.232732.xxxxxxxxxxxxxxxxxxyxx由，得函數(shù)的定義域?yàn)椋?根據(jù)柯西不等式有，即所以當(dāng)且僅當(dāng)，正解： 故當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，