專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題八 數(shù)學(xué)思想與方法函數(shù)思想是指用函數(shù)的觀點、方法去分析問題、轉(zhuǎn)化問題和解決問題函數(shù)思想是對函數(shù)內(nèi)容在更高層次上的抽象、概括與提煉，如與方程、數(shù)列、不等式、平面解析幾何等內(nèi)容相關(guān)的非函數(shù)問題，都往往可利用函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，通過對函數(shù)的研究，使問題得以解決方程思想是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組去分析問題和解決問題如含參數(shù)方程的討論、方程與曲線的相互轉(zhuǎn)化等都要利用到方程思想函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學(xué)思想 22232cos0_4log5()A B|0C|1 12 D|2xxxxaaxxx xx xx xR已知關(guān)于 的方程有唯一解，則 的值為不等式的解例一、函數(shù)思想及應(yīng)用集1為 222232cos.00.00204log(0)(0)1C12.5211.xfxxxaxfxfxfxfxyfxxfafxxxxfxffxfax R令，因為，所以為偶數(shù)從而的圖象關(guān)于 軸對稱，而題設(shè)方程有唯一解，從而此解必為所以令，易判斷在，單調(diào)遞增，又，所以原不等式可化為，所以解，故選析： 12通過構(gòu)建函數(shù)，然后利用函數(shù)的性質(zhì)，解決有關(guān)方程或不等式問題，這就是函數(shù)思想題通過構(gòu)造一個函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性解不等式，巧【點評】妙簡捷1,02212lxCAByxABCllC過點的直線 與中心在原點，焦點在 軸上且離心率為的橢圓 相交于 、 兩點，直線過線段的中點，同時橢圓 上存在一點二、方程與右焦點關(guān)于直線 對稱，試求直線 與橢圓思想及例用2應(yīng)的方程2222222221222 1.22cabeaaabcbxyb由，得，從而，解設(shè)橢圓的方程為方法 ：析：，1122222222112222221212121212120000000000()()2222()2()0.2().211()221121.ABABA xyB xyxybxybyyxxxxyyxxyyxABxykyxyyxyxxkylyx ，在橢圓上，則，兩式相減得，即設(shè)線段的中點為，則又，在直線上，所以，于是，故，所以直線 的方程為222222,0()11.11221,112 1299.1688161991.blxyyxxbybyxbbbbbaxCyxyl 設(shè)右焦點關(guān)于直線 的對稱點為，則，解得由點在橢圓上，得，則，故所以所求橢圓 的方程為，直線 的方程為22222222222222122121212221222.221124220412112 2.12cabeaaabcbxyblyk xlCkxk xkbkxxkyyk xk xkk xxkk 由，得，從而，設(shè)橢圓的方程為，直線 的方程為將直線 的方程代入橢圓 的方程，得，方則故法2：12122221()2221201.122111200,0011.xxyyyxABkkkkkkklyF clFCkxyklyx 又直線過線段的中點，則，解得或若，則直線 的方程為，焦點關(guān)于直線 的對稱點就是 點本身，不可能在橢圓上，所以舍去，從而，故即，以下同直線 的方程方法為，“”yxyxl由題設(shè)情境中點在直線上，聯(lián)想“點差法”，從而應(yīng)用點差法及點在直線上而求得直線 的方程，進(jìn)一步應(yīng)用對稱的幾何性質(zhì)求得 對稱點 ，利用“對稱點”在橢圓上求得橢圓方程，同時應(yīng)注意，涉及弦的中點與弦的斜率問題常?？蓱?yīng)用“點差法【點評】”求解 2ln e()sin1,111,112xfxaag xfxxag xttxt R已知函數(shù)為常數(shù) 是實數(shù)集 上的奇函數(shù)，函數(shù)是區(qū)間上的減函二、函數(shù)與方程思想的綜數(shù)求 的值；若在上恒成立，求 的取合應(yīng)用例3值范圍 2maxln eln eln eee11ee1ee0().1,1cos0cos1,111sin211xxxxxxxxxf xaaaaaaaaaaxg xg xxxxg xga R是奇函數(shù)，則恒成立，所以，所以，亦即恒成立，因為在上單調(diào)遞減，又，則對恒成立，所以，解故析：， 222222211,1sin111sin1 10(1)( )1sin1 1(1)101.1sin1 10sin10sin10.1g xttxtttthttttttttttt 又在上恒成立，所以只需，所以其中恒成立令，則，所以而恒成所以立，本題是函數(shù)方程、不等式的綜合題，涉及函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、最值等知識點，問題分析求解須理解函數(shù)的性質(zhì)，充分運用函數(shù)與方程思想，通過構(gòu)造函數(shù)，將恒成立問題和方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、最值問【點評】題研究 12123122222cos1212710111925xFFFFyyxCyxCxyrrr定義：圖形 上的任一點與圖形上的任一點的距離中的最小值，叫做圖形 與圖形 的距離求圖形與圖形備選題 的距離；已知曲線 ：與圓：的距離為，求 的值 1322222223322cos0,1()1121()2731,1|111 214()27311 421)2(.2730 xyyxPM xyCyxxCCf xC Mf xxyxxxxxxx 由于與的圖象均過點，所以這兩個圖形的距離為設(shè)， 是曲線上任意一點，則點是圓的圓心，設(shè)，則解析， 2min11122212()()32110.331103310.31 11)3 33120( )327fxxxxxfxxxxfxxfxf xf xf 令，且，得當(dāng)時，；當(dāng)時，所以在， 上是減函數(shù)；在，上是增函數(shù)所以，2min31212222222 15|.92 151121)927302 159|.C MryxCCrCCNCC MCQC MMNC NQMMNNQQMMN所以若，由在，上是增函數(shù)可知與有公共點，它們的距離為 ，與已知矛盾故，即曲線在圓外設(shè) 為圓上任一點，線段與圓交于點 ，則，即當(dāng) 與 重合時，2minminmin15|.9 2 151515 999 .rMNMQC Mr 所以 本題運用函數(shù)與方程思想建立目標(biāo)函數(shù)后研究其最值，最后使問題獲解，在求最值時發(fā)揮了導(dǎo)數(shù)的工具【評】性作用點 ()001(0)()f xyf xxf xf xyf x函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問題 例如：求函數(shù)的零點 可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決；同時方程和不等式問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決，如解方程，就是求函數(shù)與 軸的交點，即零點；解不等式或，就是求函數(shù)值為正 或負(fù)所對應(yīng)的區(qū)間2函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化常見問題：(1)函數(shù)與其圖象可視為方程與曲線的關(guān)系(2)方程中的參變量有時可視為其中某個量的函數(shù),從而利用函數(shù)特性研究(3)解方程或不等式時可視其結(jié)構(gòu)聯(lián)想到相關(guān)函數(shù)圖象或性質(zhì)給予解決(4)數(shù)列的相關(guān)問題可視為函數(shù)問題或轉(zhuǎn)化為方程和不等式解決