12了解圓錐曲線的實(shí)際背景，了解圓錐曲線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)4415 4413 A. mmmmmm當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，解析：選2212 4A 53 B 8 C 5 D 161.xymm橢圓的焦距等于 ，則的值為或12121 A 4 B 5 C 8 2 D 10.PFFPFPF 設(shè) 是橢圓上的點(diǎn)，若、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則等于12510.2aPFPFa由題解意知，所以析： 6 A 9 B 1 C 19 D3.CCF已知橢圓 的短軸長(zhǎng)為 ，離心率為，則橢圓 的焦點(diǎn) 到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為 或以上都不對(duì)2222223941554. 19.babeaaacabF由題意知，又，解得，所以所以焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn)的距離為解析：或22222 1.332.2341baceababcxyy依題設(shè)，解得又橢圓焦點(diǎn)在 軸上，故其方程為解析：1(3 0) 42. .y中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)， ，離心率為的橢圓方程為22122222212102 5.xyabFFabxcabxMNMNFFe 橢圓的焦點(diǎn)為 、 ，兩條直線與 軸的交點(diǎn)為、，若，則該橢圓的離心率的取值范圍是2212222.2224121)2122aMNcaMNF Fccccaae由已知又，則，從而，解析： 故，故1212122 (_)2 ._1FFaPPFPFaF F平面內(nèi)到兩定點(diǎn)、的距離之和為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓對(duì)于橢圓上任一點(diǎn) ，有在定義中，當(dāng)時(shí)，表示線段；當(dāng)時(shí)，不表示橢任圓的定義何圖形 2222222222222211 (0)_.21 (0)_.2xyababcabxyababcba ，其中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為橢圓，其中，焦的點(diǎn)坐標(biāo)為標(biāo)準(zhǔn)方程 2222131 (0200)0,0 xa yxyababbxyO范圍：，橢圓在一個(gè)矩形區(qū)域內(nèi)；對(duì)稱性：對(duì)稱軸，對(duì)稱中心；一般規(guī)律：橢圓有兩條對(duì)稱軸，它們分別是兩焦點(diǎn)的連線及兩焦橢點(diǎn)連圓 的幾何線段的性質(zhì)中垂線 121212123,0,0(0)(0)_4_ (01)_()_AaAaBbBbA AB Bee頂點(diǎn)：，長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)；一般規(guī)律：橢圓都有四個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)是曲線與它本身的對(duì)稱軸的交點(diǎn)離心率： ，橢圓的離心率在內(nèi)，離心率確定了橢圓的形狀 扁圓狀態(tài) 當(dāng)離心率越接近于時(shí)，橢圓越圓；當(dāng)離心率越接近于 時(shí)，橢圓越扁平1212121212222,0,0(0)(0)220,101aF FaF FaF FFcFcFcFccaba；，；，-，；【要點(diǎn)指南； ； 】 12121,031,0(111).22EFFCEEPEPF PFtt 已知橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、， 在橢圓 上求橢圓 的方程；若點(diǎn) 在橢圓 上，且滿足，求實(shí)數(shù)例的取值范圍題型一題型一 橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程 2222222222221(0)11.319(1)1.2441.433.1 1xyEababcabCEabbExya依題意，設(shè)橢圓 的方程為 由已知半焦距，所以因?yàn)辄c(diǎn)， 在橢圓 上，則由解得，所以橢圓方法 ：的解方程為析： 222221222221(0)3(1)221.4 22.3413xyEababCEaxCFCFacbacyE依題意，設(shè)橢圓 的方程為 ，因?yàn)辄c(diǎn)， 在橢圓 上，所以，即由已知半焦距，所方法以所以橢圓 的方：程為解析： 0012220000002200220020()( 1) (1)1.1.431420422332, P xyPF PFtxyxytxytxyPEytxxtxtt 設(shè)，則，得，即因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓 上，所以由得，代入，并整理得由知，綜合，解得，所以實(shí)數(shù) 的取值范圍為解析： 求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，通常有定義法和待定系數(shù)法，應(yīng)該熟練掌握運(yùn)用待定系數(shù)法解題時(shí)應(yīng)注意“先定位，后定量”，尤其要注意焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸有兩種可能評(píng)析：的情形 1(2 2 0)(05)233,0.14385PQP分別求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，；長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的 倍，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)；焦距是 ，離心率是變式 ： 2222222222 1.8511.981911.259259123xyxyxyxyyx解析：或或 121212 60 .21.2FFPFPFFPF已知 、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍；求證：的面積只與橢圓的短軸例長(zhǎng)有關(guān)題型二題型二 橢圓的幾何性質(zhì)橢圓的幾何性質(zhì) 2222121222222222222222222210.42cos60 .2242443344.()()2111443.420 xyababPFm PFnPFFcmnmnmnamnmnmnamncamnmnacmnmnamncacaeae設(shè)橢圓的方程為，在中，由余弦定理可知，因?yàn)?，所以，所以，即又?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào) 所以，解，即：又析所以111)2e ，所以 的取值范，圍是 22121241313sin60232mnbS PFFmnPFFb 解析：即的面證積明：只與由知，短軸所以，長(zhǎng)有關(guān) 122 1PFPFaac橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為橢圓的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得評(píng)析：到 ， 的關(guān)系 1222122221212122(|)(2 )4|2 | cos1|sin2F PFPFPFacPFPFPFPFSPFPF定義式的平評(píng)析方對(duì)的處理方法余弦定理面積公式： 22221121210()2./.12xyABababMxxF ABOMeQFFF QF 已知點(diǎn) 、分別是橢圓的長(zhǎng)、短軸的端點(diǎn)，從橢圓上一點(diǎn)在 軸上方向 軸作垂線，恰好通過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求橢圓的離心率 ；設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，、分別是變式左、右焦點(diǎn)，求的取值范圍 2122,0./.122MMOMABbFcxcyabbkkABOMacabbcbceacaa 因?yàn)?，則，所以因?yàn)?，所以，所以，故解析?11221212122222212121 21 21 2222121 21222424cos122110.2co0s220F Qr F QrF QFrra F Fcrrcrrr rcr rr raarrr rrr 設(shè)，所解析：以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，所以， 2222121121222 1(0)414.33124203.xyababFFPCPFFFPFPFClxyxyMABABMl橢圓 的兩個(gè)焦點(diǎn)為、 ，點(diǎn) 在橢圓 上，且，求橢圓 的方程；若直線 過(guò)圓的圓心且交橢圓于 、 兩點(diǎn)，且 、 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線例的方程題型三題型三 橢圓的綜合問(wèn)題橢圓的綜合問(wèn)題 122212122122222 263.|25 1.941514 PCaPFPFaRt PF FF FPFPFcbacxyC因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，在中，故橢圓的半焦距，從方法 ：而，所以橢圓的方程為解析： 11222222222122() ()2152,1214936183636270.1898222499 821989250.ABxyxyxyMlyxk xCkxkk xkkABMxxkkkklyyx 設(shè) ， 坐標(biāo)分別為， ，已知圓的方程為，所以圓心的坐標(biāo)為，從而可設(shè)直線 的方程為，代入橢圓 的方程得因?yàn)?， 關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，解得，所以直線 的方程即為，解析：()經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意 22112212221122221.215.2,12() ()1941124 9xyMABxyxyxxxyxy同方法已知圓的方程為所以圓心的坐標(biāo)為設(shè) ， 的坐標(biāo)分別為， ，由題意，方法且，：解析：，1212121212121212 89250.0.94428899()8129xxxxyyyyABMxxyyyylxxyyxlx 由得因?yàn)?、關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，代入得，即直線 的斜率為，所以直線 的方程解析：即經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符，合題意為 123 直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元后得到一元二次方程，然后通過(guò)判別式 來(lái)判斷直線和橢圓相交、相切或相離消元后得到的一元二次方程的根是直線和橢圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)，通常是寫(xiě)成兩根之和與兩根之積的形式，這是進(jìn)一步解題的基礎(chǔ)若已知圓錐曲線的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)出弦的端點(diǎn)坐標(biāo)，代入方程，用點(diǎn)差法求弦的斜率，注意求出方程后，通常評(píng)析：要檢驗(yàn) 22122212121042.1203).,2(xyFFababPPFPFFFNlABOAOBOlk 若 、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)， 是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，求這個(gè)橢圓的方程；是否存在過(guò)定點(diǎn)的直線 與橢圓交于不同的兩點(diǎn) 、 ，使其中 為坐標(biāo)原點(diǎn)？若存在，求出直線 的斜率 ；若不存在，變式說(shuō)明理由 2221122224,22 3231.02()124(.)1acacbacxlykxABlA xyB xyxy依題意，得，所以，所以所以橢圓的方程為顯然當(dāng)直線的斜率不存在，即時(shí)，不滿足條件設(shè) 的方程為，因?yàn)?、 是直線 與橢圓的兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)，解析：，222222221212221421416120.164 141216 430341612.1414xyyykxkxkxkkkkkxxx xkk 由消去 并整理，得所以，解得.：，解析121212122121212212122222220222412412164 412 ()40.1414144.2.2OAOBOA OBOA OBx xy yx xkxkxx xk x xk xxkx xk xxkkkkkkkkkk 因?yàn)椋?，所以所?解析：所以，存在斜率 由可知的l直線 符合題意 224(01)12(02)3xyPxQMPQQMQPMCCMAl 從圓上任意一點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)在線段上，且 求點(diǎn)的軌跡的方程；若曲線上的點(diǎn)到，的最遠(yuǎn)距離為 ，求備選例題的值 22222()()1(01,0.(44)41P abM xyQ aaxyxxaQMQPPQxyybbP abxyM 設(shè)，則由，軸，得，則又點(diǎn)，在圓上，代入得點(diǎn)的軌跡方程為解析： 22222222222222222max214448 ( 22 )20125120,1(1)12 22 21(2 )884842xyMAxyMAyyyylllylMA 因?yàn)椋?，所以，其圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸 ，所以當(dāng) 且，即，時(shí)，對(duì)稱軸在區(qū)間， 的右邊，故當(dāng)時(shí)，222222222222max2215484922220,1151(0 22 221122()48211489155yMA 令，解得或，都不合要求，舍去當(dāng)且，即，時(shí)，對(duì)稱軸在區(qū)間， 的解析： 解得中間，故當(dāng)時(shí)，為所求2222121(00)1(00)xymnmnAxByAB在解題中凡涉及橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，應(yīng)利用定義求解求橢圓方程的方法，除了直接根據(jù)定義法外，常用待定系數(shù)法當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)位置不明確，可設(shè)方程為 ， ，或設(shè)為 ， 3.4MFacac橢圓上任意一點(diǎn)到焦點(diǎn)的所有距離中，長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離，且最大距離為，最小距離為焦點(diǎn)弦的所有弦長(zhǎng)中，垂直于長(zhǎng)軸的弦是最短的弦，而且它的長(zhǎng)為，把這個(gè)弦叫做橢圓的通徑2225016()70()eabcbacee 求橢圓離心率 時(shí)，只要求出 ， ， 的一個(gè)齊次方程，再結(jié)合就可求得從一焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓 面 的反射，反射光線必經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)過(guò)橢圓外一點(diǎn)求橢圓的切線，一般用判別式求斜率，也可設(shè)切點(diǎn)后求導(dǎo)數(shù) 斜率 2211892_xyekk若橢圓的離心率，則 的值為22222222891112844.akbccabkeeaaakk錯(cuò)解： 由已知，又，所以，解得xy由于所給橢圓焦點(diǎn)的位置不確定，即焦點(diǎn)可能在 軸上，也可能在 軸上，所以應(yīng)分兩種情錯(cuò)解分析：況求解 222222222222222289089118408998115.944 4.54. 124kkkxkakbcabkeaakykabkcabkekaa 若焦點(diǎn)在 軸上，即時(shí)，若焦點(diǎn)正解：解得綜上，或在 軸上，即時(shí)，解得