第第4講講 二次根式及其運算二次根式及其運算1了解二次根式、最簡二次根式的概念2了解二次根式加、減、乘、除運算法則，會用它們進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算二次根式的知識點是新課標的基本考查內(nèi)容之一，常常以填空題、選擇題形式出現(xiàn)1二次根式的基本運算要求熟練掌握，二次根式的運算以整式的運算為基礎(chǔ)，其法則、公式都與整式類似，特別是二次根式的加減，沒有提出同類二次根式的概念，完全參照合并同類項的方法；二次根式的乘除、乘方運算類似于整式的乘除、乘方運算2二次根式的求值，二次根式性質(zhì)的應用等3主要體現(xiàn)類比轉(zhuǎn)化的思想方法1(2013湖州)二次根式 x1中字母 x 的取值范圍是( ) A. x1 Bx1 Cx1 Dx1 2(2010嘉興)設(shè) a0，b0，則下列運算中錯誤的是( ) A. ab a b B. ab a b C( a)2a D.abab D B 3(2014金華)在式子1x2，1x3， x2， x3中，x 可以取 2 和 3 的是( ) A.1x2 B.1x3 C. x2 D. x3 4(2010紹興)先化簡，再求值： 2(a 3)(a 3)a(a6)6，其中 a 21. C 二次根式的概念和性質(zhì) 1(2014武漢)若 x3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則 x 的取值范圍是( ) Ax0 Bx3 Cx3 Dx3 2 (2014株洲)x 取下列各數(shù)中的哪個數(shù)時， 二次根式 12x有意義( ) A2 B1 C 2 D3 C A 【解析】第1題根據(jù)二次根式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式；第2題二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，可以逐個代入，也可以先判斷x的取值范圍1二次根式的概念：形如_的式子叫做二次根式 2二次根式有意義的條件：要使二次根式 a有意義， 則 a0. A 3(2013婁底)式子2x1x1有意義的x 的取值范圍是( ) Ax12且 x1 Bx1 Cx12 Dx12且 x1 4(2014德州)若 yx4 4x22，則(xy)y_ 利用二次根式有意義的條件求字母的取值范圍時，首先考慮被開方數(shù)為非負數(shù)，其次還要考慮其他限制條件，如分母不等于0等，往往轉(zhuǎn)化為不等式(組)解決二次根式的簡單計算 C B 1(2014孝感)下列二次根式中，不能與 2合并的是( ) A.12 B. 8 C. 12 D. 18 2(2014濟寧)如果 ab0，ab0，那么下面各式： abab，abba1， ababb，其中正確的是( ) A B C D 3(2013衡陽)計算： 812( 2)0. 【解析】第1題將各二次根式化簡，根據(jù)最簡二次根式的被開方數(shù)相同，可得答案；第2題由ab0，ab0先得出a0，b0，再進行根號內(nèi)的運算；第3題原式第一項利用二次根式的乘法法則計算，第二項利用零指數(shù)冪法則計算，即可得到結(jié)果解：原式2131二次根式的性質(zhì)： (1)( a)2a(_) (2) a2|a| （a0） ， （a0）. (3) ab_(a0，b0) (4)ab_(a0，b0) 2最簡二次根式的概念：把滿足被開方數(shù)不含分母 ，被開方數(shù)中不含能開得盡方的_或_的二次根式，叫做最簡二次根式 3二次根式的加減法：在二次根式的加減運算中，先要把二次根式化成最簡二次根式，類似于合并同類項，我們可以把被開方數(shù)相同的二次根式進行合并 4二次根式的乘除法： (1)二次根式的乘法： a b_(a0，b0) (2)二次根式的除法：ab_(a0，b0) D C 4(2014臺灣)算式( 6 10 15) 3的值是( ) A2 42 B12 5 C12 13 D18 2 5 (2013永州)已知(xy3)2 2xy0， 則 xy 的值為( ) A0 B 1 C1 D 4 6(2013荊州)計算：412313 8. 1最簡二次根式必須同時滿足以下條件：(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式(分母中不應含有根號)；(2)被開方數(shù)中不含開方開得盡的因數(shù)或因式，即被開方數(shù)的因數(shù)或因式的指數(shù)都為1.2二次根式加減法運算的步驟：(1)將每個二次根式化成最簡二次根式；(2)找出其中被開方數(shù)相同的二次根式；(3)將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并3二次根式乘除法運算的步驟：先利用法則將被開方數(shù)化為積(或商)的二次根式，再化簡；最后結(jié)果要化為最簡二次根式、整式或分式二次根式的混合運算1已知 10的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求 a2b2的值 2(2014襄陽)已知 x1 2，y1 2，求 x2y2xy2x2y 的值 二次根式混合運算，可以運用運算律或適當改變運算順序，使運算簡便3先化簡，再求值： (2aa1a1a) a，其中 a 21. 4已知 x2 3，y2 3，求 x2xyy2的值 二次根式綜合計算與化簡問題，一般先化簡再代入求值，最后的結(jié)果要化為分母不含根號的數(shù)或者是最簡二次根式；也可以利用所給條件整體考慮二次根式的綜合應用1(2014寧波)如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC1，CE3，H是AF的中點，求CH的長【解析】連結(jié)AC，CF，根據(jù)正方形性質(zhì)求出AC，CF，ACDGCF45，再求出ACF90，然后利用勾股定理列式求出AF，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出解：如圖， 連結(jié) AC， CF， 正方形 ABCD 和正方形 CEFG中， BC1， CE3， AC 2， CF3 2， ACDGCF45， ACF90， 由勾股定理得， AF AC2CF2 （ 2）2（3 2）22 5，H 是 AF 的中點，CH12AF122 5 5 2(2013濱州)如圖，ABC中，AB17，AC10，BA邊上的高CD8，求邊BC的長根據(jù)圖形特點，作輔助線構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理，轉(zhuǎn)化為二次根式的計算