第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質第五節(jié)直線、平面垂直的判定及其性質1直線與平面垂直直線與平面垂直(1)定義：如果直線定義：如果直線l與平面與平面內的內的_直線都垂直，則直線直線都垂直，則直線l與平與平面面垂直垂直(2)判定定理：一條直線與一個平面內的兩條判定定理：一條直線與一個平面內的兩條_直線都垂直，則直線都垂直，則該直線與此平面垂直該直線與此平面垂直(3)性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線_2二面角的有關概念二面角的有關概念(1)二面角：從一條直線出發(fā)的二面角：從一條直線出發(fā)的_所組成的圖形叫做二面角所組成的圖形叫做二面角(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內分別作分別作_的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角的平面角任意一條任意一條相交相交平行平行兩個半平面兩個半平面垂直于棱垂直于棱3平面與平面垂直平面與平面垂直(1)定義：如果兩個平面所成的二面角是定義：如果兩個平面所成的二面角是_，就說這兩個，就說這兩個平面互相垂直平面互相垂直(2)判定定理：一個平面過另一個平面的判定定理：一個平面過另一個平面的_，則這兩個平面垂直，則這兩個平面垂直(3)性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內_的直線的直線與另一個平面垂直與另一個平面垂直4直線和平面所成的角直線和平面所成的角(1)平面的一條斜線和它在平面的一條斜線和它在_所成的銳角叫做這條直所成的銳角叫做這條直線和這個平面所成的角線和這個平面所成的角(2)當直線與平面垂直和平行當直線與平面垂直和平行(或直線在平面內或直線在平面內)時，規(guī)定直線和平面時，規(guī)定直線和平面所成的角分別為所成的角分別為_直二面角直二面角垂線垂線垂直于交線垂直于交線平面上的射影平面上的射影90和和0.1一條直線和一個平面內的無數條直線都垂直，可以說這條一條直線和一個平面內的無數條直線都垂直，可以說這條直線和這個平面垂直嗎？直線和這個平面垂直嗎？【提示【提示】不可以如果這無數條直線是平行的，則這條直線不可以如果這無數條直線是平行的，則這條直線和這個平面的位置關系不確定和這個平面的位置關系不確定2兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線有什么位兩條直線和一個平面所成的角相等，這兩條直線有什么位置關系？垂直于同一平面的兩個平面呢？置關系？垂直于同一平面的兩個平面呢？ 【提示【提示】這兩條直線平行或相交或異面；垂直于同一個平這兩條直線平行或相交或異面；垂直于同一個平面的兩個平面可能平行，也可能相交面的兩個平面可能平行，也可能相交 1(教材改編題教材改編題)已知直線已知直線a，b和平面和平面，且，且ab，a，則，則b與與的位置關系為的位置關系為()AbBbCb或或b Db與與相交相交【解析【解析】由由ab，a知知b或或b，但直線，但直線b不與不與相相交交【答案【答案】C2(2011浙江高考浙江高考)下列命題中錯誤的是下列命題中錯誤的是()A如果平面如果平面平面平面，那么平面，那么平面內一定存在直線平行于平內一定存在直線平行于平面面B如果平面如果平面不垂直于平面不垂直于平面，那么平面，那么平面內一定不存在直線內一定不存在直線垂直于平面垂直于平面C如果平面如果平面平面平面，平面，平面平面平面，l，那么，那么l平面平面D如果平面如果平面平面平面，那么平面，那么平面內所有直線都垂直于平面內所有直線都垂直于平面【解析【解析】A顯然正確，根據面面垂直的判定，顯然正確，根據面面垂直的判定，B正確正確對于命題對于命題C，設，設m，n，在平面，在平面內取一點內取一點P不在不在l上，上，過過P作直線作直線a，b，使，使am，bn.，am，則，則a，al，同理有，同理有bl.又又abP，a，b，l.故命題故命題C正確正確對于命題對于命題D，設，設l，則，則l，但，但l.故在故在內存在直線不內存在直線不垂直于平面垂直于平面，即命題，即命題D錯誤錯誤【答案【答案】D3已知命題：已知命題：“若若xy，yz，則，則xz”成立，那么字母成立，那么字母x，y，z在空間所表示的幾何圖形有可能是：在空間所表示的幾何圖形有可能是：都是直線；都是直線；都是平都是平面；面；x，y是直線，是直線，z是平面；是平面；x，z是平面，是平面，y是直線上述是直線上述判斷正確的有判斷正確的有_(請將你認為正確的序號都填上請將你認為正確的序號都填上)【解析【解析】由線面位置關系知由線面位置關系知正確正確【答案【答案】4如圖如圖751所示，在所示，在ABC中，中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面平面ABC，PC4，M是是AB上一個上一個動點，則動點，則PM的最小值為的最小值為_直線與平面垂直的判定與性質直線與平面垂直的判定與性質【思路點撥【思路點撥】(1)證明證明PQ平面平面DCQ，只需證，只需證PQDC且且PQDQ.(2)設設ABa，分別計算兩棱錐體積，求出體積比，分別計算兩棱錐體積，求出體積比1證明直線和平面垂直的常用方法有證明直線和平面垂直的常用方法有(1)利用判定定理；利用判定定理；(2)利用垂直于平面的傳遞性利用垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)利用面面垂直的性質利用面面垂直的性質2(1)證明線面垂直的核心是線線垂直，而證明線線垂直則需借證明線面垂直的核心是線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質因此，判定定理與性質定理的合理轉化是助線面垂直的性質因此，判定定理與性質定理的合理轉化是證明線面垂直的最大特點證明線面垂直的最大特點(2)常用線面垂直的性質證明線線常用線面垂直的性質證明線線垂直垂直 如圖如圖753，已知，已知PA垂直于矩形垂直于矩形ABCD所在的平面，所在的平面，M、N分別是分別是AB、PC的中點，若的中點，若PDA45，(1)求證：求證：MN平面平面PCD；(2)試問矩形試問矩形ABCD滿足什么條件時，滿足什么條件時，PCBD.(2011江蘇高考江蘇高考)如圖如圖754，在四棱錐，在四棱錐PABCD中，平面中，平面PAD平面平面ABCD，ABAD，BAD60，E，F分別是分別是AP，AD的中點的中點求證：求證：(1)直線直線EF平面平面PCD；(2)平面平面BEF平面平面PAD.【思路點撥【思路點撥】(1)E、F分別是分別是AP、AD的中點的中點EFPDEF平面平面PCD.(2)平面平面PAD平面平面ABCDBF平面平面PAD平平面面BEF平面平面PAD面面垂直的判定與性質面面垂直的判定與性質 【嘗試解答【嘗試解答】(1)如圖，在如圖，在PAD中，因為中，因為E，F分別為分別為AP，AD的中點，所以的中點，所以EFPD.又因為又因為EF 平面平面PCD，PD平面平面PCD，所以直線所以直線EF平面平面PCD.(2)連結連結BD.因為因為ABAD，BAD60，所以，所以ABD為正三角為正三角形形因為因為F是是AD的中點，所以的中點，所以BFAD.因為平面因為平面PAD平面平面ABCD，BF平面平面ABCD，平面平面PAD平面平面ABCDAD，所以所以BF平面平面PAD.又因為又因為BF平面平面BEF.所以平面所以平面BEF平面平面PAD.,1解決本題的關鍵是利用平面解決本題的關鍵是利用平面PAD平面平面ABCD，得到，得到BF平平面面PAD.2證明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定義法證明面面垂直常用面面垂直的判定定理或定義法(1)利用判利用判定定理證明面面垂直實質是證明線面垂直，與其中一個平面垂定定理證明面面垂直實質是證明線面垂直，與其中一個平面垂直的直線的選取至關重要，要根據條件的直觀圖準確選取直的直線的選取至關重要，要根據條件的直觀圖準確選取(2)利用定義證明面面垂直實質是證明線線垂直，即證明兩平面形利用定義證明面面垂直實質是證明線線垂直，即證明兩平面形成的二面角是直角成的二面角是直角如圖如圖755所示，在斜三棱柱所示，在斜三棱柱A1B1C1ABC中，中，ABAC，側面，側面BB1C1C底面底面ABC.D是是BC的中的中點點(1)求證：求證：ADCC1；(2)若若AMMA1，求證：平面，求證：平面MBC1側面?zhèn)让鍮B1C1C.【證明【證明】(1)ABAC，D是是BC的中點，的中點，ADBC，又又側面?zhèn)让鍮B1C1C底面底面ABC，AD平面平面ABC，AD平面平面BB1C1C，ADCC1.如圖如圖756所示，平行四邊形所示，平行四邊形ABCD中，中，DAB60，AB2，AD4，將，將CBD沿沿BD折起到折起到EBD的位置，使平面的位置，使平面EDB平平面面ABD.(1)求證：求證：ABDE；(2)求三棱錐求三棱錐EABD的側面積的側面積直線、平面垂直的綜合應用直線、平面垂直的綜合應用 (2)連結連結FG.因為因為EFCG，EFCG1，且，且CE1，所以四邊形所以四邊形CEFG為菱形為菱形所以所以CFEG.因為四邊形因為四邊形ABCD為正方形，所以為正方形，所以BDAC.又因為平面又因為平面ACEF平面平面ABCD，且平面且平面ACEF平面平面ABCDAC，所以所以BD平面平面ACEF.所以所以CFBD.又又BDEGG.所以所以CF平面平面BDE.,線面角、二面角線面角、二面角【思路點撥【思路點撥】(1)取取AD的中點的中點G，則平面，則平面PGB平面平面DEF，只需證只需證AD平面平面PGB即可即可(2)作出二面角的平面角作出二面角的平面角PGB，在在PGB中求解中求解1第第(1)問關鍵是利用平面問關鍵是利用平面PGB平面平面DEF，若，若AD平面平面PGB，則一定有則一定有AD平面平面DEF.2求線面角、二面角的常用方法求線面角、二面角的常用方法(1)線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足找垂足(2)二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量平二面角的大小求法：二面角的大小用它的平面角來度量平面角的作法常見的有：面角的作法常見的有：定義法；定義法；垂面法注意利用等腰、垂面法注意利用等腰、等邊三角形的性質等邊三角形的性質【解【解】(1)證明證明因為因為OAOC，D是是AC的中的中點，所以點，所以ACOD.又又PO底面底面 O，AC底面底面 O，所以，所以ACPO.又又OD，PO是平面是平面POD內的兩條相交直線，內的兩條相交直線，所以所以AC平面平面POD，由于由于AC平面平面PAC，所以平面所以平面PAC平面平面POD，高考在對立體幾何中的考查中，垂直問題是考查的重點高考在對立體幾何中的考查中，垂直問題是考查的重點之一，考查線線、線面、面面垂直的判定與性質的應用，以及之一，考查線線、線面、面面垂直的判定與性質的應用，以及線面角、二面角的求法，重點考查轉化思想的應用，以及空間線面角、二面角的求法，重點考查轉化思想的應用，以及空間想象能力和推理論證能力，主要以解答題的形式考查，解題規(guī)想象能力和推理論證能力，主要以解答題的形式考查，解題規(guī)范性至關重要范性至關重要規(guī)范解答之十三利用數量關系證明線線垂直規(guī)范解答之十三利用數量關系證明線線垂直圖圖7510 (12分分)(2011課標全國卷課標全國卷)如圖如圖7510，四棱錐，四棱錐PABCD中，底面中，底面ABCD為平行四邊形，為平行四邊形，DAB60 ，AB2AD，PD底面底面ABCD.(1)證明：證明：PABD；(2)設設PDAD1，求棱錐，求棱錐DPBC的高的高【解題程序【解題程序】第一步：在第一步：在ABD中，證明中，證明ADBD；第二步：利用線面垂直判定定理證第二步：利用線面垂直判定定理證BD平面平面PAD，從而證明，從而證明PABD；第三步：作第三步：作DEPB，并證明，并證明DE平面平面PBC；第四步：在第四步：在PDB中計算中計算DE的長的長易錯提示：易錯提示：(1)受心理定勢的消極影響，只會用位置關系平行受心理定勢的消極影響，只會用位置關系平行或垂直證明線線垂直，不會用數量關系證明線線垂直或垂直證明線線垂直，不會用數量關系證明線線垂直(2)作不出棱錐作不出棱錐DPBC的高，無從下手，盲目做答的高，無從下手，盲目做答防范措施：防范措施：(1)要有意識地運用數量關系證明線線垂直，如在要有意識地運用數量關系證明線線垂直，如在三角形中運用余弦定理、逆用勾股定理均可證明線線垂直，等三角形中運用余弦定理、逆用勾股定理均可證明線線垂直，等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，菱形的對角線互相垂直平腰三角形底邊上的中線垂直于底邊，菱形的對角線互相垂直平分等分等(2)由于平面由于平面PDB平面平面PBC，所以只需作，所以只需作DE和交線和交線PB垂直即垂直即可利用面面垂直的性質作為求作一個平面垂線的理論依可利用面面垂直的性質作為求作一個平面垂線的理論依據本題第據本題第(2)問也可以不直接求高問也可以不直接求高DE，利用，利用VDPBCVPDBC求解求解1(2011遼寧高考遼寧高考)如圖如圖7511，四棱錐，四棱錐SABCD的底面為正方形，的底面為正方形，SD底面底面ABCD，則下，則下列結論中不正確的是列結論中不正確的是()AACSBBAB平面平面SCDCSA與平面與平面SBD所成的角等于所成的角等于SC與平面與平面SBD所所成的角成的角DAB與與SC所成的角等于所成的角等于DC與與SA所成的角所成的角【解析】【解析】易證易證AC平面平面SBD，因而，因而ACSB，A正確正確ABDC，DC平面平面SCD，故，故AB平面平面SCD，B正確正確由于由于SA，SC與平面與平面SBD的相對位置一樣，因而所成的角相同的相對位置一樣，因而所成的角相同【答案【答案】D2(2012江門模擬江門模擬)如圖如圖7512所示，在長方體所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，中，ABAD1，AA12，M是棱是棱CC1的中點的中點(1)求異面直線求異面直線A1M和和C1D1所成的角的正切值；所成的角的正切值；(2)證明：平面證明：平面ABM平面平面A1B1M.