專(zhuān)題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專(zhuān)題九 選考部分1高考考點(diǎn)矩陣與變換主要包括二階矩陣、逆矩陣、二階方陣的特征值和特征向量等，著重考查矩陣的乘法、二階矩陣(對(duì)應(yīng)行列式不為零)的逆矩陣，考查二階方陣的特征值和特征向量的求法(只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形)，考查矩陣變換的性質(zhì)及其幾何意義，考查平面圖形的變換等2易錯(cuò)易漏(1)因矩陣乘法不滿(mǎn)足交換律，多次變換對(duì)應(yīng)矩陣的乘法順序易錯(cuò)(2)圖形變換后，所求圖形方程易代錯(cuò)3歸納總結(jié)2010年著重考查矩陣的乘法、二階矩陣(對(duì)應(yīng)行列式不為零)的逆矩陣，考查二階方陣的特征值和特征向量的求法(只要求特征值是兩個(gè)不同實(shí)數(shù)的情形)考查矩陣變換的性質(zhì)及幾何意義，往后可能考查平面圖形的變換等1000 xABCx 在平面到 軸的投影變換矩陣作用下 變成 軸上線(xiàn)的段【解析】A 4,5B 2,3C(32)ABC10()00A.B.C.D.1.已知，則在矩陣作用下得到的圖形是 點(diǎn)線(xiàn)段直線(xiàn)三角形2.給出五個(gè)命題，其中錯(cuò)誤命題個(gè)數(shù)為()(1)連續(xù)兩次反射變換，總的效果相當(dāng)于一個(gè)旋轉(zhuǎn)變換；(2)矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律、消去律，但滿(mǎn)足結(jié)合律；(3)detA0，有AB=AC，推出B=C；(4)已知AX=B，detA0，則X=BA-1；(5)投影變換矩陣有逆矩陣A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【解析】(1)、(2)正確見(jiàn)課本；(3)由detA0得A是可逆矩陣，兩邊左乘A-1可得B=C；所以(3)正確(4)已知AX=B，detA0，則X=A-1B；所以(4)錯(cuò)誤(5)投影變換把平面變成一條直線(xiàn)，或把直線(xiàn)變成一個(gè)點(diǎn)，因此沒(méi)有逆矩陣所以(5)錯(cuò)誤所以選B102,201_3.PPAA設(shè)矩陣，則點(diǎn)在所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換的作用下的像的坐標(biāo)是2102220122( 22)( 22)P A因?yàn)?，所以，故填，【解析?1111022ababcdcdabcdM設(shè)，則有，【解析】(11)2,1( 11)(02)_(2011)_4.MM二階矩陣對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)，與分別變換成點(diǎn)，與，則矩陣為南平質(zhì)檢12012212312.443ababcdcdabcd M所以，且，解得，所以22212-1-3(-1)(2)- 202- 201-2.- 21 - 2【解析】 因?yàn)椋?由解得，所以特征多項(xiàng)式為，特，征值為13_02_5.矩陣的特征多項(xiàng)式為，特征值為 .cossinsincoscos(2)coscos2sinsin2cos2sin2s1in(2)sin2coscos2s.2.2nsi1ixabxycdyx rrrxyy rrrx旋線(xiàn)性變換矩陣表達(dá)式幾種特殊線(xiàn)性變換及轉(zhuǎn)變換的矩陣表達(dá)式反射變換線(xiàn)性公其式式矩陣形n2cos2y2222222222222222222222cossin2sincos2sincossincoscossin.sincos0AxBBAABABABABABABABy關(guān)于直線(xiàn)的反射變換的矩陣公式 22222222222222222222010003400010kkkkklAxByBABxxyABABABAyxyABABBABABABABAABAB 位似變換的矩陣，伸縮變換的矩陣或平面到直線(xiàn) ：的投影變換的線(xiàn)性公式對(duì)應(yīng)矩陣110113.4.s01aTaMMTMTsyx平面上繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角 的變換 與繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)角的變換的效果正好互相抵消，旋轉(zhuǎn)角互為相反數(shù)，即，則稱(chēng)為 的逆變換矩陣表示的變換平面圖形上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，沿 方向切變；矩陣表示的變換平面圖形上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，沿 方向切變5.定理1矩陣等式(1)A(tX1)=t(AX1)；(2)AX1+AX2=A(X1+X2)；(3)A(tX1+kX2)=tAX1+kAX2.定理2可逆的線(xiàn)性變換具有如下性質(zhì)：(1)將直線(xiàn)變成直線(xiàn)；(2)將線(xiàn)段變成線(xiàn)段；(3)將平行四邊形變成平行四邊形212 12 12122112211212 12 121222222222226“”00.a ab ca bb dababcdcdc ad cc bd dabababababbabaababaBABAAB復(fù)合變換，滿(mǎn)足 穿脫原理 ，先穿襪，再穿鞋，這是先施行變換 ，二階矩陣乘法法；則后施行變換20bab其中 、 不全為 ；矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律、消去律，但滿(mǎn)足結(jié)合律 11det0.det07.8. 1deta badbcc ddbdetdetcadetdetdbadbcca AAAAAAAAAA解二元一次方程組的定理可逆的充要條件是：，且：寫(xiě)成矩陣等式，計(jì)算行列式，判斷；利用矩陣求逆公式，記，求步驟出逆矩陣； 12.()()(2)Xxya babc dcdlabadbccdadadcAblA BAA進(jìn)而用，求出 、：由矩陣得矩陣為特征矩陣口訣：各項(xiàng)取相反數(shù)， 加主對(duì)角線(xiàn) ；求特征矩陣的行列式，即是 的二次計(jì)多項(xiàng)式，稱(chēng)為矩陣的特征多項(xiàng)式；求特征多算矩陣 的特征向量的項(xiàng)式的根，步驟即特征值；將求出的每一個(gè)特征值代入特征方陣，得到不可逆矩陣，解以它為系數(shù)矩陣的二元一次方程組，得到的非零解對(duì)應(yīng)的向量就是矩陣A的特征向量題型一 驗(yàn)證矩陣的乘法不滿(mǎn)足消去律、交換律，但滿(mǎn)足結(jié)合律121011030400ABCACBCABBAAB CA BC已知：，求：，從中你能得到什【例1】么結(jié)論？121111030000101111040000121018101212;03040 1204030 12ACBCABABBA 但 【解析】 181111();0120000101111()040000()()AB CAB CA BCCA B ；因此 1 11 20 10 10001 00 00 00 1ACBCABABACBCABABABAB點(diǎn)評(píng)故不能從必然推出；但可推出；但并非所有的矩陣乘法都不滿(mǎn)足交換律， 如，； 也不能由必然推出或， 如， 【】 題型二 伸縮變換在橢圓中的應(yīng)用22412001xOyxyFFA【例2】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣對(duì)應(yīng)的變換下得到曲線(xiàn) ，求 的方程000000000000000000220022()()()22020141()()11.P xyP xyP xyxxxxxxyyyyyyPxyxyFxyA【解析】設(shè)，是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)，在矩陣 對(duì)應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)，則有 即，所以 又因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓上，故，從而，所以，曲線(xiàn) 的方程為【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查曲線(xiàn)在伸縮變換矩陣作用下的變換特點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力題型三 求逆矩陣12343A求的【例 】逆矩陣【分析】 用待定系數(shù)法求解-111-().1210.34013130-224-2131-20241132.1-221abcdabcdabcdaabcdbcdAAAAI ： 待定矩陣法 設(shè)， 由定義知： 所以得到兩個(gè)方程組： 解，解得，所以法【解析】-1-1-1-1()-223134-22-21.31-222xxAyyxxyyxxyxxyyxyyxy AAAAA： 解方程組的方法表示的線(xiàn)性變換 ：，而表示的線(xiàn)性變換：因此，由解出得故逆變換的矩陣解法-1-1()(det-0)-detdet.-detdet1234-21313-22det-2.adbcdbAAcaAAabcd AAAAA解法 ： 公式法 由，得這里，所以 -1-1-1,2222-22222222-22221020202102111-1.0101123 AAAAAA有的矩陣還可以根據(jù)變換的幾何意義求矩陣【的逆如，；，；，點(diǎn)評(píng)】題型四 矩陣綜合應(yīng)用 122134 (211120112).31adCxyC MeMM已知二階矩陣有特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量求矩陣；設(shè)曲線(xiàn) 在矩陣的【例 】作用下得到的方程為，求寧德質(zhì)曲線(xiàn)檢的方程【分析】先用特征值及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量，求出a，d的值，再求曲線(xiàn)C的方程 221221.30111113333312.3330()()21230321adaaddA xyCA xyxxxxyyyyxxy MM，所以，解得所以設(shè)點(diǎn)，為曲線(xiàn) 上的任一點(diǎn)，它在矩陣的作用下得到的點(diǎn)為，則，所以，代入得【解析】2222224.22311xxxyyyx ，所以所求的曲線(xiàn)方程為ad正確求出 ， 的值【點(diǎn)評(píng)】是關(guān)鍵