3.3 二元一次不等式組與簡二元一次不等式組與簡單的線性規(guī)劃問題單的線性規(guī)劃問題3.3.3 簡單的線性規(guī)劃問題簡單的線性規(guī)劃問題課標(biāo)要求：課標(biāo)要求：1.了解線性規(guī)劃的意義，了了解線性規(guī)劃的意義，了解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念解、可行域、最優(yōu)解等基本概念2了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實應(yīng)用線性規(guī)劃的方法解決一些簡單的實際問題，以提高解決實際問題的能力際問題，以提高解決實際問題的能力課標(biāo)定位課標(biāo)定位重點難點：重點難點：本節(jié)重點：線性規(guī)劃問題本節(jié)重點：線性規(guī)劃問題的圖解法，關(guān)鍵是數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化的圖解法，關(guān)鍵是數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化(根根據(jù)約束條件，畫出可行域，并弄清目據(jù)約束條件，畫出可行域，并弄清目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義)本節(jié)難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)本節(jié)難點：將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題，并給予求解，解決難點的關(guān)劃問題，并給予求解，解決難點的關(guān)鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找鍵是根據(jù)實際問題中的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法出約束條件和目標(biāo)函數(shù)，利用圖解法求得最優(yōu)解求得最優(yōu)解基礎(chǔ)知識梳理基礎(chǔ)知識梳理1線性規(guī)劃中的基本概念線性規(guī)劃中的基本概念名稱名稱意義意義約束條件約束條件由變量由變量x，y組成的組成的_線性約束線性約束條件條件由由x，y的一次不等式的一次不等式(或方程或方程)組成的不等組成的不等式組式組目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值所涉及的變量欲求最大值或最小值所涉及的變量x，y的的函數(shù)解析式函數(shù)解析式線性目標(biāo)線性目標(biāo)函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于x，y的一次解析式的一次解析式不等式不等式(組組)名稱名稱意義意義可行解可行解滿足滿足_的解的解(x，y)可行域可行域所有所有_組成的集合組成的集合最優(yōu)解最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得使目標(biāo)函數(shù)取得_的可行解的可行解線性規(guī)線性規(guī)劃問題劃問題求線性目標(biāo)函數(shù)在求線性目標(biāo)函數(shù)在_條件下的條件下的最大值或最小值的問題最大值或最小值的問題2.解決簡單的線性規(guī)劃問題的方法和步驟解決簡單的線性規(guī)劃問題的方法和步驟線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件線性規(guī)劃問題就是求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題解決這類問題最常用、下的最大值或最小值的問題解決這類問題最常用、最重要的一種方法就是圖解法其步驟為：最重要的一種方法就是圖解法其步驟為：畫：畫：畫出可行域；畫出可行域；變：把目標(biāo)函數(shù)變形為斜截式方程，變：把目標(biāo)函數(shù)變形為斜截式方程，從縱截距的角度尋找最優(yōu)解；從縱截距的角度尋找最優(yōu)解；求：解方程組求出求：解方程組求出最優(yōu)解；最優(yōu)解；答：寫出目標(biāo)函數(shù)的最值答：寫出目標(biāo)函數(shù)的最值線性約束條件線性約束條件可行解可行解最值最值線性約束線性約束3幾點說明幾點說明(1)線性規(guī)劃問題可能沒有最優(yōu)解線性規(guī)劃問題可能沒有最優(yōu)解(2)當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域的某一條當(dāng)線性目標(biāo)函數(shù)所表示的直線與可行域的某一條邊界平行時，線性規(guī)劃問題可以有無數(shù)個最優(yōu)解邊界平行時，線性規(guī)劃問題可以有無數(shù)個最優(yōu)解(3)整點可行解就是可行域中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整整點可行解就是可行域中橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點數(shù)的點課堂互動講練課堂互動講練求線性目標(biāo)函數(shù)的最值求線性目標(biāo)函數(shù)的最值線性規(guī)劃問題的基本解法是圖解法，解好線性規(guī)劃問線性規(guī)劃問題的基本解法是圖解法，解好線性規(guī)劃問題的關(guān)鍵是畫好平面區(qū)域，找到目標(biāo)點題的關(guān)鍵是畫好平面區(qū)域，找到目標(biāo)點【分析】【分析】解答本題可先畫出可行域，采用圖解法，解答本題可先畫出可行域，采用圖解法，平行移動直線求解平行移動直線求解【點評點評】利用線性規(guī)劃求最值利用線性規(guī)劃求最值準確畫出可行域是解答此類問題的前提條件準確畫出可行域是解答此類問題的前提條件把目標(biāo)函數(shù)與過可行域內(nèi)點的一組平行直線建立把目標(biāo)函數(shù)與過可行域內(nèi)點的一組平行直線建立對應(yīng)關(guān)系對應(yīng)關(guān)系理解好線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵理解好線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是關(guān)鍵從本題的求解過程可以看出，最優(yōu)解一般在可行域從本題的求解過程可以看出，最優(yōu)解一般在可行域的邊界上，并且通常在可行域的頂點處取得，所以的邊界上，并且通常在可行域的頂點處取得，所以作圖時要力求準確作圖時要力求準確解：解：目標(biāo)函數(shù)為目標(biāo)函數(shù)為z3x5y，可行域如圖所示，作，可行域如圖所示，作出直線出直線z3x5y，可知，直線經(jīng)過點，可知，直線經(jīng)過點B時，時，z取取得最大值，直線經(jīng)過點得最大值，直線經(jīng)過點A時，時，z取得最小值取得最小值求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值若目標(biāo)函數(shù)不是線性函數(shù)，我們可先將目標(biāo)函數(shù)變形找若目標(biāo)函數(shù)不是線性函數(shù)，我們可先將目標(biāo)函數(shù)變形找到它的幾何意義，再利用解析幾何知識求最值到它的幾何意義，再利用解析幾何知識求最值【解】【解】作出可行域，如圖所示，求得作出可行域，如圖所示，求得A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)【點評】【點評】(1)對形如對形如z(xa)2(yb)2型的目標(biāo)函型的目標(biāo)函數(shù)均可化為求可行域內(nèi)的點數(shù)均可化為求可行域內(nèi)的點(x，y)與點與點(a，b)間的距間的距離的平方的最值問題離的平方的最值問題已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)此類題目為線性規(guī)劃的逆向思維問題解答此類此類題目為線性規(guī)劃的逆向思維問題解答此類問題必須要明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行問題必須要明確線性目標(biāo)函數(shù)的最值一般在可行域的頂點或邊界取得，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法域的頂點或邊界取得，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法求解求解 已知變量已知變量x，y滿足約束條件滿足約束條件1xy4，2xy2.若目標(biāo)函數(shù)若目標(biāo)函數(shù)zaxy(其中其中a0)僅在僅在點點(3,1)處取得最大值，則處取得最大值，則a的取值范圍為的取值范圍為_【分析分析】解答本題可先作出可行域，利用數(shù)形解答本題可先作出可行域，利用數(shù)形結(jié)合求解結(jié)合求解【解析解析】由約束條件作出可行域由約束條件作出可行域(如圖如圖)點點C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,1)，z最大時，即平移最大時，即平移yaxz時時使直線在使直線在y軸上的截距最大，軸上的截距最大，akCD，即，即a1，a1.【答案】【答案】a1【點評】【點評】解答此類問題必須要注意邊界直線斜率與解答此類問題必須要注意邊界直線斜率與目標(biāo)函數(shù)斜率的關(guān)系目標(biāo)函數(shù)斜率的關(guān)系線性規(guī)劃應(yīng)用問題線性規(guī)劃應(yīng)用問題應(yīng)用線性規(guī)劃處理實際問題時應(yīng)注意：應(yīng)用線性規(guī)劃處理實際問題時應(yīng)注意：(1)求解實際問題時，除嚴格遵循線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)求解實際問題時，除嚴格遵循線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)最值的方法外，還應(yīng)考慮實際意義的約束，要認真解最值的方法外，還應(yīng)考慮實際意義的約束，要認真解讀題意，仔細推敲并挖掘相關(guān)條件，同時還應(yīng)具備批讀題意，仔細推敲并挖掘相關(guān)條件，同時還應(yīng)具備批判性檢驗思維，以保證解決問題的準確和完美判性檢驗思維，以保證解決問題的準確和完美(2)處理實際問題時，處理實際問題時，x0，y0常被忽略，在解題中常被忽略，在解題中應(yīng)多加注意應(yīng)多加注意(3)在求最優(yōu)解時，一般采用圖解法求解在求最優(yōu)解時，一般采用圖解法求解 醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營醫(yī)院用甲、乙兩種原料為手術(shù)后的病人配營養(yǎng)餐甲種原料每養(yǎng)餐甲種原料每10 g含含5單位蛋白質(zhì)和單位蛋白質(zhì)和10單位鐵質(zhì)，單位鐵質(zhì)，售價售價3元；乙種原料每元；乙種原料每10 g含含7單位蛋白質(zhì)和單位蛋白質(zhì)和4單位鐵單位鐵質(zhì)，售價質(zhì)，售價2元若病人每餐至少需要元若病人每餐至少需要35單位蛋白質(zhì)單位蛋白質(zhì)和和40單位鐵質(zhì)試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才單位鐵質(zhì)試問：應(yīng)如何使用甲、乙原料，才能既滿足營養(yǎng)，又使費用最省？能既滿足營養(yǎng)，又使費用最??？【分析】【分析】將已知數(shù)據(jù)列成下表：將已知數(shù)據(jù)列成下表：原料原料/10 g蛋白質(zhì)蛋白質(zhì)/單位單位鐵質(zhì)鐵質(zhì)/單位單位甲甲510乙乙74費用費用32設(shè)甲、乙兩種原料分別用設(shè)甲、乙兩種原料分別用10 x g和和10y g，則需要，則需要的費用為的費用為z3x2y；病人每餐至少需要；病人每餐至少需要35單位單位蛋白質(zhì)，可表示為蛋白質(zhì)，可表示為5x7y35；同理，對鐵質(zhì)；同理，對鐵質(zhì)的要求可以表示為的要求可以表示為10 x4y40，【點評】【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是將問題的文字語解決此類問題的關(guān)鍵是將問題的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，此題通過表格將數(shù)據(jù)進行整理，言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言，此題通過表格將數(shù)據(jù)進行整理，使問題難度大大降低使問題難度大大降低3制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，制訂投資計劃時，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損某投資人打算投資甲、乙兩個項目根據(jù)預(yù)測，某投資人打算投資甲、乙兩個項目根據(jù)預(yù)測， 甲、甲、乙項目可能的最大盈利率分別為乙項目可能的最大盈利率分別為100%和和50%，可能，可能的最大虧損率分別為的最大虧損率分別為30%和和10%.投資人計劃投資金投資人計劃投資金額不超過額不超過10萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過萬元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過1.8萬元問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬萬元問投資人對甲、乙兩個項目各投資多少萬元，才能使可能的盈利最大？元，才能使可能的盈利最大？規(guī)律方法總結(jié)規(guī)律方法總結(jié)1用圖解法解線性規(guī)劃問題時要注意線性約束條件、用圖解法解線性規(guī)劃問題時要注意線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念2在建立數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)主要分清已知條件中，哪些在建立數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)主要分清已知條件中，哪些屬于約束條件，哪些與目標(biāo)函數(shù)有關(guān)，然后列出正確屬于約束條件，哪些與目標(biāo)函數(shù)有關(guān)，然后列出正確的不等式組的不等式組