特殊三角形特殊三角形 第二十一講 (1)性質(zhì)：_兩腰_相等，_兩底角_相等，底邊上的高線、中線、頂角的角平分線“三線合一”； (2)判定：有兩邊相等、兩角相等或兩線合一的三角形是等腰三角形 2等邊三角形 (1)性質(zhì)：_三邊_相等，三內(nèi)角都等于_60_； (2)判定：三邊相等、三內(nèi)角相等或有一個(gè)角是60的等腰三角形是等邊三角形 (4)判定：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形；如果三角形一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 1(2014蘇州)如圖，在ABC中，點(diǎn)D在BC上，ABADDC，B80，則C的度數(shù)為(B) A30B40 C45 D60 3(2014玉林)在等腰ABC中，ABAC，其周長(zhǎng)為20 cm，則AB邊的取值范圍是(B) A1 cmAB4 cm B5 cmAB10 cm C4 cmAB8 cm D4 cmAB10 cm 4(2014揚(yáng)州)如圖，已知AOB60，點(diǎn)P在邊OA上，OP12，點(diǎn)M，N在邊OB上，PMPN，若MN2，則OM(C) A3 B4 C5 D6 5(2014無錫)已知ABC的三條邊長(zhǎng)分別為3，4，6，在ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫(B) A6條 B7條 C8條 D9條等腰三角形有關(guān)邊角的討論 【例1】(1)(20142014鹽城)若等腰三角形的頂角為40，則它的底角度數(shù)為(D D) A 4 0 B 5 0 C 6 0 D70 (2)(2014濰坊)等腰三角形一條邊的邊長(zhǎng)為3，它的另兩條邊的邊長(zhǎng)是關(guān)于x的一元二次方程x212xk0的兩個(gè)根，則k的值是(B) A27 B36 C27或36 D18 解析：分兩種情況：當(dāng)其他兩條邊中有一個(gè)為3時(shí)，將x3代入原方程，得32123k0，k27，將k27代入原方程，得x212x270，解得x3或9.3，3，9不能夠組成三角形；當(dāng)3為底時(shí)，則其他兩條邊相等，即0，此時(shí)1444k0，k36.將k36代入原方程，得x212x360，解得x6.3，6，6能夠組成三角形，故答案為B 【點(diǎn)評(píng)】在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討論 1(1)(2014宜昌)如圖，在ABC中，ABAC，A30，以B為圓心，BC的長(zhǎng)為半徑圓弧，交AC于點(diǎn)D，連接BD，則ABD(B) A30 B45 C60 D90 (2)(2013黔西南州)如圖，已知ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CGCD，DFDE，則E_15_度 (3)(2013白銀)等腰三角形的周長(zhǎng)為16，其一邊長(zhǎng)為6，則另兩邊為_6，4或5，5_ 等腰三角形的性質(zhì) 【例2】(2014杭州)在ABC中，ABAC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AEAF，BF與CE相交于點(diǎn)P.求證：PBPC，并直接寫出圖中其他相等的線段 【點(diǎn)評(píng)】在證明線段相等時(shí)，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等向兩腰轉(zhuǎn)化構(gòu)造等腰三角形是常用的解題方法之一 2(2012肇慶)如圖，已知ACBC，BDAD，AC與BD交于點(diǎn)O，ACBD.求證：(1)BCAD；(2)OAB是等腰三角形等邊三角形 【點(diǎn)評(píng)】在解題的過程中要充分利用等邊三角形特有的性質(zhì)，每個(gè)角都相等，每條邊都相等，這可以讓我們輕松找到證明全等所需的條件 3(1)(2014益陽(yáng))如圖，將等邊ABC繞頂點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使邊AB與AC重合得ACD，BC的中點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，則EAF的度數(shù)是_60_直角三角形、勾股定理 【例4】(1)(2014無錫)如圖，ABC中，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)若AD6，DE5，則CD的長(zhǎng)等于_8_ 【點(diǎn)評(píng)】在線段的長(zhǎng)無法直接求出時(shí)，可利用另一線段把這一線段表示出來，然后利用勾股定理得到一個(gè)方程，最后得解，這是利用勾股定理解決線段長(zhǎng)的常用方法 4(1)(2014東營(yíng))如圖，有兩棵樹，一棵高12米，另一棵高6米，兩樹相距8米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行_10_米 (2)(2013綏化)已知：如圖在ABC，ADE中，BACDAE90，ABAC，ADAE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE.以下四個(gè)結(jié)論：BDCE；BDCE；ACEDBC45；BE22(AD2AB2)，其中結(jié)論正確的有(C) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè) 試題如圖，在ABC的AB，AC邊的外側(cè)作等邊ACE和等邊ABF，連接BE，CF相交于點(diǎn)O. (1)求證：CFBE； (2)連接AO，則：AO平分BAC；OA平分EOF，你認(rèn)為正確的是_(填或)，并證明你的結(jié)論 審題視角(1)欲證明CFBE，找CF，BE所在的兩個(gè)ABE與AFC，證明ABEAFC，于是CFBE；(2)證明OA平分EOF，只要證AOFAOE，或證點(diǎn)A到OE，OF的距離相等；要證點(diǎn)A到OE，OF的距離相等(作APOF，AQOE)，只要證ABEAFC，則由其對(duì)應(yīng)高相等可證可以利用全等三角形對(duì)應(yīng)元素相等來實(shí)現(xiàn)證明，或構(gòu)造全等三角形、特殊三角形(等腰三角形)的兩個(gè)底角相等來實(shí)現(xiàn) 規(guī)范答題 解：(1)證明：ABF和ACE是等邊三角形，ABAF，ACAE，F(xiàn)ABEAC60，F(xiàn)ABBACEACBAC，即FACBAE，在ABE與AFC中，A B A F ， B A E F A C ， A E A C ，ABE AFC(SAS)，BEFC. (2)證法一：連接AO，ABE AFC，AFOABO，四點(diǎn)A，O，B，F(xiàn)共圓，AOFABF6 0 ， 同 理 A O E 6 0 ， O A 平 分 E O F ，AFOAEO，NAOMAO，不正確，正確 證法二：如圖，作APOF于P，作AQOE于Q，易證：ABE AFC(SAS)，APAQ，點(diǎn)A是EOF角平分線上的點(diǎn)，故OA平分EOF. 證法三：本題也可以在BE上截取BGFO，如圖，證AFO ABG，則有FOABGA，AOAG，AOGAGO，F(xiàn)OAAOG，即AO平分FOE. 本題以考查判定角平分線為核心，考查了通過構(gòu)造全等三角形，并利用全等三角形對(duì)應(yīng)元素相等來實(shí)現(xiàn)證明 答題思路 第一步：通讀問題，根據(jù)問題選擇合理的幾何分析方法； 第二步：(1)綜合法(由因?qū)Ч?：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過一系列的有關(guān)定理、公理、定義的運(yùn)用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；(2)分析法(執(zhí)果索因)，從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需必備的條件，然后再把條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步向上逆推，直到已知的條件為止；(3)兩類結(jié)合法，將分析法與綜合法合并使用比較起來，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)因此，在實(shí)際思考問題時(shí)，可綜合使用，靈活處理，以縮短題設(shè)與結(jié)論之間的距離，直到完全溝通； 第三步：視問題需要，添加合理的輔助線，把已知與未知集中在一起； 第四步：從已知出發(fā)，一步一步作推理，使得問題得以證明； 第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟