第七節(jié)空間直角坐標(biāo)系第七節(jié)空間直角坐標(biāo)系基礎(chǔ)梳理1. 空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念(1)空間直角坐標(biāo)系從空間一點O引三條互相垂直且有相同單位長度的數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，這樣就建立了空間直角坐標(biāo)系Oxyz，點O叫做_，x軸、y軸、z軸叫做_這三條坐標(biāo)軸中每兩條確定一個坐標(biāo)平面，分別稱為_平面，_平面，_平面(2)右手直角坐標(biāo)系在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向_軸的正方向，如果中指指向_軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系坐標(biāo)原點坐標(biāo)軸xOyyOzxOzyz(3)空間直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)空間中任意一點A，作點A在三條坐標(biāo)軸上的射影，即過點A作三個平面分別垂直于x軸、y軸和z軸，它們與x軸、y軸和z軸分別交于E、F、G，E、F、G在相應(yīng)數(shù)軸上的坐標(biāo)依次為x，y，z，則有序數(shù)對(x，y，z)叫做點A的坐標(biāo)，記作_A(x，y，z)(4)中點坐標(biāo)公式平面中點坐標(biāo)公式可推廣到空間，即設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則P1P2的中點P的坐標(biāo)為_121212222xx yy zz2. 空間中兩點間的距離公式：空間中的兩點P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之間的距離|P1P2|_.特別地，空間任意一點P(x，y，z)與原點O之間的距離|OP|_.222121212xxyyzz 222xyz基礎(chǔ)達標(biāo)1. 已知點M(2,0,2)，N(1,2，1),則MN的中點P的坐標(biāo)為_31,1,222. 點A(1,2,13)到平面xOy的距離為_ 解析：豎坐標(biāo)的絕對值即為點到平面xOy的距離，所以距離為13.133. (教材P111習(xí)題第6題改編)已知點A(4，3,6)，則點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為_解析：類比平面直角坐標(biāo)系中關(guān)于原點對稱的規(guī)律，點A關(guān)于原點的對稱點的坐標(biāo)為(4,3，6) (4,3，6)4. (教材P111習(xí)題第6題改編)在空間直角坐標(biāo)系中，點(3，5，8)關(guān)于xOz平面對稱的點的坐標(biāo)為_解析：關(guān)于xOz平面對稱的點的坐標(biāo)特點為：縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，橫坐標(biāo)、豎坐標(biāo)不變，所以填(3,5,8) (3,5,8)5. (教材P111習(xí)題第4題改編)已知點M(2，1,7)，在z軸上求一點N，使MN ，則點N的坐標(biāo)為_30(0,0,2)或(0,0,12)解析：設(shè)N(0,0，a)，MN=解得a=2或12，所以點N的坐標(biāo)為(0,0,2)或(0,0,12)22221730a 經(jīng)典例題【例1】(2010南京模擬)如圖所示，在直角梯形OABC中，COAOAB ，OAOSAB1，OC4，點M是棱SB的中點，N是OC上的點，且ON NC1 3，以O(shè)C，OA，OS所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(1)試寫出點A、B、C、S、M、N的坐標(biāo)；(2)求線段MN的長 2分析：確定每一點的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)和豎坐標(biāo) 解：(1)由題可知S(0,0,1)，C(4,0,0)，A(0,1,0)，B(1,1,0)，因為點M是棱SB的中點，所以由中點坐標(biāo)公式可得M ，又ON NC=1 3，所以N(1,0,0)(2)根據(jù)兩點間的距離公式MN=1 1 1,2 2 222211131002222【例2】已知點A(2,4,3)，點B與點A關(guān)于平面xOz對稱，點C與點 A關(guān)于z軸對稱，求點B和點C的坐標(biāo)，以及B，C兩點間的距離題型二空間中的對稱問題分析：點P(x，y，z)關(guān)于平面xOz對稱的點的坐標(biāo)為(x，y，z)；關(guān)于z軸對稱的點的坐標(biāo)為(x，y，z)解：點A關(guān)于平面xOz對稱的點B的坐標(biāo)為(2，4，3)，點A關(guān)于z軸對稱的點C的坐標(biāo)為(2，4，3)，則BC= 22222004 求點A(3,2，1)關(guān)于x軸及平面xOy的對稱點B，C的坐標(biāo)，以及B，C兩點間的距離變式21解析：點A(3,2，1)關(guān)于x軸對稱的點B的坐標(biāo)為(3，2,1)，關(guān)于平面xOy的對稱的點C的坐標(biāo)為(3,2,1)，所以BC= 22202204 分析：y軸上的點的坐標(biāo)為(0，y,0)，若MAB為等邊三角形，則MA=MB=AB，利用兩點間距離公式求得y.【例3】在空間直角坐標(biāo)系中，已知A(3,0,1)和B(1,0，3)，試問在y軸上是否存在點M，使MAB為等邊三角形？若存在，試求出點M坐標(biāo)題型三空間中兩點間距離公式的運用解：假設(shè)在y軸上存在點M(0，y,0)，使MAB為等邊三角形利用兩點間距離公式可求得恒有MA=MB=AB，就可以使得MAB是等邊三角形因為MA= =MB 22223001010yy 于是解得y=故y軸上存在點M使MAB為等邊三角形，此時點M的坐標(biāo)為 或 .102221 3003 120AB 21020y(0, 10,0)(0,10,0)