專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題三 不等式、數(shù)列、推理與證明 1111111()2(1. )1()1()1nnnnnnnnnnnnaaaf nf naqapaq pqapqp apapaf npag np ag n求數(shù)列通項(xiàng)的常見方法：累加 乘 法：形如或構(gòu)造等差或等比數(shù)列法：如：， 為常數(shù) ，變形為；為常數(shù) ，轉(zhuǎn)化為；12212111,223nnnnnnnaaabapaqaaAaB aAaABn，轉(zhuǎn)化為，用待定系數(shù)法求 、 ，從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解數(shù)列是定義在正整數(shù)集或其有限子集， ，上的特殊函數(shù)，在解決數(shù)列問題時，可應(yīng)用函數(shù)的概念、性質(zhì)實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，利用動態(tài)的函數(shù)觀點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)等知識是解決數(shù)列問題的有效方法以數(shù)列為載體，通過數(shù)列的和或項(xiàng)來考查不等式的證明或應(yīng)用是常見題型，應(yīng)注意不等式的證明方法、數(shù)列求和方法等知識的綜合應(yīng)用同時解題時應(yīng)善于運(yùn)用基本數(shù)學(xué)方法，如觀察法、類比法、數(shù)形結(jié)合法等 4數(shù)列模型應(yīng)用問題國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展中的大量問題，如人口增長、產(chǎn)量的增加、成本的降低、存貸款利息的計(jì)算等應(yīng)用問題，就是數(shù)列所要解決的問題實(shí)際問題中，若問題實(shí)質(zhì)反映的是前后相鄰兩次(或三次)之間的某種固定關(guān)系，適合應(yīng)用數(shù)列建模求解 11*12320092010*1121()()A.6 B.3 C.2 (20D.1()()A B1)201nnnnnnnnaaaaanaaaaaaaanaNN已知數(shù)列滿足，則連乘積的值為 對于數(shù)列，“”是“陜西例一、周期數(shù)列與創(chuàng)新型數(shù)列問題為遞增數(shù)列”的 必要不充分條件1充分不必C D要條件充要條件既不充分也不必要條件 12341232009201020092010121111112 416321,0,A.1nnnnnnnnnnnnnnnaa aaaa aaaaaaa aaaaaaaaaaaaaaa 歸納出數(shù)列是以 為周期的數(shù)列，且，故，由可得，所以是遞增數(shù)列，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分條件，當(dāng)是遞增數(shù)列時，不一定有，如， ， ，所以“”不是“為遞增數(shù)故選解析：B.列”的必要條件故選， 12本題可以訓(xùn)練學(xué)生的歸納推理能力，猜想數(shù)列可能是周期數(shù)列，然后探究數(shù)列的周期性數(shù)列是特殊的函數(shù)，利用遞增數(shù)列的特點(diǎn)絕對值的運(yùn)算，進(jìn)行充分、必要條件的判斷，是一道小型綜合題，有一定的【點(diǎn)評】創(chuàng)新性2000()11.34200110()200120%.()(2001)naan某城區(qū)年底有居民住房總面積為平方米 ，且居民住房分為危舊住房、新型住房、可用住房三類，其中危舊住房占 ，新型住房占為了加快住房建設(shè)，自年起計(jì)劃用 年的時間拆除全部危舊住房 每年拆除的數(shù)量相同 ；同時自年起居民住房只建設(shè)新型住房，每年年底的新型住房面積都比上一年底的新型住房面積增長用平方米 表示第 年底二、數(shù)列模年例2為型應(yīng)用問第一年題該城區(qū)的居民住房總面積 12()(lg20.30lg30.48lg431.23)16naaa分別寫出 、 的表達(dá)式，并歸納出的計(jì)算公式 不必證明 ；危舊住房全部拆除后，至少再過多少年才能使該城區(qū)居民住房總面積翻兩番？精確到年，以下數(shù)據(jù)供參考：， 122512000115()431211103310(120%) (110)412305(120%) 4105111120%412310 3512120%4123302nnnaaaaaaaaaaaaaaanaanaaaa年底除了危舊住房和新型住房外的可用住房面積為，每年拆除危舊住房面積為，依題意，得，一般地，解析：(11)n 543 120%41.2412412lg43lg3lg1.2014.372lg2lg3 1151550.215nnaaaaann由，得，又，所以，所以，取答：至少再經(jīng)過 年才能使該地區(qū)的居民住房總面積翻兩番數(shù)列模型實(shí)際應(yīng)用問題的顯著情境是一次一次的變化，且前后相鄰兩次或三次顯現(xiàn)固定的變化模式；求解時可依次探究，歸納出一般規(guī)律，也可找相鄰前后二次或三次的遞推關(guān)系式，然后化歸為特殊數(shù)列問【點(diǎn)評】題求解 1*1*321 221()12()2312nnnnnnnaanaanannaaaaaannn NN已知數(shù)列滿足：，且求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公三、數(shù)列與不等式綜合式；題例3：問證明 1111212112(1)1111111()( )( )222.211nnnnnnnnnnnnnnnaannaa ananannnaaaanann 由題意，得，即，故，即數(shù)列為等比數(shù)列所以所以解，析： 3120121111211231111112122221212(2)22.nnnnnnanaaaannnnn 由上知，所以本例問題實(shí)質(zhì)是有關(guān)數(shù)列的通項(xiàng)、恒等式和不等式的證明，求解策略是應(yīng)用轉(zhuǎn)化化歸思想和推理證【點(diǎn)評】明方法 1*21312.212lnlnnnnnnnnnnannaSaSnanaaaa N已知各項(xiàng)全不為零的數(shù)列的前 項(xiàng)和為，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；求證：對任意的正整數(shù)例4，不等式都成立 11 1 22nnnnSnaSSna 思路：應(yīng)用公式，求得數(shù)列的遞推公式后轉(zhuǎn)化化歸為等差數(shù)列第問，等價轉(zhuǎn)換待證不等式后，依據(jù)所得不等式的特征構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用解析：導(dǎo)數(shù)求解 1111111111211.211 12222110. 1110.20.112nnnnnnnnnnnnnnaSanananaSSnanannnanaaaaaaaan 由得當(dāng)時，即以代替 得，兩式相減得所以，數(shù)列為等差數(shù)列，又由，知 1332323323232111lnlnln1ln111ln(1).1ln1ln10.ln1310)10)(0)020.nnnnanaannannnnxxxxnxxxh xxxxxxh xxh xxh xh 證明：由的結(jié)論知不等式設(shè)，因此欲證結(jié)論成立，只需證，即證令，則在 ，上恒為大于零，所以在 ，上單調(diào)遞增，當(dāng)，時，恒有故原不等式得證 2211*1()2463,23(2,3)1(1,2).21()32nnnnnnnnnfxxaxb abfxxxxabaaf anbnbnSaabSnN設(shè)函數(shù)、 為實(shí)數(shù) ，已知不等式對任意的實(shí)數(shù)均成立定義數(shù)列和：， ， ，數(shù)列的前 項(xiàng)和為備選題 求 、 的值；求證： 22211111211121111 2462|31 |3010.232322 (2)1(2)22231.221222222.12nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnf xxxxxxffabaf aaaaananaaaaaaabaaa aaaa aaf xxx R由，對均成立得，故，所以由，得，以解所析:11nna-，*1212231111211211112111111()()111111()1().322(2)220(2)(2)3003nnnnnnnnnnnnnnnnnnSnSbbbaaaaaaaaaaaanaaanaanaaaaaN所以因?yàn)?，所以，所以從而，即，所以n本題集數(shù)列、函數(shù)、不等式于一體，主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的遞推公式、數(shù)列的通項(xiàng)求法、數(shù)列前 項(xiàng)和的求法、構(gòu)造新數(shù)列法、裂項(xiàng)相消法等知識與方法，此題對學(xué)生分析問題與解決問題的能力，邏輯推理能力以及運(yùn)算能力的要【點(diǎn)評】求較高1數(shù)列模型應(yīng)用題的求解策略與數(shù)列有關(guān)的應(yīng)用題大致有三類：一類是有關(guān)等差數(shù)列的應(yīng)用題；二是有關(guān)等比數(shù)列的應(yīng)用題；三是有關(guān)遞推數(shù)列且可化成等差、等比數(shù)列的應(yīng)用題當(dāng)然，還包括上述三類問題的綜合其中第一類問題在內(nèi)容上比較簡單，建立等差數(shù)列模型后，問題常常轉(zhuǎn)化成整式或不等式處理，很容易計(jì)算對第二類問題，建立等比數(shù)列的模型后，弄清項(xiàng)數(shù)是關(guān)鍵，運(yùn)算中往往要運(yùn)用指數(shù)或?qū)?shù)知識，并依據(jù)題設(shè)中所給參考數(shù)據(jù)進(jìn)行近似計(jì)算，對其結(jié)果要按要求保留一定的精確度對于第三類問題，要將線性遞推數(shù)列化歸為等比數(shù)列求解 2數(shù)列與不等式綜合問題求解思想解答數(shù)列與不等式的綜合問題時要善于運(yùn)用函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，利用數(shù)列為特殊函數(shù)，用特例分析法、一般遞推法及數(shù)列的求和、求通項(xiàng)的基本方法、放縮法等方法綜合分析問題探究問題計(jì)算、推理、論證的途徑