第二講概率、隨機變量及其分布列第二講概率、隨機變量及其分布列主干知識整合主干知識整合2常見的離散型隨機變量的分布常見的離散型隨機變量的分布(1)兩點分布兩點分布分布列為分布列為(其中其中0p1)(2)二項分布二項分布在在n次獨立重復(fù)試驗中，事件次獨立重復(fù)試驗中，事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)是一是一個隨機變量，個隨機變量，01P1pp3離散型隨機變量的期望與方差離散型隨機變量的期望與方差若離散型隨機變量若離散型隨機變量的分布列為的分布列為則稱則稱E()x1p1x2p2xnpn為為的數(shù)的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望學(xué)期望，簡稱期望D()x1E()2p1x2E()2p2xnE()2pn叫做隨機變量叫做隨機變量的方差的方差x1x2xnPp1p2Pn高考熱點講練高考熱點講練古典概型古典概型例例1 一個袋中裝有大小相同的一個袋中裝有大小相同的10個球，其中紅個球，其中紅球球8個，黑球個，黑球2個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次個，現(xiàn)從袋中有放回地取球，每次隨機取隨機取1個個(1)求連續(xù)取兩次都是紅球的概率；求連續(xù)取兩次都是紅球的概率；(2)如果取出黑球，則取球終止，否則繼續(xù)取球，如果取出黑球，則取球終止，否則繼續(xù)取球，直到取出黑球，求取球次數(shù)不超過直到取出黑球，求取球次數(shù)不超過3次的概率次的概率變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1有兩枚大小相同、質(zhì)地均勻的正四有兩枚大小相同、質(zhì)地均勻的正四面體玩具，每個玩具的各個面上分別寫著數(shù)字面體玩具，每個玩具的各個面上分別寫著數(shù)字1,2,3,5.同時投擲這兩枚玩具一次，記同時投擲這兩枚玩具一次，記m為兩個為兩個朝下的面上的數(shù)字之和朝下的面上的數(shù)字之和(1)求事件求事件“m不小于不小于6”的概率；的概率；(2)“m為奇數(shù)為奇數(shù)”的概率與的概率與“m為偶數(shù)為偶數(shù)”的概率是否的概率是否相等？并給出說明相等？并給出說明解：因為玩具的質(zhì)地是均勻的，所以玩具各面解：因為玩具的質(zhì)地是均勻的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出現(xiàn)的可能情況有：朝下的可能性相等，出現(xiàn)的可能情況有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共，共16種種(1)事件事件“m不小于不小于6”包含包含(1,5)，(2,5)，(3,5)，(3,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共，共8個基本個基本事件，事件，相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗的概相互獨立事件、獨立重復(fù)試驗的概率率例例2【歸納拓展歸納拓展】(1)求復(fù)雜事件的概率，要正確求復(fù)雜事件的概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，看復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個個彼此互斥的事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率相互獨立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解公式求解(2)一個復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況一個復(fù)雜事件若正面情況比較多，反面情況較少，則一般利用對立事件進行求解，對于較少，則一般利用對立事件進行求解，對于“至至少少”，“至多至多”等問題往往用這種方法求解等問題往往用這種方法求解變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2甲袋中裝有若干質(zhì)地、大小相同的甲袋中裝有若干質(zhì)地、大小相同的黑球、白球，乙袋中裝有若干個質(zhì)地、大小相黑球、白球，乙袋中裝有若干個質(zhì)地、大小相同的黑球、紅球某人有放回地從兩袋中每次同的黑球、紅球某人有放回地從兩袋中每次取一球，甲袋中每取到一黑球得取一球，甲袋中每取到一黑球得2分，乙袋中每分，乙袋中每取到一黑球得取到一黑球得1分，取得其他球得零分，規(guī)定他分，取得其他球得零分，規(guī)定他最多取最多取3次，如果前兩次得分之和超過次，如果前兩次得分之和超過2分即停分即停止取球，否則取第三次取球方式：先在甲袋止取球，否則取第三次取球方式：先在甲袋中取一球，中取一球，以后均在乙袋中取球，此人在甲袋中取到一個以后均在乙袋中取球，此人在甲袋中取到一個黑球的概率為黑球的概率為q，在乙袋中取到一個黑球的概率，在乙袋中取到一個黑球的概率為為0.8，用，用表示他取球結(jié)束后的總分，已知表示他取球結(jié)束后的總分，已知P(1)0.24.(1)求求q的值；的值；(2)試比較此人選擇每次都在乙袋中取球得分超試比較此人選擇每次都在乙袋中取球得分超過過1分與選擇上述方式取球得分超過分與選擇上述方式取球得分超過1分的概率分的概率的大小的大小解：解：(1)依題意，得依題意，得(1q)0.80.2(1q)0.20.80.24，解之，得，解之，得q0.25.(2)設(shè)此人按題中方式取球結(jié)束后得設(shè)此人按題中方式取球結(jié)束后得n分的概率分的概率為為Pn.P20.25(10.8)(10.8)(10.25)0.80.80.49，P30.250.80.250.20.80.24.若用若用A表示事件表示事件“該人選擇先在甲袋中取一球，該人選擇先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過以后均在乙袋中取球得分超過1分分”，用，用B表示事表示事件件“該人選擇都在乙袋中取球，得分超過該人選擇都在乙袋中取球，得分超過1分分”，則則P(A)P2P30.490.240.73，P(B)0.80.80.230.80.80.80.896.故故P(B)P(A)，即該人選擇每次在乙袋中取球得，即該人選擇每次在乙袋中取球得分超過分超過1分的概率大于該人選擇先在甲袋中取一分的概率大于該人選擇先在甲袋中取一球，以后均在乙袋中取球得分超過球，以后均在乙袋中取球得分超過1分的概率分的概率離散型隨機變量及分布列離散型隨機變量及分布列例例3A配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表B配方的頻數(shù)分布表配方的頻數(shù)分布表從用從用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中任取一件，其利潤記為X(單位：元單位：元)，求，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望的分布列及數(shù)學(xué)期望(以試以試驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件驗結(jié)果中質(zhì)量指標值落入各組的頻率作為一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應(yīng)組的概率產(chǎn)品的質(zhì)量指標值落入相應(yīng)組的概率)X224P0.040.540.42X的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X)20.0420.5440.422.68.【歸納拓展歸納拓展】(1)求離散型隨機變量的分布列求離散型隨機變量的分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的關(guān)鍵是正確理解隨機變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類求概率的公式，求出概率求出概率(2)求隨機變量的均值和方差的關(guān)鍵是正確求出求隨機變量的均值和方差的關(guān)鍵是正確求出隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布隨機變量的分布列，若隨機變量服從二項分布(或兩點分布或兩點分布)，則可直接使用公式求解，則可直接使用公式求解考題解答技法考題解答技法例例 (本題滿分本題滿分12分分)(2011年高考福建卷年高考福建卷)某產(chǎn)某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)個等級，等級系數(shù)X依依次為次為1,2，8，其中，其中X5為標準為標準A，X3為為標準標準B.已知甲廠執(zhí)行標準已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為的零售價為6元元/件；乙廠執(zhí)行標準件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為品，產(chǎn)品的零售價為4元元/件，假定甲、乙兩廠件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如的概率分布列如下所示：下所示：且且X1的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望E(X1)6，求，求a，b的值；的值；X15678P0.4ab0.1(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：一個樣本，數(shù)據(jù)如下：353385563463475348538343447567用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望；的數(shù)學(xué)期望；(3)在在(1)、(2)的條件下，若以的條件下，若以“性價比性價比”為判斷標準，為判斷標準，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：由已知得，樣本的頻率分布表如下：5分分用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：的概率分布列如下：6分分X2345678f0.30.20.20.10.10.1X2345678P0.30.20.20.10.10.1【得分技巧得分技巧】第第(1)問中利用已知條件列出關(guān)問中利用已知條件列出關(guān)于于a，b的等式關(guān)系，第的等式關(guān)系，第(2)問中正確寫出分布列，問中正確寫出分布列，再求出再求出E(X2)的值，第的值，第(3)問利用題中公式求其性問利用題中公式求其性價比價比【失分溯源失分溯源】在解答本題時，常出現(xiàn)以下失在解答本題時，常出現(xiàn)以下失分的情況：分的情況：(1)未考慮分布列的性質(zhì)，從而不能未考慮分布列的性質(zhì)，從而不能列出方程組，也就無法求得列出方程組，也就無法求得a，b的值；的值；(2)在列在列頻率分布表時，由于不仔細，個別數(shù)字出錯，頻率分布表時，由于不仔細，個別數(shù)字出錯，導(dǎo)致無法得分導(dǎo)致無法得分變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練某地區(qū)在一年內(nèi)遭到暴雨襲擊的次某地區(qū)在一年內(nèi)遭到暴雨襲擊的次數(shù)用數(shù)用表示，據(jù)統(tǒng)計，隨機變量表示，據(jù)統(tǒng)計，隨機變量的概率分布列的概率分布列如下：如下：(1)求求a的值和的值和的數(shù)學(xué)期望；的數(shù)學(xué)期望；(2)假設(shè)第一年和第二年該地區(qū)遭到暴雨襲擊的假設(shè)第一年和第二年該地區(qū)遭到暴雨襲擊的次數(shù)互不影響，求這兩年內(nèi)該地區(qū)共遭到暴雨次數(shù)互不影響，求這兩年內(nèi)該地區(qū)共遭到暴雨襲擊襲擊2次的概率次的概率0123P0.10.32aa解：解：(1)由概率分布列的性質(zhì)，知由概率分布列的性質(zhì)，知0.10.32aa1，解得，解得a0.2，的概率分布列為的概率分布列為E()00.110.320.430.21.7.0123P0.10.30.40.2本部分內(nèi)容講解結(jié)束本部分內(nèi)容講解結(jié)束按按ESC鍵退出全屏播放鍵退出全屏播放