專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題八 數(shù)學(xué)思想與方法1分類是自然科學(xué)乃至社會科學(xué)研究中的基本邏輯方法，是研究數(shù)學(xué)問題時經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)思想方法要正確的對事物進(jìn)行分類，通常應(yīng)從所研究的具體問題出發(fā)，選取恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，然后根據(jù)對象的屬性，把它們不重不漏地劃分為若干個類別科學(xué)的分類，一個是標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一，一個是不重不漏劃分只是手段，分類研究才是目的因此分類與整合思想方法，在這其中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化部分，由一般分類與整化特殊的合的思想解決問題的思想方法 12234在解題過程中分類討論的一般步驟是：明確討論對象，確定對象的范圍；認(rèn)清為什么要分類，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，注意做到不重不漏；逐類討論，獲得階段性結(jié)果；整合討論 2212121122194|_|,12,4| 4()123A.B.12C.777xyFFPPFFPFPFPFPFkABkACABABC Z設(shè) ，為橢圓的兩個焦點，為橢圓上一點已知 ， ，是一個直角三角形的三個頂點，且，則的值為已知，若，則是直角三角形的概率是 一、由幾何特征確定分類標(biāo)準(zhǔn)例14D.722221121212121122122222212121112112290|6 |2 5144|7.33|290|(6|)|422.|72.|2PF FPFPFF FPFPFF FPFPFPFPFF PFF FPFPFPFPFPFPFPFFFPPPF若，則，因為，解得，所以若，則，所以，所以綜上知，解或析： 2|41590,12,402.902,42,308()920ABkkABCBACAB ACkkACBAC BCkkABCAB BC Z由，又，由為直角三角形，則時，有若時，有舍去 若時，有 ,12,3013.2C13.7.,3kkkkABCP 或所以，時，為直角三角形，故概率選所求有關(guān)幾何問題，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定性，需要根據(jù)圖形的特征進(jìn)行分類討論，如按圓錐曲線的類型進(jìn)行分類討論，按各類定義中的角的范圍進(jìn)行【點評】討論等 01lglog 10()A. B.2)C.(2D.(2122)02sin()_xxxyxxxxxxx R若且，則函數(shù)的值域為 ，對于實數(shù)，定義符號表二、由運算策略確定示不超過 的最大整數(shù)，則方程的解集是以弧度為例2單位分類標(biāo)準(zhǔn)_ 11lglog 10lglg12 lg2lg101lglog 10lg()2lg(22)02sin2.02sin112sin22sin2D.0112201 1622xxxyxxxxxxyxxxxxxxxxxxxx 解當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)的值域為，由且故析故選，有或：或依題設(shè)情境，問題的研究需要進(jìn)行某種推理或變形，而在不同情況下推理或變形的方法有所不同，此時，則由運算策略確定分類標(biāo)準(zhǔn)【點評】和類別 2110(1,2,3)322nnnnnnnnnaqnSnqbaabnTST三、由參變量取值確定分類設(shè)等比數(shù)列的公標(biāo)比為 ，前 項和， 求 的取值范圍；設(shè)，記的前 項和為，試比較與準(zhǔn)例3的大小 12nqb根據(jù)條件列出關(guān)于 的不等式，注意分類討論 能否判斷為特殊數(shù)列進(jìn)而求和作差、作商比【分析】較大小 111100010110110(1,2)1,00)110110.1010111.nnnnnnnnaSaSqqSnaaqqSqqnqqqqqqqq 因為是等比數(shù)列， ，可得 ，；當(dāng)時， ；當(dāng)時， ，即， ，則故 的取值范有，或由得 ，由圍是，得 解析： 2212233()223()231(1)()222010011202120021202.2nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnbaaa qqTqq STSS qqS qqSqqqqTSTSqqTSTSqqTSTS 由，所以，于是，又 且 或 ，則當(dāng) 或 時， ，即 ；當(dāng)且時，即；當(dāng)或時，即 11qqq【點本題以等比數(shù)列為載體，涉及了分類討論和大小比較的問題，綜合性較強(qiáng)，應(yīng)用了不等式的解法和比較大小的基本方法作差比較法同時含有字母 ，一般要進(jìn)行分類討論，要特別注意等比數(shù)列求和公式在應(yīng)用時一評定要分和】討論 ln.031e212afxxxafxfxa已知函數(shù)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若函數(shù)在 ， 上的最小值是，求例4的值 22ln(0)1.00.(0)1e1011311e22af xxxaxafxxxxafxf xafxf xfaf x函數(shù)的定義域為 ，因為，所以故函數(shù)在其定義域 ，上是單調(diào)遞增的在 ， 上，分如下情況討論：當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，其最小值為，這與函數(shù)在， 上的最小解析值是：相矛盾； 1(1e31121e1)01)(e0(eln1.3ln1e.2af xfaafxf xaafxf xaf xf aaaa 當(dāng)時，函數(shù)在 ， 上單調(diào)遞增，其最小值為，同樣與最小值是 相矛盾；當(dāng)時，在 ，上，有，則在 ，上單調(diào)遞減；在 ， 上，有，則在 ， 上單調(diào)遞增所以函數(shù)的最小值為由，得 e1e)01ee232e1e3e.122afxf xfaf xeaeaf 當(dāng)時，在 ， 上，有，則在 ， 上單調(diào)遞減，其最小值為，這與最小值是相矛盾；當(dāng)時，顯然函數(shù)在 ， 上單調(diào)遞減，其最小值為，仍與最小值是相矛盾綜的上所述，值為分類討論時，特別注意要做到不重不漏，必要時可作數(shù)軸，把參數(shù)的分界點在數(shù)軸上標(biāo)出，逐段進(jìn)【點評】行討論 3232113.f xaxxaf xyf xAByABxa 已知函數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性；若曲線上兩點 、 處的切線都與 軸垂直，且線段與 軸有公共點，求實數(shù) 的取備選題 值范圍 21202363()200.0(0)10afxaxxax xafxxxaaxfx 由題設(shè)知，令，得，當(dāng)時，若，則解：析， (0)2(0)02(0)2()02()02()0f xxfxaf xaxfxaf xaaxfxa 所以在區(qū)間，上是增函數(shù)；若， ，則，所以在區(qū)間 ， 上是減函數(shù)當(dāng)，則，所以在區(qū)間，上是增函數(shù)當(dāng)時，當(dāng)， ，則， 2()2(0)02(0)(0)0(0)1220f xaxfxaf xaxfxf xyf xAByf xxxa所以在區(qū)間， 上是減函數(shù)若，則，所以在區(qū)間，上是增函數(shù)若，則，所以在區(qū)間 ，上是減函數(shù)由的討論及題設(shè)知，曲線上的兩點、 的縱坐標(biāo)均為函數(shù)的極值，且函數(shù)在，處分別取得極值 223324301( )1.20( )0433(1)(1)01340.13400.1,031034.,4ffaaaaABxffaaaaaaaaa aaaaaaa ，因為線段與 軸有公共點，所以，即，所以故且解得或即所求實數(shù) 的取值范圍是1有些數(shù)學(xué)題，在審題時，我們并不明確是否需進(jìn)行分類討論但隨著解題的深入，數(shù)學(xué)問題的參變量或者結(jié)論有多種可能性，必須進(jìn)行分類整合在進(jìn)行分類時，關(guān)鍵是分類標(biāo)準(zhǔn)的確定，一般地分類標(biāo)準(zhǔn)是由問題進(jìn)一步推算遇到的障礙確定的2進(jìn)行分類討論時，應(yīng)正確應(yīng)用基礎(chǔ)知識和方法，尋找分類的線索，理清分類的界限，力求做到分類“不重不漏”即各類的交集為空集，各類的并集為題設(shè)條件的全集