第第4 4節(jié)指數(shù)函數(shù)節(jié)指數(shù)函數(shù) 知識(shí)鏈條完善知識(shí)鏈條完善 把散落的知識(shí)連起來(lái)把散落的知識(shí)連起來(lái)【教材導(dǎo)讀【教材導(dǎo)讀】 函數(shù)函數(shù)y=2y=2x-1x-1是指數(shù)函數(shù)嗎是指數(shù)函數(shù)嗎? ?提示提示: :不是不是. .因?yàn)橐驗(yàn)閥=2y=2x-1x-1不滿(mǎn)足不滿(mǎn)足y=ay=ax x的形式的形式. .知識(shí)梳理知識(shí)梳理(3)0(3)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0;00;0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義. .2.2.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)(1)a(1)am ma an n=a=am+nm+n. .(2)(a(2)(am m) )n n=a=am nm n. .(3)(ab)(3)(ab)n n=a=an nb bn n. .(a0,b0)(a0,b0)3.3.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)(1)(1)指數(shù)函數(shù)的概念指數(shù)函數(shù)的概念解析式解析式: : . .自變量自變量: : ; ;定義域定義域: : . .y=ay=ax x(a(a00且且a1)a1)x xR R(0,+) (0,+) 減減 增增 【重要結(jié)論【重要結(jié)論】 指數(shù)函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)指數(shù)函數(shù)圖像在第一象限內(nèi), ,從下到上底數(shù)依次增大從下到上底數(shù)依次增大. .夯基自測(cè)夯基自測(cè)B B1.1.如圖是指數(shù)函數(shù)如圖是指數(shù)函數(shù)y=ay=ax x, ,y=by=bx x, ,y=cy=cx x, ,y=dy=dx x的圖像的圖像, ,則則a,b,c,da,b,c,d與與1 1的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為( ( ) )(A)ab1cd(A)ab1cd(B)ba1dc(B)ba1dc(C)1abcd(C)1abcd(D)a(D)ab1dcb1dc解析解析: :由圖像可知的底數(shù)必大于由圖像可知的底數(shù)必大于1,1,的底數(shù)必小于的底數(shù)必小于1.1.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)(1,0)(1,0)作直線(xiàn)作直線(xiàn)x=1,x=1,在第一象限內(nèi)分別與各曲線(xiàn)相交在第一象限內(nèi)分別與各曲線(xiàn)相交, ,由圖像可知由圖像可知1dc,ba1,1dc,ba1,從而可得從而可得a,b,c,da,b,c,d與與1 1的大小關(guān)系為的大小關(guān)系為ba1dc.ba1d0+2(a0且且a1)a1)的圖像一定過(guò)點(diǎn)的圖像一定過(guò)點(diǎn)( ( ) )(A)(1,1)(A)(1,1)(B)(1,3)(B)(1,3)(C)(2,0)(C)(2,0)(D)(4,0)(D)(4,0)解析解析: :由由x-1=0,x-1=0,解得解得x=1,x=1,此時(shí)此時(shí)y=1+2=3,y=1+2=3,即函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)即函數(shù)的圖像過(guò)定點(diǎn)(1,3).(1,3).錯(cuò)誤錯(cuò)誤,2,2a a2 2b b=2=2a+ba+b, ,正確正確, ,兩個(gè)函數(shù)均不符合指數(shù)函數(shù)的定義兩個(gè)函數(shù)均不符合指數(shù)函數(shù)的定義, ,錯(cuò)誤錯(cuò)誤, ,當(dāng)當(dāng)a1a1時(shí)時(shí),mn,mn,而當(dāng)而當(dāng)0a10an,mn,答案答案: :考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破考點(diǎn)專(zhuān)項(xiàng)突破 在講練中理解知識(shí)在講練中理解知識(shí)指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值指數(shù)冪的化簡(jiǎn)與求值考點(diǎn)一考點(diǎn)一(3)(3)在進(jìn)行冪的運(yùn)算時(shí)在進(jìn)行冪的運(yùn)算時(shí), ,一般是先將根式化成冪的形式一般是先將根式化成冪的形式, ,并化小數(shù)指數(shù)冪并化小數(shù)指數(shù)冪為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪, ,再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算再利用冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算. .(4)(4)結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪, ,也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪指數(shù)冪. .指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用考點(diǎn)二考點(diǎn)二【例【例2 2】 (1)(1)函數(shù)函數(shù)f(x)=1-ef(x)=1-e|x|x|的圖像大致的圖像大致是是( () )解析解析: :(1)(1)由由f(xf(x)=1-e)=1-e|x|x|是偶函數(shù)是偶函數(shù), ,值域是值域是(-,0.(-,0.故選故選A.A.答案答案: :(1)A(1)A答案答案: :(2)-1,1(2)-1,1(2)(2)若曲線(xiàn)若曲線(xiàn)|y|=2|y|=2x x+1+1與直線(xiàn)與直線(xiàn)y=by=b沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn), ,則則b b的取值范圍是的取值范圍是 .解析解析: :(2)(2)曲線(xiàn)曲線(xiàn)|y|=2|y|=2x x+1+1與直線(xiàn)與直線(xiàn)y=by=b的圖像如圖所示的圖像如圖所示, ,由圖像可得由圖像可得: :如果如果|y|=2|y|=2x x+1+1與直線(xiàn)與直線(xiàn)y=by=b沒(méi)有公共點(diǎn)沒(méi)有公共點(diǎn), ,則則b b應(yīng)滿(mǎn)足的條件是應(yīng)滿(mǎn)足的條件是b-1,1.b-1,1.反思?xì)w納反思?xì)w納 (1)(1)求解指數(shù)型函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題求解指數(shù)型函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題對(duì)指數(shù)型函數(shù)的圖像與性質(zhì)問(wèn)題( (單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等單調(diào)性、最值、大小比較、零點(diǎn)等) )的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像的求解往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像, ,通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換得到其圖像通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換得到其圖像, ,然后數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解然后數(shù)形結(jié)合使問(wèn)題得解. .(2)(2)求解指數(shù)型方程、不等式問(wèn)題求解指數(shù)型方程、不等式問(wèn)題一些指數(shù)型方程、不等式問(wèn)題的求解一些指數(shù)型方程、不等式問(wèn)題的求解, ,往往運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想把方程、往往運(yùn)用化歸與轉(zhuǎn)化思想把方程、不等式轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系不等式轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系, ,再利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解再利用相應(yīng)指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解. .【即時(shí)訓(xùn)練【即時(shí)訓(xùn)練】 (1)(1)函數(shù)函數(shù)y=ay=ax x-a(a-a(a0,0,且且a1)a1)的圖像可能是的圖像可能是( () )解析解析: :(1)(1)當(dāng)當(dāng)x=1x=1時(shí)時(shí),y=a,y=a1 1-a=0,-a=0,所以所以y=ay=ax x-a-a的圖像必過(guò)定點(diǎn)的圖像必過(guò)定點(diǎn)(1,0),(1,0),只有只有C C符合符合. .故選故選C.C.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用考點(diǎn)三考點(diǎn)三【例【例3 3】 (2016(2016松江模擬松江模擬) )已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=af(x)=a|x+b|x+b|(a(a0,a1,b0,a1,bR R).).(1)(1)若若f(xf(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,求求b b的值的值; ;思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥: :本題求解第本題求解第(1)(1)問(wèn)的關(guān)鍵是由問(wèn)的關(guān)鍵是由f(-x)=f(xf(-x)=f(x) )建立方程求解建立方程求解b.b.解解: :(1)(1)因?yàn)橐驗(yàn)閒(xf(x) )為偶函數(shù)為偶函數(shù), ,所以對(duì)任意的所以對(duì)任意的xxR R, ,都有都有f(-x)=f(xf(-x)=f(x),),即即a a|x+b|x+b| |=a=a|-x+b|-x+b| | , ,可得可得|x+b|=|-x+b|x+b|=|-x+b|,|,得得b=0.b=0.當(dāng)當(dāng)0a10a1a1且且b-2.b-2.(2)(2)若若f(xf(x) )在區(qū)間在區(qū)間2,+)2,+)上是增函數(shù)上是增函數(shù), ,試求試求a,ba,b應(yīng)滿(mǎn)足的條件應(yīng)滿(mǎn)足的條件. .思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥: :第第(2)(2)問(wèn)要注意對(duì)問(wèn)要注意對(duì)a a的討論的討論. .反思?xì)w納反思?xì)w納 求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題, ,首先要熟知指首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì), ,其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成成, ,涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí), ,都要借助都要借助“同增異減同增異減”這一這一性質(zhì)分析判斷性質(zhì)分析判斷. .備選例題備選例題【例【例1 1】 (2014(2014高考安徽卷高考安徽卷) )設(shè)設(shè)a=loga=log3 37,b=27,b=21.71.7,c=0.8,c=0.83.13.1, ,則則( () )(A)bac(A)bac(B)cab(B)cab(C)cba(C)cba(D)a(D)acbcb解析解析: :因?yàn)橐驗(yàn)?a=log1a=log3 372,b=272,02,0c=0.83.13.11,1,所以所以cab,ca1a1時(shí)時(shí),a,a2 2-10,-10,y=ay=ax x為增函數(shù)為增函數(shù),y=a,y=a-x-x為減函數(shù)為減函數(shù), ,從而從而y=ay=ax x-a-a-x-x為增函數(shù)為增函數(shù). .所以所以f(xf(x) )為增函數(shù)為增函數(shù). .當(dāng)當(dāng)0a10a1時(shí)時(shí)a a2 2-10,-10a0且且a1a1時(shí)時(shí),f(x,f(x) )在定義域內(nèi)單調(diào)遞增在定義域內(nèi)單調(diào)遞增. .(2)(2)討論討論f(xf(x) )的單調(diào)性的單調(diào)性. .類(lèi)題探源精析類(lèi)題探源精析 把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化把復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化指數(shù)冪大小的比較方法指數(shù)冪大小的比較方法教材源題教材源題: :比較下列各題中兩個(gè)值的大小比較下列各題中兩個(gè)值的大小: :(1)1.7(1)1.72.52.5,1.7,1.73 3; ;(2)0.8(2)0.8-0.1-0.1,0.8,0.8-0.2-0.2; ;(3)1.7(3)1.70.30.3,0.9,0.93.13.1. .解解: :(1)1.7(1)1.7 2.5 2.5,1.7,1.73 3可看作函數(shù)可看作函數(shù)y=1.7y=1.7x x的兩個(gè)函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)值. .由于底數(shù)由于底數(shù)1.71,1.71,所以指數(shù)函數(shù)所以指數(shù)函數(shù)y=1.7y=1.7x x在在R R上是增函數(shù)上是增函數(shù). .因?yàn)橐驗(yàn)?.53,2.53,所以所以1.71.72.52.51.71.73 3. .(2)0.8(2)0.8-0.1-0.1,0.8,0.8-0.2-0.2可看作函數(shù)可看作函數(shù)y=0.8y=0.8x x的兩個(gè)函數(shù)值的兩個(gè)函數(shù)值. .由于底數(shù)由于底數(shù)00.81.00.8-0.2,-0.1-0.2,所以所以0.80.8-0.1-0.10.81.71.70 0=1.0.9=1.0.93.13.10.90.90.93.13.1. .方法總結(jié)方法總結(jié) 比較指數(shù)冪大小的技巧比較指數(shù)冪大小的技巧(1)(1)比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí)比較兩個(gè)指數(shù)冪大小時(shí), ,盡量化同底或同指盡量化同底或同指, ,當(dāng)?shù)讛?shù)相同當(dāng)?shù)讛?shù)相同, ,指數(shù)不同指數(shù)不同時(shí)時(shí), ,構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù)構(gòu)造同一指數(shù)函數(shù), ,然后比較大小然后比較大小. .(2)(2)當(dāng)指數(shù)相同當(dāng)指數(shù)相同, ,底數(shù)不同時(shí)底數(shù)不同時(shí), ,構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù)構(gòu)造兩個(gè)指數(shù)函數(shù), ,利用圖像比較大小利用圖像比較大小. .(3)(3)借助中間值作為橋梁進(jìn)行比較大小借助中間值作為橋梁進(jìn)行比較大小. .【源題變式】【源題變式】 (2015(2015高考山東卷高考山東卷) )設(shè)設(shè)a=0.6a=0.60.60.6, ,b=0.6b=0.61.51.5,c=1.5,c=1.50.60.6, ,則則a,b,ca,b,c的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是( () )(A)abc(A)abc(B)a(B)acbcb(C)bac(C)bac(D)b(D)bcac0.60.61.51.5, ,即即ab,ab,又又00.600.60.60.61,1.51,1,所以所以ac.ac.故選故選C.C.