第五章四邊形第五章四邊形第二節(jié)矩形、菱形、正方形第二節(jié)矩形、菱形、正方形第一部分第一部分 教材知識(shí)梳理教材知識(shí)梳理中考考點(diǎn)清單 矩形的性質(zhì)及判定矩形的性質(zhì)及判定 考點(diǎn)一考點(diǎn)一 1. 性質(zhì)性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)字母表示字母表示 邊邊兩組對(duì)邊分別平行兩組對(duì)邊分別平行ABCD；AD_兩組對(duì)邊分別相等兩組對(duì)邊分別相等ABCD，ADBCBC 角角四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角ABCBCDADCBAD90對(duì)角線對(duì)角線對(duì)角線對(duì)角線_ACBD，OAOBOCOD對(duì)稱性對(duì)稱性既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱有兩條對(duì)稱軸軸面積面積S_（a、b表示長和寬）表示長和寬）ab相等且互相平分相等且互相平分 2. 判定判定 （1）有一個(gè)角是）有一個(gè)角是_的平行四邊形是的平行四邊形是矩形；矩形；（2）有三個(gè)角都是）有三個(gè)角都是_的四邊形是矩的四邊形是矩形；形；（3）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形直角（或直角（或90） 直角（或直角（或90） 菱形的性質(zhì)及判定菱形的性質(zhì)及判定 考點(diǎn)考點(diǎn)二二 1. 性質(zhì)性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)字母表示字母表示 邊邊四條邊四條邊_ABBCCDDA對(duì)邊平行對(duì)邊平行ABCD，ADBC都相等都相等 角角對(duì)角相等對(duì)角相等DABBCD；ABCADC對(duì)角線對(duì)角線 菱形的對(duì)角線互菱形的對(duì)角線互相垂直且相垂直且_ACBD，AOOC，DOOB對(duì)角線平分一組對(duì)角線平分一組對(duì)角對(duì)角AC平分平分DAB與與BCD，BD平分平分ABC與與ADC平分平分 對(duì)稱性對(duì)稱性既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸有兩條對(duì)稱軸面積面積S_（m、n分別表示兩分別表示兩條對(duì)角線的長）條對(duì)角線的長）12mn2. 判定判定 （1）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；）有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）四條邊都相等的四邊形是菱形；）四條邊都相等的四邊形是菱形；（3）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形正方形的性質(zhì)及判定正方形的性質(zhì)及判定 考點(diǎn)考點(diǎn)三三 1. 性質(zhì)性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)字母表示字母表示 邊邊四條邊都四條邊都_ABBCCDAD對(duì)邊平行對(duì)邊平行ABCD，ADBC相等相等 角角四個(gè)角都是直角四個(gè)角都是直角ABCADCBCDBAD90對(duì)角線對(duì)角線 對(duì)角線互相對(duì)角線互相_且相且相等等ACBD，OAOBOCOD對(duì)角線平分一組對(duì)對(duì)角線平分一組對(duì)角角DACCAB45；DCAACB45；ADBBDC45；ABDDBC45垂直平分垂直平分 對(duì)稱性對(duì)稱性既是中心對(duì)稱圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形，有有4條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸面積面積Sa2（a表示正方形邊長）表示正方形邊長）2. 判定判定 （1）有一個(gè)角是）有一個(gè)角是_的菱形是正方形；的菱形是正方形；（2）有一組）有一組_相等的矩形是正方形；相等的矩形是正方形；（3）對(duì)角線相等的）對(duì)角線相等的_是正方形；是正方形；（4）對(duì)角線互相）對(duì)角線互相_的矩形是正方形的矩形是正方形【溫馨提示溫馨提示】平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系：系：直角直角(或或90) 鄰邊鄰邊 菱形菱形 垂直垂直 15直角直角 相等相等 相等相等 直角直角 菱菱形形矩形矩形正方形正方形平行四邊形平行四邊形有一個(gè)角是有一個(gè)角是有一組鄰邊有一組鄰邊16 16 有一組鄰邊有一組鄰邊17 17 有一個(gè)角是有一個(gè)角是18 18 有一組鄰邊相等，有一組鄰邊相等，一個(gè)角是一個(gè)角是90常考類型剖析 類型一類型一矩形的相關(guān)證明及計(jì)算矩形的相關(guān)證明及計(jì)算類型二類型二菱形的相關(guān)證明及計(jì)算菱形的相關(guān)證明及計(jì)算類型三正方形的相關(guān)證明及計(jì)算類型三正方形的相關(guān)證明及計(jì)算例例1（15 內(nèi)江）內(nèi)江）如圖，將如圖，將 ABCD的邊的邊AB延長至點(diǎn)延長至點(diǎn)E，使使ABBE，連接，連接DE、EC，DE交交BC于點(diǎn)于點(diǎn)O.（1）求證：）求證：ABD BEC；類型一矩形的相關(guān)證明及計(jì)算類型一矩形的相關(guān)證明及計(jì)算例例1題圖題圖 證明證明：四邊形四邊形ABCD是平行四邊形，是平行四邊形，AD BC，AEBC，又又ABBE，ABD BEC（SAS）例例1題圖題圖 （2）連接）連接BD，若，若BOD2A，求證：四邊形，求證：四邊形BECD是矩形是矩形證明證明： （2）AB DC，ABBE，BE DC，四邊形四邊形BECD是平行四邊形是平行四邊形AEBC，BOD2A，BOD2EBC，例例1題圖題圖 又又BODEBOBEO，EBOBEO，OBOE，BCED，平行四邊形平行四邊形BECD是矩形是矩形【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】1.矩形判定的一般思路：首先判定是否矩形判定的一般思路：首先判定是否為平行四邊形為平行四邊形，然后找角或者對(duì)角線的關(guān)系然后找角或者對(duì)角線的關(guān)系，若角度若角度容易求容易求，則證明其一角為則證明其一角為90，便可判定是矩形；若便可判定是矩形；若對(duì)角線容易求對(duì)角線容易求，則證明其對(duì)角線相等即可判定其為矩則證明其對(duì)角線相等即可判定其為矩形形2應(yīng)用矩形性質(zhì)計(jì)算的一般思路：根據(jù)矩形的四個(gè)應(yīng)用矩形性質(zhì)計(jì)算的一般思路：根據(jù)矩形的四個(gè)角都是直角角都是直角，一條對(duì)角線將矩形分成兩個(gè)直角三角形一條對(duì)角線將矩形分成兩個(gè)直角三角形，用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長是常用的思路用勾股定理或三角函數(shù)求線段的長是常用的思路，又又根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分根據(jù)矩形對(duì)角線相等且互相平分，故可借助對(duì)角線的故可借助對(duì)角線的關(guān)系得到全等三角形矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成關(guān)系得到全等三角形矩形的兩條對(duì)角線把矩形分成四個(gè)等腰三角形四個(gè)等腰三角形，在矩形性質(zhì)相關(guān)的計(jì)算和證明中要在矩形性質(zhì)相關(guān)的計(jì)算和證明中要注意這個(gè)結(jié)論的運(yùn)用注意這個(gè)結(jié)論的運(yùn)用，建立能夠得到線段或角度的等建立能夠得到線段或角度的等量關(guān)系量關(guān)系拓展題拓展題1如圖，在如圖，在ABC中，中，D是是BC邊上的一點(diǎn)，邊上的一點(diǎn)，E是是AD的中點(diǎn)，過的中點(diǎn)，過A點(diǎn)作點(diǎn)作BC的平行線交的平行線交CE的延長線于的延長線于點(diǎn)點(diǎn)F，且，且AFBD，連接，連接BF.（1）線段）線段BD與與CD有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？拓展題拓展題1圖圖 解解：（1）BDCD.理由如下：理由如下：AFBC,AFE=DCE，E是是AD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，AEDE，在在AEF和和DEC中，中，拓展題拓展題1圖圖 AFEDCEAEFDECAEDE ，AEF DEC(AAS),AF=CD,AF=BD,BD=CD.（2）當(dāng)）當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形滿足什么條件時(shí)，四邊形AFBD是矩形？是矩形？請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理由解解：（2）當(dāng)）當(dāng)ABC滿足滿足ABAC時(shí)，四邊形時(shí)，四邊形AFBD是是矩形矩形.理由如下：理由如下：AFBD,AF=BD,四邊形四邊形AFBD為平行四邊形為平行四邊形.ABAC，BDCD，AD為為BC的垂直平分線，的垂直平分線，ADB=90，平行四邊形平行四邊形AFBD是矩形是矩形.拓展題拓展題1圖圖 例例2（15 貴陽）貴陽）如圖，在如圖，在RtABC中，中，ACB90，D為為AB的中點(diǎn)，且的中點(diǎn)，且AECD，CEAB.（1）證明：四邊形）證明：四邊形ADCE是菱形；是菱形；類型二菱形的相關(guān)證明及計(jì)算類型二菱形的相關(guān)證明及計(jì)算例例2題圖題圖 證明證明：在在RtABC中，中，ACB90，D為為AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CDADBD，例例2題圖題圖 又又AECD，CEAB，四邊形四邊形ADCE為平行四邊形，為平行四邊形，平行四邊形平行四邊形ADCE為菱形為菱形（2）若）若B60，BC6，求菱形，求菱形ADCE的的高（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）高（計(jì)算結(jié)果保留根號(hào)）解解：如解圖，過點(diǎn)如解圖，過點(diǎn)D作作DHAE于于H，則，則DH即為菱形即為菱形ADCE的高，的高，B60，CDBD，BCD為等邊三角形，為等邊三角形，ADCDBC6，BAC30，則，則CAEBAC30，DAH60，則，則ADH30，例例2題解圖題解圖 H 在在RtADH中，中，ADH30，AD6，AH3，DH3 即菱形即菱形ADCE的高為的高為3 33【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】1.菱形判定的一般思路：首先判定是平菱形判定的一般思路：首先判定是平行四邊形行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等，來判定然后根據(jù)平行四邊形的鄰邊相等，來判定是菱形，這是判定菱形的最基本思路，同時(shí)也可以考是菱形，這是判定菱形的最基本思路，同時(shí)也可以考慮其他判定方法，例如若能判定對(duì)角線垂直即可應(yīng)用慮其他判定方法，例如若能判定對(duì)角線垂直即可應(yīng)用對(duì)角線來判定對(duì)角線來判定2應(yīng)用菱形性質(zhì)計(jì)算的一般思路：因菱形的四條邊應(yīng)用菱形性質(zhì)計(jì)算的一般思路：因菱形的四條邊相等；菱形對(duì)角線互相垂直；在有一個(gè)角為相等；菱形對(duì)角線互相垂直；在有一個(gè)角為60的菱的菱形中，形中，60角所對(duì)的對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角角所對(duì)的對(duì)角線將菱形分成兩個(gè)全等的等邊三角形故常借助對(duì)角線垂直和勾股定理來求線段長也形故常借助對(duì)角線垂直和勾股定理來求線段長也可以根據(jù)菱形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，可以根據(jù)菱形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，結(jié)合它的對(duì)稱性得出的一些結(jié)論來計(jì)算結(jié)合它的對(duì)稱性得出的一些結(jié)論來計(jì)算例例3（15 梧州）梧州）如圖，在正方形如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)P在在AD上，且不與上，且不與A、D重合，重合，BP的垂直平分線分別交的垂直平分線分別交CD、AB于點(diǎn)于點(diǎn)E、F兩點(diǎn)，垂足為兩點(diǎn)，垂足為Q，過點(diǎn)，過點(diǎn)E作作EHAB于于H.（1）求證：）求證：HFAP；類型三正方形的相關(guān)證明及計(jì)算類型三正方形的相關(guān)證明及計(jì)算例例3題圖題圖 證明證明：如解圖，設(shè)如解圖，設(shè)EH與與PB交于點(diǎn)交于點(diǎn)M，EQBP，EHAB，EQMBHM90.例例3題解圖題解圖 EMQBMH，EMQBMH，QEMHBM.在在RtAPB與與RtHFE中，中，APB HFE（ASA）,HF=AP.PABFHEABEH,QEMHBM （2）若正方形）若正方形ABCD的邊長為的邊長為12，AP4，求線段，求線段EQ的長的長解解：在在RtABP中，由勾股定理得，中，由勾股定理得， 例例3題圖題圖 22224124 10BPAPAB. 12 102tan42 10tan2 10123EFBPBQBP,QFBQFBQBQABP. 是是的的垂垂直直平平分分線線，= =由（由（1）知，）知，APB HFE,4 102 1010 104 1033EFBPEQEFQF.，【方法指導(dǎo)方法指導(dǎo)】對(duì)于正方形性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算問題對(duì)于正方形性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算問題，應(yīng)注應(yīng)注意合理應(yīng)用其性質(zhì)及由性質(zhì)得到的一些結(jié)論：意合理應(yīng)用其性質(zhì)及由性質(zhì)得到的一些結(jié)論：1四角相等均為四角相等均為90以及四邊相等；以及四邊相等；2對(duì)角線垂直且相等；對(duì)角線垂直且相等；3對(duì)角線平分一組對(duì)角得到對(duì)角線平分一組對(duì)角得到45角；角；4邊長與對(duì)角線的長度比為邊長與對(duì)角線的長度比為12拓展題拓展題2（15 黃岡）黃岡）如圖，在正方形如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)F為為CD上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，BF與與AC交于點(diǎn)交于點(diǎn)E，若，若CBF20，則則AED等于等于_度度拓展題拓展題2圖圖 65 【解析解析】四邊形四邊形ABCD為正方形，為正方形，ADAB，BACDAC45，又又AEAE，ABE ADE(SAS)，AEDAEBEBCECB204565.一題多解：一題多解：由題知由題知，AC為正方形為正方形ABCD的對(duì)角線的對(duì)角線，ABE與與ADE關(guān)于直線關(guān)于直線AC對(duì)稱對(duì)稱，AEDAEBEBCECB204565.拓展題拓展題2圖圖