考綱要求考綱研讀1.理解空間直線、平面位置關系的定義2了解四個公理及其推論，了解等角定理，并能以此作為推理的依據(jù).借助長方體模型，在直觀認識和理解空間點、線、面位置關系的基礎上，抽象出空間線、面的位置關系的定義尋找公理成立的條件是正確使用公理的依據(jù).第3講 點、直線、平面之間的位置關系公理 1公理 2公理 3圖形語言文字語言如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線1平面基本性質(zhì)即三條公理的“文字語言”、“符號語言”、“圖形語言”列表公理 2 的三條推論：推論 1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面；推論 2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；推論 3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面公理 4：平行于同一條直線的兩條直線_平行等角定理：空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角_相等或互補2空間線、面之間的位置關系平行相交異面無數(shù)個只有一個沒有沒有重合且有一條公共直線3異面直線所成的角過空間任一點 O 分別作異面直線 a 與 b 的平行線 a與 b.那么直線 a與 b所成的_，叫做異面直線 a 與 b所成的角，其范圍是(0，90銳角或直角1互不重合的三個平面最多可以把空間分成幾個部分()A4B5C7D8D2若空間中有兩條直線，則“這兩條直線為異面直線”是“這兩條直線沒有公共點”的()AA充分非必要條件C充要條件B必要非充分條件D非充分非必要條件3(2010年全國)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于( )A30 B45 C60 D90解析：延長CA到D，使得ADAC，則ADA1C1為平行四邊形，DA1B就是異面直線BA1與AC1所成的角，又三角形A1DB為等邊三角形，DA1B60.C4長方體 ABCDA1B1C1D1中，既與 AB 共面也與 CC1 共面的棱的條數(shù)為()CA3B4C5D6)D5A，B，Al，Bl，Pl，則(APBPClDP考點1平面的基本性質(zhì)例1：如圖 1331，在四面體 ABCD 中作截面 PQR，PQ，CB 的延長線交于 M，RQ，DB 的延長線交于 N，RP，DC 的延長線交于 K.求證：M，N，K 三點共線圖 1331 PQCBM，證明： RQDBN，RPDCKM，N，K平面 BCD，M，N，K平面 PQRM，N，K 在平面 BCD 與平面 PQR 的交線上，即 M，N，K 三點共線要證明M，N，K 三點共線，由公理 3 可知，只要證明M，N，K 都在平面 BCD 與平面PQR 的交線上即可證明多點共線問題：(1)可由兩點連一條直線，再驗證其他各點均在這條直線上；(2)可直接驗證這些點都在同一條特定的直線上兩相交平面的唯一交線，關鍵是通過繪出圖形，作出兩個適當?shù)钠矫婊蜉o助平面，證明這些點是這兩個平面的公共點【互動探究】1下列推斷中，錯誤的個數(shù)是()AAl，A，Bl，Bl；A，B，C，A，B, C, 且 A，B，C 不共線、重合；l，AlA.A1 個C3 個B2 個D0 個2E，F(xiàn)，G，H 是三棱錐 ABCD 棱 AB，AD，CD，CB 上的點，延長 EF，HG 交于 P，則點 P()BA一定在直線 AC 上C只在平面 BCD 內(nèi)B一定在直線 BD 上D只在平面 ABD 內(nèi)考點2 空間兩直線的位置關系例2：如圖 1332，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，E，F(xiàn) 分別是 AB1，BC1的中點，則以下結論不成立的是()AEF 與 BB1 垂直CEF 與 CD 異面BEF 與 BD 垂直DEF 與 A1C1 異面解析：連接A1B，則A1B 經(jīng)過點E，且E為A1B 的中點，又F 是BC1 中點，EFA1C1.故D 不成立D圖 1332【互動探究】3如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S 分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個圖是()D解析：在A圖中分別連接PS，QR，易證PSQR，P，S，Q，R共面在B 圖中，P，S，R，Q均在截面PSRQ 上，P，S，R，Q 共面在C 圖中分別連接PQ，RS，也易證PQRS.P，Q，R，S 共面；故選D.4(2011 年四川)l1，l2，l3 是空間三條不同的直線，則下列命題正確的是()B Al1l2，l2l3l1l3 Bl1l2，l2l3l1l3 Cl1l2l3l1，l2，l3共面 Dl1，l2，l3共點l1，l2，l3共面解析：對于A，直線l1 與l3 可能異面；對于C，直線l1，l2，l3 可能構成三棱柱三條側棱所在直線時而不共面；對于D，直線l1，l2，l3 相交于同一個點時不一定共面所以選B.考點3 異面直線所成的角例 3：(2011 年上海)如圖 1333 已知 ABCDA1B1C1D1 是底面邊長為 1 的正四棱柱，高 AA12.求：(1)異面直線 BD 與 AB1 所成的角的余弦值；(2)四面體 AB1D1C 的體積圖 1333求異面直線所成角的基本方法就是平移，有時候平移兩條直線，有時候只需要平移一條直線，直到得到兩條相交直線，最后在三角形或四邊形中解決問題【互動探究】5正方體ABCDABCD中，AB的中點為M，DD的中點為N，異面直線BM與CN所成的角是( )A0 B45 C60 D90D考點4 立體幾何中的探究問題例4：在長方體 ABCDA1B1C1D1的A1C1面上有一點 P(如圖(1)過 P 點在空間作一直線 l，使 l直線 BD，1334，其中 P 點不在對角線B1D1上)應該如何作圖？并說明理由；(2)過 P 點在平面 A1C1 內(nèi)作一直線 m，圖 1334【互動探究】6(2010 年江西)如圖 1335 過正方體 ABCDA1B1C1D1的頂點 A 作直線 l，使 l 與棱 AB，AD，AA1 所成的角都相等，這樣的直線 l 可以作()D圖1335A1 條B2 條C3 條D4 條解析：考查空間感和線線夾角的計算和判斷，重點考查學生分類、化歸轉化的能力第一類：通過點 A 位于三條棱之間的直線有一條對角線AC1；第二類：在圖形外部和每條棱的外角和另2 條棱夾角相等，有3 條，合計4 條1反映平面基本性質(zhì)的三個公理是研究空間圖形和研究點、線、面位置關系的基礎，三個公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù)公理 1 判斷直線在平面內(nèi)的依據(jù)；公理 2 的作用是確定平面，這是把立體幾何轉化成平面幾何的依據(jù)；公理 3 是證明三(多)點共線或三線共點的依據(jù)2理解空間中直線與直線的位置關系，掌握異面直線的兩種判斷方法：(1)反證法：先假設兩條直線不是異面直線，即兩條直線平行或相交，由假設的條件出發(fā)，經(jīng)過嚴格的推理，導出矛盾，從而否定假設肯定兩條直線異面(2)客觀題中，也可用下述結論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線，與平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線1平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定成立例如：“過直線外一點只能作一條直線與已知直線垂直”，“同時垂直于一條直線的兩條直線平行”等性質(zhì)在空間都不成立2正確理解異面直線的定義，是“不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線”，而不能理解成“不在同一個平面內(nèi)的兩條直線”3直線在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過直線，如果直線不在平面內(nèi)，記作：l，包括直線與平面相交及直線與平面平行兩種情形