考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理 1絕對(duì)值不等式的解法 (1)含絕對(duì)值的不等式|x|a的解法不等式不等式a0a0a0|x|a_Rx|axa或或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c_； |axb|c _. (3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法 法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想； 法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想； 法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想caxbcaxbc或或axbc (1)定理1：若a，b是實(shí)數(shù)，則|ab|_，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立 (2)定理2：設(shè)a，b，c是實(shí)數(shù)，則|ac|ab|bc|，當(dāng)且僅當(dāng)_時(shí)，等號(hào)成立 推論1：|a|b|ab|. 推論2：|a|b|ab|.2絕對(duì)值的三角不等式絕對(duì)值的三角不等式|a|b|ab0(ab)(bc)0 1不等式|x8|x4|2的解集為_考點(diǎn)自測(cè)考點(diǎn)自測(cè)當(dāng)當(dāng)x4時(shí)，時(shí)，f(x)42；當(dāng)當(dāng)4x8時(shí)，時(shí)，f(x)2x122，得，得x5，4x5；當(dāng)當(dāng)x8時(shí)，時(shí)，f(x)42不成立不成立故原不等式的解集為：故原不等式的解集為：x|x5答案答案x|x5 2(2012湖南)不等式|2x1|2|x1|0的解集為_ 解析|x1|x|x1x|1，當(dāng)k1時(shí)，不等式|x1|x|k無(wú)解，故k1. 答案(，1)3已知關(guān)于已知關(guān)于x的不等式的不等式|x1|x|k無(wú)解，則實(shí)數(shù)無(wú)解，則實(shí)數(shù)k的的 取值范圍是取值范圍是_ 4若不等式|3xb|4的解集中的整數(shù)有且僅有1,2,3，則 b的取值范圍為_答案答案(5,7) 解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|， 要使|xa|x1|3有解， 可使|a1|3，3a13，2a4. 答案2,45(2012陜西陜西)若存在實(shí)數(shù)若存在實(shí)數(shù)x使使|xa|x1|3成立，成立， 則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是的取值范圍是_ (1)解不等式f(x)2； (2)求函數(shù)yf(x)的最小值考向一含絕對(duì)值不等式的解法考向一含絕對(duì)值不等式的解法【例例1】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)|2x1|x4|. (1)用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：求零點(diǎn)；劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；分別解去掉絕對(duì)值的不等式；取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值 (2)用圖象法，數(shù)形結(jié)合可以求解含有絕對(duì)值的不等式，使得代數(shù)問(wèn)題幾何化，即通俗易懂，又簡(jiǎn)潔直觀，是一種較好的方法 (1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集； (2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍 當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1； 當(dāng)2x3時(shí)，f(x)3無(wú)解； 當(dāng)x3時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x4. 所以f(x)3的解集為x|x1x|x4【訓(xùn)練訓(xùn)練1】 (2012新課標(biāo)全國(guó)新課標(biāo)全國(guó))已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)|xa|x2|. (2)f(x)|x4|x4|x2|xa|. 當(dāng)x1,2時(shí)，|x4|x2|xa| 4x(2x)|xa|2ax2a. 由條件得2a1且2a2，即3a0. 故滿足條件的a的取值范圍是3,0 證明1x1，|x|1. 又|a|1， |f(x)|a(x21)x|a(x21)|x| |x21|x|1|x|2|x|考向二絕對(duì)值不等式的證明考向二絕對(duì)值不等式的證明 證明絕對(duì)值不等式主要有三種方法： (1)利用絕對(duì)值的定義脫去絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為普通不等式再證明；(2)利用三角不等式|a|b|ab|a|b|進(jìn)行證明；(3)轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行證明 求證：|f(x)f(a)|2|a|3. 證明|f(x)f(a)|x2a22(ax)| |(xa)(xa)2(ax)| |xa|xa2|xa2| |xa2a2|xa|2|a|22|a|3.【訓(xùn)練訓(xùn)練2】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)x22x，實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)a滿足滿足|xa|1. (1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實(shí)數(shù)a的值； (2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 解法一(1)由f(x)3得|xa|3， 解得a3xa3. 又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，考向三含絕對(duì)值的恒成立問(wèn)題考向三含絕對(duì)值的恒成立問(wèn)題【例例3】 已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)|xa|. (2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|. 設(shè)g(x)f(x)f(x5)， 所以當(dāng)x5； 當(dāng)3x2時(shí)，g(x)5； 當(dāng)x2時(shí)，g(x)5. 綜上可得，g(x)的最小值為5. 從而，若f(x)f(x5)m即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是(，5 法二(1)同法一 (2)當(dāng)a2時(shí)，f(x)|x2|.設(shè)g(x)f(x)f(x5) 由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當(dāng)且僅當(dāng)3x2時(shí)等號(hào)成立)得，g(x)的最小值為5. 從而，若f(x)f(x5)m即g(x)m對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，則m的取值范圍是(，5 (1)研究含有絕對(duì)值的函數(shù)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)絕對(duì)值的定義，分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，然后利用數(shù)形結(jié)合解決，是常用的思想方法 (2)f(x)a恒成立f(x)maxa恒成立f(x)mina. (1)求a的值；【訓(xùn)練訓(xùn)練3】 (2012遼寧遼寧)已知已知f(x)|ax1|(aR)，不等式，不等式f(x)3 的解集為的解集為x|2x1解解(1)由由|ax1|3得得4ax2.又又f(x)3的解集為的解集為x|2x1，所以當(dāng)所以當(dāng)a0時(shí)，不合題意時(shí)，不合題意 所以|h(x)|1，因此k1. 故k的取值范圍是1，)