專題四數(shù)列專題四數(shù)列 第第1 1講等差數(shù)列與等比數(shù)列講等差數(shù)列與等比數(shù)列考向分析考向分析核心整合核心整合熱點精講熱點精講考向分析考向分析考情縱覽考情縱覽年份年份考點考點2011201120122012201320132014201420152015等差數(shù)列等差數(shù)列7 716161717等比數(shù)列等比數(shù)列17(1)17(1)5 53 317(1)17(1)4 4真題導(dǎo)航真題導(dǎo)航B B 1.(20151.(2015新課標(biāo)全國卷新課標(biāo)全國卷,理理4)4)已知等比數(shù)列已知等比數(shù)列 a an n 滿足滿足a a1 1=3,a=3,a1 1+a+a3 3+a+a5 5=21,=21,則則a a3 3+a+a5 5+a+a7 7等于等于( ( ) )(A)21(A)21(B)42(B)42(C)63(C)63(D)84(D)84解析解析: :設(shè)設(shè)aan n 的公比為的公比為q,q,由由a a1 1=3,a=3,a1 1+a+a3 3+a+a5 5=21=21得得1+q1+q2 2+q+q4 4=7,=7,解得解得q q2 2=2(=2(負(fù)值負(fù)值舍去舍去),),所以所以a a3 3+a+a5 5+a+a7 7=a=a1 1q q2 2+a+a3 3q q2 2+a+a5 5q q2 2=(a=(a1 1+a+a3 3+a+a5 5)q)q2 2=21=212=42.2=42.故選故選B.B.C CC C 備考指要備考指要1.1.怎么考怎么考(1)(1)考查角度考查角度: :利用公式直接求等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量利用公式直接求等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量. .利用公式及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決基本量問題利用公式及等差、等比數(shù)列的性質(zhì)解決基本量問題. .等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合命題等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合命題. .等差數(shù)列與函數(shù)綜合解決最值問題等差數(shù)列與函數(shù)綜合解決最值問題. .利用等差、等比數(shù)列定義進(jìn)行判斷、證明利用等差、等比數(shù)列定義進(jìn)行判斷、證明. .(2)(2)題型及難易度題型及難易度: :選擇題、填空題、解答題選擇題、填空題、解答題, ,中、低檔中、低檔. .2.2.怎么辦怎么辦(1)(1)熟練掌握等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、相關(guān)公式熟練掌握等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)、相關(guān)公式. .(2)(2)掌握判定等差、等比數(shù)列的常用方法及常用的設(shè)元技巧掌握判定等差、等比數(shù)列的常用方法及常用的設(shè)元技巧. .核心整合核心整合a a1 1+(n-1)d +(n-1)d a a1 1q qn-1n-1 (3)(3)通項公式法通項公式法:a:an n=pn+q(p,q=pn+q(p,q為常數(shù)為常數(shù)) ) a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列;a;an n=a=a1 1q qn-1n-1( (其中其中a a1 1,q,q為非零常數(shù)為非零常數(shù),n,nN N* *) ) a an n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .(4)(4)前前n n項和公式法項和公式法:S:Sn n=An=An2 2+Bn(A,B+Bn(A,B為常數(shù)為常數(shù)) ) a an n 是等差數(shù)列是等差數(shù)列;S;Sn n=Aq=Aqn n-A(A-A(A為為非零常數(shù)非零常數(shù),q0,1),q0,1) a an n 是等比數(shù)列是等比數(shù)列. .4.4.等差、等比數(shù)列的單調(diào)性等差、等比數(shù)列的單調(diào)性(1)(1)等差數(shù)列的單調(diào)性等差數(shù)列的單調(diào)性d0d0 a an n 為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列,S,Sn n有最小值有最小值. .d0d0 a an n 為遞減數(shù)列為遞減數(shù)列,S,Sn n有最大值有最大值. .d=0d=0 a an n 為常數(shù)列為常數(shù)列. . 溫馨提示溫馨提示 在使用等比數(shù)列前在使用等比數(shù)列前n n項和公式時項和公式時, ,若公比若公比q q不能確定是否為不能確定是否為1,1,應(yīng)應(yīng)分分q=1q=1和和q1q1兩種情況討論兩種情況討論. .熱點精講熱點精講熱點一熱點一等差、等比數(shù)列的基本運算等差、等比數(shù)列的基本運算解析解析: : (1) (1)由由2d=a2d=a3 3-a-a1 1=5-1=4=5-1=4得得d=2,d=2,所以所以a an n=1+(n-1)=1+(n-1)2=2n-1,2=2n-1,由由S Sk+2k+2-S-Sk k=a=ak+2k+2+a+ak+1k+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,=4k+4=36,得得k=8.k=8.故選故選A.A.方法技巧方法技巧 等差等差( (比比) )數(shù)列的通項公式、求和公式中一共包含數(shù)列的通項公式、求和公式中一共包含a a1 1、d(d(或或q)q)、n n、a an n與與S Sn n這五個量這五個量, ,如果已知其中的三個如果已知其中的三個, ,就可以求其余的兩個就可以求其余的兩個. .其中其中a a1 1和和d(d(或或q)q)是兩個基本量是兩個基本量, ,所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)所以等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算問題一般先設(shè)出這兩個基本量出這兩個基本量, ,然后根據(jù)通項公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組然后根據(jù)通項公式、求和公式構(gòu)建這兩者的方程組, ,通過通過解方程組求其值解方程組求其值, ,這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn)這也是方程思想在數(shù)列問題中的體現(xiàn). .但需注意等差數(shù)列但需注意等差數(shù)列中公差中公差d=0d=0的情況和等比數(shù)列中公比的情況和等比數(shù)列中公比q=1q=1的情況的情況. .熱點二熱點二等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用 (2)(2015(2)(2015寧夏石嘴山高三聯(lián)考寧夏石嘴山高三聯(lián)考) )在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列 a an n 中中,a,a2 2a a1010=9,=9,則則a a5 5+a+a7 7( () )(A)(A)有最小值有最小值6 6(B)(B)有最大值有最大值6 6(C)(C)有最大值有最大值9 9(D)(D)有最小值有最小值3 3方法技巧方法技巧(2)(2)熟練運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)熟練運用等差、等比數(shù)列的性質(zhì), ,如如m+n=p+qm+n=p+q時時, ,若若aan n 為等差數(shù)列為等差數(shù)列, ,則則a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q; ;若若aan n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列, ,則有則有a am ma an n=a=ap pa aq q, ,即可減少運算過程即可減少運算過程, ,提高提高解題正確率解題正確率. .(3)(3)靈活利用等差、等比數(shù)列和的性質(zhì)靈活利用等差、等比數(shù)列和的性質(zhì), ,等差等差( (比比) )數(shù)列的前數(shù)列的前n n項和為項和為S Sn n, ,則則S Sn n,S,S2n2n-S-Sn n,S,S3n3n-S-S2n2n, ,也是等差也是等差( (比比) )數(shù)列數(shù)列( (公比公比q q不為不為-1).-1).熱點三熱點三等差、等比數(shù)列的綜合問題等差、等比數(shù)列的綜合問題 【例【例3 3】 (2015(2015太原二檢太原二檢) )已知公差不為已知公差不為0 0的等差數(shù)列的等差數(shù)列 a an n 滿足滿足S S7 7=77,=77,且且a a1 1,a,a3 3,a,a1111成等比數(shù)列成等比數(shù)列. .(1)(1)求數(shù)列求數(shù)列 a an n 的通項公式的通項公式; ;方法技巧方法技巧 (1)(1)關(guān)于等差、等比數(shù)列的綜合問題多屬于兩者運算的綜合關(guān)于等差、等比數(shù)列的綜合問題多屬于兩者運算的綜合題以及相互之間的轉(zhuǎn)化題以及相互之間的轉(zhuǎn)化, ,關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的基本量關(guān)鍵是求出兩個數(shù)列的基本量: :首項和公差首項和公差( (或公或公比比),),靈活運用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件靈活運用性質(zhì)轉(zhuǎn)化條件, ,簡化運算簡化運算, ,準(zhǔn)確記憶相關(guān)的公式是解決此類問準(zhǔn)確記憶相關(guān)的公式是解決此類問題的關(guān)鍵題的關(guān)鍵. .(2)(2)求數(shù)列中的最大項求數(shù)列中的最大項, ,可以利用圖象或者數(shù)列的單調(diào)性求解可以利用圖象或者數(shù)列的單調(diào)性求解, ,同時注意數(shù)同時注意數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別列的單調(diào)性與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別. .備選例題備選例題