專題一 函數(shù)與導數(shù)專題四 立體幾何(0 90 1兩異面直線所成的角：過空間任意一點分別引兩條異面直線的平行線，那么這兩條相交直線所成的角就叫做這兩條異面直線所成的角兩條異面直線所成的角的范圍是，求異面直線所成的角，最關鍵是要找到一個點，然后把兩條異面直線平移至同一個平面90 .0 .0 90 2AOAB直線與平面所成的角：斜線與它在平面內(nèi)的射影所成的角叫做斜線與平面所成的角如果直線與平面垂直，那么就說直線與平面所成的角為如果直線與平面平行或者在平面內(nèi)，那么就說直線和平面所成的角為直線與平面所成的角的范圍是，求直線與平面所成的角關鍵是過直線上一點向平面作垂線03180AOOBAOB一個平面垂直于二面角的棱，且與兩個半平面的交線分別是射線、，則叫做二面角的平面角二面角的平面角的取值范圍是，求二面角的平面角的方法有：定義法、線面垂直法、射影面二面角：積法等 4123空間的距離包括兩點間的距離、點線距離、點面距離、線面距離、面面距離、兩平行線間的距離在六種距離中，求點到平面的距離是重點，點到平面的距離是指：自點向平面引垂線，點到垂足間的距離求點到平面的距離方法有： 直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長； 轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離；空體間的離：積法距1111111_ _1_ _ABCDA B C DMNA BBBAMCN在正方體中，、 分別為、的中點，則異面直線與一、異面直線所成的角所成角的余例弦值為 111222/./15517.22.2144s5co:ABEBEAM BEEBFFNBE FNAM FNCFFNCNAMCNABCFNCNFNCFCNFNCFCNFCN FN如圖，取的中點 ，連接，則取的中點 ，連接，則，因此，連接，則直線與所夾銳角或直角為異面直線與所成的角設，在中，由余弦定理解析求兩條異面直線所成的角的具體步驟是：選點平移；證明所作的角為異面直線所成的角；解三角形求角但有時也可以通過證明線面垂直【點評】來得到1624_2ABCDBDBDCCABDCABDBCABD已知邊長為 的正方形，沿對角線將折起得到三棱錐，且三棱錐的體積等于，則直線與平面所成角的正弦值二、直線與平面所成的角例為2.12231162sin32243sin60120 .260:CABDBAOCDAOCDAOCAOCABCDOBDAOCBAOCDAOCVVVVSODOCCOAODCOACOACOACOAOAOC 設正方形的中心為 ，則平面三棱錐與體積相等因為或若，因為，所以是解析正三角形.2361sin602246sin.412061sin6n46si40.AOCAOBCCEAOEBECBEBCABDBCCECOCECBEBCCOACAOAOEBECBEBCABDBCCECBOEC 又因為平面平面過 作于 ，連接，則就是與平面所成角，所以當時，過 作的垂線，交的延長線于點 ，連接，則即為與平面所成的角又，所以求直線與平面所成角的步驟是：作出斜線與射影所成的角；利用三角形【點評】知識求角 1231303.ABCDABBCCDBCCDACDABCCABDBDACDAB如圖，四面體中，、兩兩互相垂直，且求證：平面平面；求二面角的大小；若直線與平面所成的角為， 三、平面與求線段平面所成的角例的長度 .112.ABBCCDCDBCCDABABBCABCCDABCCDACDABCDABBCBCCDBCDABBCDBDBCDABBDCBDCABDBCCDBCCACDABDC證明：因為、兩兩垂直，所以，又因為、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，而平面，因為，而、是平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面而平面，所以，所以為二面角的平面角所以平面平解析:為面又因，所以455.4CBDCABD即二面角的平面，角為 .301.12222sin2453.EBEACEDECDABCCDBEBEACDBDEBDACDBDEBEBDABBEBCEBCBCEBC如圖，過點 作，垂足為 ，連接因為平面，所以，所以平面，所以為與平面所成的角，即所以，所以，所以，所以().()求直線與平面所成的角：通常是先找 或作出其夾角，然后再求但若能由體積計算出高，則可避高免找角的困難，其角的正弦值，或者其角的斜線長射影長余弦值求二面角：通常是先找到 或作出 其斜線長平面角，然后再求，但有些模型中適合用射影【點評】面積法四、空間角與空間距離的綜合例4如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，ADC=DCB=90，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC底面ABCD，E為AB的中點(1)求證：平面PDE平面PAC；(2)求直線PC與平面PDE所成的角的正弦值；(3)求點B到平面PDE的距離 141tan.21tan2.9090910.ACDEGDECBFDAEFBEBFADCFDCCFDCFADACDDCCFDACDACDACFCFDACFCGFACDEPCABCDPCDE證明：設與的交點為 ，延長交的延長線于點 ，則，所以，所以又因為，所以因為，所以，所以，所以又因為底面，所以解析： 2222.124 5.5214 52 55a2.n2t5ACPCCDEPACDEPDEPGCCHPGHPDEPACPGCHPDECPHCPGPCPDECDRt DCACGACCGRt PCGCPPGPCDEPAC而，所以平面又平面，連接，過點 作于點 ，則由知，平面平面，且是交線根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得平面，從而即為直線與平面所成的角所以平面平面在中，在中， 22221411.2.31.33444 524534 52()5PCPDEBFCFBPDECPDECHPC CGRt PCGCHPCCGBPDE即直線與平面所成的角的正弦值為由于，所以可知點 到平面的距離等于點 到平面的距離 ，即在中，從而點 到平面的距離等于 2BPDEBPDECPDE利用幾何法求 點到平面的距離時，充分利用第問的結論，將點 到平面距離轉(zhuǎn)化為求點 到平面的距離，這種轉(zhuǎn)化思想值得好【點評】好體會備選題如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BMPD，垂足為M，O為BD的中點(1)求證：PD平面ABM；(2)求點O到平面ABM的距離；(3)求直線OA與平面ABM所成角的正弦值 1.12PAABCDABABCDPAABABADPAADPADABPADABPDBMPDABBMABMOBDOABMDABMPDABMMDMDPDA MBBA M證明：因為平面，而平面，所以，又因為，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，所以平面，所以，又因為，、為平面內(nèi)的兩條相交直線，因為 是的中點，則 點到平面的距離等于 點到平面距離的一半由知，平面于，則就是 點到解析平面的距離所以平面：因為在42 2Rt PADPAADPDAMMPDDM中，所以為的中點， 222211522210sin52.10.355OABMOAABMOABMOABDABADOAABM所以點 到平面的距離等于設直線與平面所成角為 ，由知，點 到平面的距離等于，而，所以，即直線與平面所成角的正弦值為123方法 ：方法 ：求點到平面的距離的常用方法：作、證、求的方法；等體積法；利用共線成比例轉(zhuǎn)化，或利用平行線方轉(zhuǎn)【點評】法 ：化的方法1空間角的計算方法都是轉(zhuǎn)化為平面角來計算兩條異面直線所成的角，要以運動的觀點運用“平移法”，使之成為相交直線所成的角，要充分挖掘圖形的性質(zhì)，尋求平行關系；斜線與平面所成的角，往往是在斜線上取一點向平面引垂線，再解由斜線、垂線、射影所圍成的直角三角形這里關鍵是引平面的垂線，明確垂足的位置；求二面角的方法主要有定義法、線面垂直法、射影面積法等 2空間距離點與點之間的距離、點線之間的距離、兩平行線之間的距離利用平面幾何知識可以解決；點面距離、線面距離、面面距離都可轉(zhuǎn)化為求點面距離3AAAAa在求空間角或空間距離時，經(jīng)常會遇到過空間中一點 作已知平面 的垂線的問題解決這類問題時，如果已知圖形中有平面的垂線，就只需過點 作已知垂線的平行線即可；否則可以過點 作一個平面與平面 垂直，再利用平面垂直的性質(zhì)定理達到過點 作平面 的垂線的目的4空間角與空間距離的計算都分為三步：“一找、二證、三計算”立體幾何中的計算題必須有推理過程，考生往往只注意計算，不注意推理，造成不必要的丟分