31 兩角和與差的三角函數(shù)兩角和與差的三角函數(shù) 一、素質(zhì)教育目標(biāo)一、素質(zhì)教育目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)1兩角和與差的正弦2兩角和與差的余弦3兩角和與差的正切(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)1掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)2通過這些公式的推導(dǎo)，使學(xué)生了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力3能靈活地應(yīng)用這些公式進(jìn)行計(jì)算、求值和證明，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力(三)德育滲透點(diǎn)1公式的推導(dǎo)過程，是利用它們內(nèi)在聯(lián)系的過程教學(xué)過程要注意培養(yǎng)學(xué)生利用聯(lián)系、變化的辯證唯物主義觀點(diǎn)去分析問題2通過應(yīng)用公式進(jìn)行恒等變形，在不斷提高學(xué)生恒等變形能力的同時(shí)，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)形式和內(nèi)容的辯證關(guān)系二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)、疑點(diǎn)及解決辦法1教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo)2教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用公式進(jìn)行化簡、計(jì)算和證明3教學(xué)疑點(diǎn)：在應(yīng)用公式時(shí)要首先保證公式中各個(gè)量都要有意義三、課時(shí)安排三、課時(shí)安排建議3課時(shí)四、教與學(xué)的過程設(shè)計(jì)四、教與學(xué)的過程設(shè)計(jì)第一課時(shí)第一課時(shí) 兩角和與差的余弦兩角和與差的余弦 (一)引入師：上一章我們介紹的是同一個(gè)角的三角函數(shù)的性質(zhì)以及各三角函數(shù)之間的相互關(guān)系本節(jié)開始討論兩個(gè)角的三角函數(shù)，如cos(+)，sin(+)，tg(+)等等的各種關(guān)系和計(jì)算公式現(xiàn)在請大家考慮，如果已知cos，cos，怎樣求cos(+)？有人認(rèn)為cos(+)=cos+cos，對不對？師：很好把cos(+)寫成cos+cos是想應(yīng)用乘法對加法的分配解可是cos是角的余弦值，并不是“cos”乘以，不能應(yīng)用分配律一個(gè)反例已經(jīng)足夠否定上述等式當(dāng)然我們還可以舉出更多的例子現(xiàn)在我說如果、都是銳角，那么總有cos(+)cos+cos這是為什么？所以cos(+)cos，cos(+)cos當(dāng)然有cos(+)cos+cos；如果+是鈍角，那么式子左邊是負(fù)數(shù)，右邊是正數(shù)，當(dāng)然也不相等師：分析的很有條理，完全正確現(xiàn)在退一步提個(gè)問題：如果cos，cos已給定，cos(+)是否能確定？師：(板書)考慮兩組數(shù)據(jù)師：從這組數(shù)字中，你能得到什么結(jié)論？生：我們不能從cos和cos直接求出cos(+)師：如果我們再算出sin和sin，試試看能否找到什么關(guān)系由(1)可以得到cos(+)coscos-sinsin，并且這個(gè)關(guān)系式對(2)也適合師：剛才我們用具體的例子得到一個(gè)關(guān)系式：cos(+)=coscos-sinsin但是我們還是不能認(rèn)可它，只有通過嚴(yán)格的證明才行下面請同學(xué)們看圖3-1，其中，O是單位圓(二)推導(dǎo)兩角和的余弦公式問題1，請同學(xué)們把坐標(biāo)系中P1、P2、P3、P4各點(diǎn)的坐標(biāo)用三角函數(shù)表示出來生：P1(1，0)，P2(cos,sin)，P3(cos(+)，sin(+)P4(cos(-)，sin(-)問題2，線段|P1P3|與|P2P4|有什么關(guān)系？為什么？生：因?yàn)镻3OP1 P2OP4，所以|P1P3|=|P2P4|師：請學(xué)生用兩點(diǎn)間的距離公式把|P1P3|=|P2P4|表示出來并加以整理生：(板書)cos2(+)-2cos(+)+1+sin2(+)=cos2-2sincos+cos2+sin2-2sinsin+sin22-2cos(+)=2-2(coscos-sinsin)cos(+)=coscos-sinsin(記為C+)師：剛才的整個(gè)過程，我們已經(jīng)證明了公式：cos(+)=coscos-sinsin，它對任意的，均成立如果我們把公式中的都換成-又會(huì)得到什么？即：cos(-)=coscos+sinsin師：通過剛才的討論我們又得到兩角差的余弦公式：cos(-)=coscos+sinsin(記為C-)(三)應(yīng)用舉例例1 不查表求cos105及cos15的值師：因?yàn)轭}目要求不能查表，所以要想辦法用特殊角計(jì)算為此把105變?yōu)?5+60，把15變?yōu)?5-30請同學(xué)們利用公式進(jìn)行計(jì)算求cos(-)的值思考題：根據(jù)公式C-分析，要算cos(-)應(yīng)先求什么？生：cos及sin師：請同學(xué)們自行計(jì)算例3 證明：公式證明：利用公式C-，可得： =0cos+1sin =sin師：利用例3的結(jié)論我們很快又得到若將換成-(由于是任意角，可以這樣換)，我們又得到以下四個(gè)公式： (四)練習(xí)課本P207中練習(xí)：1-6(五)總結(jié)這節(jié)課我們從cos(+)等什么出發(fā)通過猜測，特例分析得到cos(+)=coscos-sinsin然后在直角坐標(biāo)系中，利用兩點(diǎn)間覺中角的變換在今天這節(jié)課中唱了主角，在今天的作業(yè)中大家要靈活地應(yīng)用這種方法五、作業(yè)五、作業(yè)P213中練習(xí)十五1、2、3六、板書設(shè)計(jì)六、板書設(shè)計(jì) 兩角和與差的余弦兩角和與差的余弦 1兩角和余弦公式及推導(dǎo)P1(1，0)P2(cos，sin)P3(cos(+)，sin(+)，P4(cos(-)，sin(-)P3OP1 P2OP4|P1P3|=|P2P4|根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得：二邊平方，展開并整理得cos(+)coscos-sinsin視為C+2兩角差的余弦公式在C+中把換成-得：cos(-)=coscos+sinsin3應(yīng)用舉例例1例2例3及證明第二課時(shí)第二課時(shí) 兩角和與差的正弦兩角和與差的正弦 一、教與學(xué)過程設(shè)計(jì)一、教與學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)引入 師：上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦，推導(dǎo)了公式C+、C-，請同學(xué)們回憶這兩個(gè)公式(請一位同學(xué)來回答)生： cos(+)=cos cos-sinsin，cos(-)coscos+sinsin師：今天我們要繼續(xù)學(xué)習(xí)兩角和與差的正弦公式(二)兩角和與差的正弦公式師：請同學(xué)們想一想我們能不能把sin(+)改成用余弦函數(shù)來表示？師：請同學(xué)們注意上式的右邊能否用sincos，sincos來表示？生：(板書) sincos+cossin師：這樣我們就得到公式sin(+)sincos+cossin， 記為S+再請同學(xué)們考慮sin(-)？生：把公式S+中的換成-，可得：(學(xué)生口述，教師板書)sin(-)= sin+(-) =sincos(-)+cossin(-) =sincos-cossin師：這樣我們又得到公式sin(-)sincos-cossin，記為S-下面我們一起分析兩個(gè)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)1公式是用單角的正余弦來表示兩角和、差的正弦；2右邊積中兩個(gè)函數(shù)的名稱不同(C+和C-中積是同名函數(shù)之積)；3兩積之間的運(yùn)算符號(hào)和前面括號(hào)中角的運(yùn)算符號(hào)一致(而C+、C-中則相反)(三)應(yīng)用舉例例4 不查表，求sin75的值生：(板書)解：sin75=sin(45+30) =sin45cos30+cos45sin30(待學(xué)生完成后，布置以下思考題)種情況，所以此時(shí)答案有二個(gè)(學(xué)生回答有困難時(shí)由教師給出解答)分析：我們從角入手來分析，易見左邊有復(fù)角(即兩角和與差)右邊全是單角，所以思路很明確，就是要把復(fù)角變單角 原式成立師：本題還可以從函數(shù)名稱來分析，左邊是正、余弦函數(shù)，右邊是正、余切函數(shù)故可考慮把正、余切化為正、余弦生：(板書) 原式成立師：恒等式證明的方法很多，但是也很有規(guī)律，我們可以考慮角的表示形式，也可以考慮函數(shù)的名稱大家要注意這些方法的掌握師：本題我們可以從角的形式來分析：左邊是單角，右邊是復(fù)角，如果從右邊證左邊則要把復(fù)角變單角(即利用公式)；如果從左邊證右邊則證明一