專題八自選模塊第1講導數(shù)及其應用熱點透析熱點透析思想方法思想方法熱點透析 突典例 熟規(guī)律熱點一 導數(shù)的幾何意義及運算【例1】 (1)(2014高考廣東卷)曲線y=e-5x+2在點(0,3)處的切線方程為.解析解析: : (1)(1)由題意知點由題意知點(0,3)(0,3)是切點是切點.y=-5e.y=-5e-5x-5x, ,令令x=0,x=0,得所求切得所求切線斜率為線斜率為-5.-5.從而所求方程為從而所求方程為5x+y-3=0.5x+y-3=0.答案答案: : (1)5x+y-3=0 (1)5x+y-3=0(2)1(2)1技巧方法技巧方法 (1)(1)曲線曲線y=y=f(xf(x) )在點在點x=xx=x0 0處的導數(shù)處的導數(shù)f(xf(x0 0) )的幾何意義的幾何意義是曲線是曲線y=y=f(xf(x) )在點在點P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)處的切線的斜率處的切線的斜率, ,即即k=f(xk=f(x0 0).).因因此此, ,當當f(xf(x0 0) )存在時存在時, ,曲線曲線y=y=f(xf(x) )在點在點P(xP(x0 0,f(x,f(x0 0)處的切線方程處的切線方程為為y-f(xy-f(x0 0)=f(x)=f(x0 0)(x-x)(x-x0 0).).(2)(2)過過P P點的切線方程的切點坐標的求解步驟點的切線方程的切點坐標的求解步驟: :設出切點坐設出切點坐標標; ;表示出切線方程表示出切線方程; ;已知點已知點P P在切線上在切線上, ,代入求得切點坐標代入求得切點坐標的橫坐標的橫坐標, ,從而求得切點坐標從而求得切點坐標. .熱點訓練1:(1)(2014高考新課標全國卷)設曲線y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a等于()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x),且滿足f(x)=2xf(1)+ln x,則f(1)等于()(A)-e (B)-1 (C)1(D)e熱點二 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【例2】 已知函數(shù)f(x)=(x2-ax)ex(xR),a為實數(shù).(1)當a=0時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若f(x)在閉區(qū)間-1,1上為減函數(shù),求a的取值范圍.解解: : (1)(1)當當a=0a=0時時, ,f(xf(x)=x)=x2 2e ex x, ,f(x)=2xef(x)=2xex x+x+x2 2e ex x=(x=(x2 2+2x)e+2x)ex x, ,由由f(x)0f(x)0 x0 x0或或x-2, x0()0(或或f(xf(x)0);)0);根據(jù)的結果確定函數(shù)根據(jù)的結果確定函數(shù)f(xf(x) )的單調(diào)的單調(diào)區(qū)間區(qū)間. .(2)(2)已知已知f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a,ba,b) )上的單調(diào)性上的單調(diào)性, ,求參數(shù)的范圍問題一般有求參數(shù)的范圍問題一般有兩種處理方法兩種處理方法: :利用集合的包含關系處理利用集合的包含關系處理. .f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a,ba,b) )上上單調(diào)單調(diào), ,則區(qū)間則區(qū)間( (a,ba,b) )是相應單調(diào)區(qū)間的子集是相應單調(diào)區(qū)間的子集. .利用不等式的恒成利用不等式的恒成立處理立處理. .f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間( (a,ba,b) )上單調(diào)上單調(diào), ,則則f(x)0f(x)0或或f(x)0f(x)0在區(qū)在區(qū)間間( (a,ba,b) )內(nèi)恒成立內(nèi)恒成立, ,不要忽略等號不要忽略等號. .(3)(3)注意轉化思想的應用注意轉化思想的應用. .答案答案: :2 2(1)求直線l的方程及g(x)的解析式;(2)若h(x)=f(x)-g(x),(其中g(x)是g(x)的導函數(shù)),求函數(shù)h(x)的極大值.解解: : (1)(1)直線直線l l是函數(shù)是函數(shù)f(xf(x)=)=lnln x x在點在點(1,0)(1,0)處的切線處的切線, ,故其斜率故其斜率k=f(1)=1,k=f(1)=1,直線的方程為直線的方程為y=x-1.y=x-1.又又直線與直線與g(xg(x) )的圖象相切的圖象相切, ,且切于點且切于點(1,0),(1,0),技巧方法技巧方法 求函數(shù)極值與最值時求函數(shù)極值與最值時, ,要先求導函數(shù)要先求導函數(shù), ,并對導函數(shù)的并對導函數(shù)的解析式分解因式解析式分解因式, ,從而列出導函數(shù)在各區(qū)間上的正、負取值表從而列出導函數(shù)在各區(qū)間上的正、負取值表格格, ,進而得出單調(diào)區(qū)間和極值甚至最值進而得出單調(diào)區(qū)間和極值甚至最值. .熱點訓練3:(2012高考重慶卷)設函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f(x),且函數(shù)y=(1-x)f(x)的圖象如圖所示,則下列結論中一定成立的是()(A)函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)(B)函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(1)(C)函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(-2)(D)函數(shù)f(x)有極大值f(-2)和極小值f(2)解析解析: :由圖象可知當由圖象可知當x-2x0,1-x0,y=(1-x)f(x)0,y=(1-x)f(x)0,所以此時所以此時f(xf(x)0,)0,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )遞增遞增. .當當-2x1-2x0,y=(1-x)f(x)0,y=(1-x)f(x)0,所以此時所以此時f(xf(x)0,)0,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )遞減遞減, ,則則x=-2x=-2為極大值點為極大值點. .當當1x21x2時時,1-x0,1-x0,所以此時所以此時f(xf(x)0,)2x2時時,1-x0,y=(1-x)f(x)0,1-x0,y=(1-x)f(x)0,)0,函數(shù)函數(shù)f(xf(x) )遞增遞增, ,則則x=2x=2為極小值點為極小值點. .所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )有極大值有極大值f(-2),f(-2),極小值極小值f(2),f(2),故選故選D.D.熱點四 導數(shù)的綜合應用【例4】 (2013長春市第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=ex(ax2-2x-2),aR且a0.(1)若曲線y=f(x)在點P(2,f(2)處的切線垂直于y軸,求實數(shù)a的值;(2)當a0時,求函數(shù)f(|sin x|)的最小值;(3)在(1)的條件下,若y=kx與y=f(x)的圖象存在三個交點,求k的取值范圍.技巧方法技巧方法 (1)(1)利用導數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式方程利用導數(shù)研究高次式、分式、指數(shù)式、對數(shù)式方程根的個數(shù)問題的一般思路根的個數(shù)問題的一般思路: :將問題轉化為函數(shù)零點的個數(shù)問題將問題轉化為函數(shù)零點的個數(shù)問題, ,進而轉化為函數(shù)圖象交點進而轉化為函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題的個數(shù)問題; ;利用導數(shù)研究該函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性、極值利用導數(shù)研究該函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性、極值( (最值最值) )、端、端點值等性質點值等性質; ;畫出函數(shù)的大致圖象畫出函數(shù)的大致圖象; ;結合圖象求解結合圖象求解. .(2)(2)不等式恒成立問題不等式恒成立問題, ,可以用分離參數(shù)法求解可以用分離參數(shù)法求解, ,也可用分類討論也可用分類討論法求解法求解. .af(xaf(x) )恒成立恒成立af(x)af(x)minmin;af(x;af(x) )恒成立恒成立af(x)af(x)maxmax. .熱點訓練4:(2013浙江杭州西湖高中高三考前模擬)已知f(x)=xln x,g(x)=-x2+ax-3.(1)已知函數(shù)h(x)=g(x)+ax3的一個極值點為1,求a的取值;(2)求函數(shù)f(x)在t,t+2(t0)上的最小值;(3)對一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間;(2)若函數(shù)f(x)在(1,+)上是減函數(shù),求實數(shù)a的最小值;(3)若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求實數(shù)a的取值范圍.方法點睛方法點睛 (1)(1)存在存在x x1 1、x x2 2使使f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )成立成立f(x)f(x)minming(x)g(x)maxmax; ;(2)(2)對任意對任意x x1 1、x x2 2, ,使使f(xf(x1 1)g(x)g(x2 2) )恒成立恒成立f(x)f(x)maxmaxg(x)g(x)minmin, ,注意注意它們的區(qū)別它們的區(qū)別. .【備選例題】【例1】 (2013湖州市質檢)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-ln x,aR.(1)若a=2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,e上的最值;(2)若f(x)0恒成立,求a的取值范圍.(注:e是自然對數(shù)的底數(shù),約等于2.71828)所以函數(shù)所以函數(shù)f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減, ,所以所以f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間1,21,2上有最小值上有最小值f(2)=-f(2)=-lnln 2, 2,又因為又因為f(1)=1,f(1)=1,f(ef(e)=e(e-2)-1,)=e(e-2)-1,而而e(e-2)-11,e(e-2)-11,所以所以f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間1,e1,e上有最大值上有最大值f(1)=1.f(1)=1.即即f(xf(x) )在在1,e1,e上的最小值為上的最小值為- -lnln 2, 2,最大值為最大值為1.1.