第第2講命題及其關(guān)系講命題及其關(guān)系1了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義，會分析四種命題的相了解命題的逆命題、否命題與逆否命題的意義，會分析四種命題的相 互關(guān)系互關(guān)系2理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會判斷必要條件、充分理解必要條件、充分條件與充要條件的意義，會判斷必要條件、充分 條件與充要條件條件與充要條件基礎(chǔ)自查基礎(chǔ)自查1命題的概念命題的概念(1)能夠能夠 的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫的語句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做做 ，判斷為假的語句叫做判斷為假的語句叫做 判斷真假判斷真假真命題真命題假命題假命題(2)在兩個命題中，如果一個命題的在兩個命題中，如果一個命題的 是另一個命題的是另一個命題的 ，我們稱這兩個命題為互逆命題我們稱這兩個命題為互逆命題 (3)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的的 ，這樣的兩個命題稱為互否命題，這樣的兩個命題稱為互否命題(4)在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題 的的 ，這樣的兩個命題稱為逆否命題，這樣的兩個命題稱為逆否命題(5)一般地，設(shè)一般地，設(shè)“若若p則則q”為原命題，那么為原命題，那么“若若q則則p”就叫做原命題就叫做原命題的的 ；“若非若非p則非則非q”就叫做原命題的就叫做原命題的 ；“若非若非q則非則非p”就就叫做原命題的叫做原命題的 條件和結(jié)論條件和結(jié)論結(jié)論和條件結(jié)論和條件條件的否定和結(jié)論的否定條件的否定和結(jié)論的否定結(jié)論的否定和條件的否定結(jié)論的否定和條件的否定逆命題逆命題否命題否命題逆否命題逆否命題2四種命題的相互關(guān)系四種命題的相互關(guān)系(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系3充分條件和必要條件充分條件和必要條件 一般地，如果一般地，如果pq，那么稱，那么稱p是是q的的 條件，同時稱條件，同時稱q是是p 的的 ，如果，如果pq，且，且qp，那么稱，那么稱p是是q的的 條件，條件， 簡稱簡稱p是是q的的 條件，記作條件，記作pq；如果；如果pq，且，且q / p，那么稱，那么稱p是是q 的的 條件；如果條件；如果p / q；且；且qp，那么稱，那么稱p是是q的的 ， 條件；如果條件；如果p/ q，且，且q / p，那么稱，那么稱p是是q的的 條件條件必要條件必要條件充分必要充分必要充分充分充要充要充分不必要充分不必要必要不充分必要不充分既不充分又不必要既不充分又不必要聯(lián)動思考聯(lián)動思考想一想：想一想：“x1”是是“x21”的什么條件？的什么條件？答案：答案：充分不必要條件充分不必要條件議一議：議一議：如何理解一個命題如何理解一個命題p與非與非p真假性相反？真假性相反？答案：答案：可以從集合的角度進行理解，可以從集合的角度進行理解，“非非”是否定的意思，即集合中的是否定的意思，即集合中的“補集補集”概念若將命題對應(yīng)集合概念若將命題對應(yīng)集合P，則命題，則命題“綈綈p”就對應(yīng)集合就對應(yīng)集合P在全集在全集U中的補集中的補集 UP.聯(lián)動體驗聯(lián)動體驗1若若、均為銳角，則均為銳角，則sin sin 是是0”是是“|a|0”的的_條件條件 答案：答案：充分不必要充分不必要3x21是是x1的的_條件條件 答案：答案：必要不充分必要不充分4命題命題“若若x21，則，則x1”的逆命題是的逆命題是_，否命題是，否命題是_，逆否，逆否 命題是命題是_ 答案：答案：若若x1則則x21若若x21則則x1若若x1，則，則x215(2010四川改編四川改編)函數(shù)函數(shù)f(x)x2mx1的圖象關(guān)于直線的圖象關(guān)于直線x1對稱的充要條件對稱的充要條件 是是_ 答案：答案：m2 考向一命題真假的判斷考向一命題真假的判斷【例【例1】 分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題、命題的否定，并分別寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題、命題的否定，并判斷它們的真假判斷它們的真假(1)若若q1，則方程，則方程x22xq0有實根；有實根；(2)若若x、y都是奇數(shù)，則都是奇數(shù)，則xy是偶數(shù)；是偶數(shù)；(3)若若xy0，則，則x0或或y0；(4)若若x2y20，則，則x、y全為全為0.解：解：(1)原命題是真命題原命題是真命題逆命題：若方程逆命題：若方程x22xq0有實根，則有實根，則q1，為真命題；，為真命題；否命題：若否命題：若q1，則方程，則方程x22xq0無實根，為真命題；無實根，為真命題；逆否命題：若方程逆否命題：若方程x22xq0無實根，則無實根，則q1，為真命題；，為真命題；命題的否定：若命題的否定：若q1，則方程，則方程x22xq0無實根，為假命題無實根，為假命題(2)原命題是真命題原命題是真命題逆命題：若逆命題：若xy是偶數(shù)，則是偶數(shù)，則x、y都是奇數(shù)，是假命題；都是奇數(shù)，是假命題；否命題：若否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則不都是奇數(shù)，則xy不是偶數(shù)，是假命題；不是偶數(shù)，是假命題；逆否命題：若逆否命題：若xy不是偶數(shù)，則不是偶數(shù)，則x、y不都是奇數(shù)，是真命題；不都是奇數(shù)，是真命題；命題的否定：命題的否定：x、y都是奇數(shù)，則都是奇數(shù)，則xy不是偶數(shù)，是假命題不是偶數(shù)，是假命題(3)原命題為真命題原命題為真命題逆命題：若逆命題：若x0或或y0，則，則xy0，是真命題；，是真命題；否命題：若否命題：若xy0，則，則x0且且y0，是真命題；，是真命題；逆否命題：若逆否命題：若x0且且y0，則，則xy0，是真命題；，是真命題；命題的否定：若命題的否定：若xy0，則，則x0且且y0，是假命題，是假命題(4)原命題為真命題原命題為真命題逆命題：若逆命題：若x、y全為全為0，則，則x2y20，為真命題；，為真命題；否命題：若否命題：若x2y20，則，則x、y不全為不全為0，為真命題；，為真命題；逆否命題：若逆否命題：若x、y不全為不全為0，則，則x2y20，為真命題；，為真命題；命題的否定：若命題的否定：若x2y20，則，則x、y不全為不全為0，是假命題，是假命題反思感悟反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣1在判斷四種命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較在判斷四種命題之間的關(guān)系時，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再比較 每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一每個命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，要注意四種命題關(guān)系的相對性，一 旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的旦一個命題定為原命題，也就相應(yīng)地有了它的“逆否命題逆否命題”“”“否命題否命題” 和和“逆命題逆命題”2掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價性，當(dāng)一個命題直接判掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價性，當(dāng)一個命題直接判 斷它的真假不易進行時，可以轉(zhuǎn)而判斷其逆否命題的真假斷它的真假不易進行時，可以轉(zhuǎn)而判斷其逆否命題的真假遷移發(fā)散遷移發(fā)散1已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)是是(，)上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，a、bR，對命題，對命題“若若ab0， 則則f(a)f(b)f(a)f(b)” (1)寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；寫出逆命題，判斷其真假，并證明你的結(jié)論；(2)寫出其逆否命題，判斷其真寫出其逆否命題，判斷其真 假，并證明你的結(jié)論假，并證明你的結(jié)論 解：解：(1)逆命題是：已知函數(shù)逆命題是：已知函數(shù)f(x)是是(，)上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，a、bR，若，若 f(a) f(b)f(a)f(b)，則，則ab0，它是成立的，逆命題與否命題是等，它是成立的，逆命題與否命題是等 價的，可證其否命題是真命題，否命題為：若價的，可證其否命題是真命題，否命題為：若ab0，則，則 f(a)f(b)f(a)f(b) 證明：證明：ab0，ab，ba，f(x)在在(，)上是增函數(shù)，上是增函數(shù)， f(a)f(b)，f(b)f(a)，f(a)f(b)f(a)f(b)，否命題為真命題，否命題為真命題， 它的逆命題也為真命題它的逆命題也為真命題 (2)逆否命題是：已知函數(shù)逆否命題是：已知函數(shù)f(x)是是(，)上的增函數(shù)，上的增函數(shù)，a，bR，若，若f(a) f(b)f(a)f(b)，則，則ab0，設(shè)命題甲為：兩個實數(shù)，設(shè)命題甲為：兩個實數(shù)a、b滿足滿足|ab|2h；命題乙為：兩個；命題乙為：兩個實數(shù)實數(shù)a、b滿足滿足|a1|h且且|b1|h.那么甲是乙的那么甲是乙的_條件條件解析：解析：因因(1)得得h1bh. 得得2hab2h|ab|2h，即由命題乙成立可推出命題甲成立，所以甲是乙的必要條件即由命題乙成立可推出命題甲成立，所以甲是乙的必要條件由由 同理也可得同理也可得|ab|2h.因此，命題甲成立不一定能推出命題乙成立，所以甲不是乙的充分條件因此，命題甲成立不一定能推出命題乙成立，所以甲不是乙的充分條件答案：答案：必要而不充分必要而不充分反思感悟反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣在進行充分條件與必要條件的推理判斷中要注意轉(zhuǎn)化，根據(jù)命題之間的關(guān)系在進行充分條件與必要條件的推理判斷中要注意轉(zhuǎn)化，根據(jù)命題之間的關(guān)系我們可以知道：如果我們可以知道：如果p是是q的充分不必要條件，那么的充分不必要條件，那么綈綈p是是綈綈q的必要不充分條的必要不充分條件，同理，如果件，同理，如果p是是q的必要不充分條件，那么的必要不充分條件，那么綈綈p是是綈綈q的充分不必要條件，的充分不必要條件，如果如果p是是q的充要條件，那么的充要條件，那么綈綈p是是綈綈q的充要條件的充要條件遷移發(fā)散遷移發(fā)散2在下列各項中選擇一項填空：在下列各項中選擇一項填空：A充分不必要條件充分不必要條件 B必要不充分條件必要不充分條件C充要條件充要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件(1)p：(x1)(x2)0，q：x2，p是是q的的_；(2)p：1x6，q：|x2|3，p是是q的的_；(3)p：x2x60，q：x2或或x3，p是是q的的_解析：解析：(1)令令A(yù)x|(x1)(x2)0 x|2x1，Bx|x2，顯然，顯然AB，所以，所以p是是q的充分不必要條件的充分不必要條件(2)令令A(yù)x|1x6，Bx|x2|3x|3x23x|1x0，ab10，ab1.綜上所述，當(dāng)綜上所述，當(dāng)ab0時，時，ab1的充要條件是的充要條件是a3b3aba2b20.反思感悟反思感悟：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣：善于總結(jié)，養(yǎng)成習(xí)慣 有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由有關(guān)充要條件的證明問題，要分清哪個是條件，哪個是結(jié)論，由“條條 件件”“結(jié)論結(jié)論”是證命題的充分性，由是證命題的充分性，由“結(jié)論結(jié)論”“條件條件”是證命題的必要是證命題的必要 性證明分為兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性，證明時，不要認(rèn)為它是性證明分為兩個環(huán)節(jié)：一是充分性；二是必要性，證明時，不要認(rèn)為它是 推理過程的推理過程的“雙向書寫雙向書寫”，而應(yīng)該施行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次，而應(yīng)該施行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次 證明證明 一般地，若證充分性，將條件作為已知，若證必要性，將結(jié)論作為已知一般地，若證充分性，將條件作為已知，若證必要性，將結(jié)論作為已知遷移發(fā)散遷移發(fā)散3已知已知a、b是實數(shù)，求證：是實數(shù)，求證：a4b42b21成立的充分條件是成立的充分條件是a2b21. 該條件是否為必要條件？試證明你的結(jié)論該條件是否為必要條件？試證明你的結(jié)論 證明：證明：a2b21，a4b42b2(a2b2)(a2b2)2b2 (a2b2)2b2a2b21. 即即a4b42b21成立的充分條件是成立的充分條件是a2b21.又又a4b42b21， 即為即為a4(b42b21)0. a4(b21)20，(a2b21)(a2b21)0，又，又a2b211，a2b210， 即即a2b21. 因此因此a2b21既是既是a4b42b21的充分條件，也是的充分條件，也是a4b42b21的的 必要條件必要條件課堂總結(jié)感悟提升課堂總結(jié)感悟提升1命題及命題真假的判定命題及命題真假的判定 判斷一個語句是不是命題，就是要看它是否符合判斷一個語句是不是命題，就是要看它是否符合“是陳述句是陳述句”和和“可以可以 判斷真假判斷真假”這兩個條件，只有這兩個條件都具備的語句才是命題這兩個條件，只有這兩個條件都具備的語句才是命題 對于命題真假的判定，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，只有將條件與結(jié)對于命題真假的判定，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，只有將條件與結(jié) 論分清，才有可能正確地判斷其真假論分清，才有可能正確地判斷其真假2充分條件與必要條件的判斷方法有：充分條件與必要條件的判斷方法有： (1)利用定義判斷利用定義判斷 若若pq，則，則p是是q的充分條件；的充分條件； 若若qp，則，則p是是q的必要條件；的必要條件； 若若pq且且qp，則，則p是是q的充要條件；的充要條件； 若若pq且且q / p，則，則p是是q的充分不必要條件；的充分不必要條件； 若若p / q且且qp，則，則p是是q的必要不充分條件；的必要不充分條件； 若若p / q且且q / p，則，則p是是q的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件(2)利用集合判斷利用集合判斷記記p、q對應(yīng)的集合分別為對應(yīng)的集合分別為A、B，則：，則：若若AB，則，則p是是q的充分條件；的充分條件；若若AB，則，則p是是q的充分不必要條件；的充分不必要條件；若若AB，則，則p是是q的必要條件；的必要條件；若若AB，則，則p是是q的必要不充分條件；的必要不充分條件；若若AB，則，則p是是q的充要條件；的充要條件；若若A B，且，且A B，則，則p是是q的既不充分也不必要條件的既不充分也不必要條件