第第3 3講講運(yùn)動(dòng)圖象運(yùn)動(dòng)圖象追及與相遇問題追及與相遇問題一、直線運(yùn)動(dòng)的圖象1.x-t圖象(1)物理意義:反映了做直線運(yùn)動(dòng)物體的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律。(2)斜率的意義:圖線上某點(diǎn)切線斜率的大小表示物體在該點(diǎn)速度的大小,斜率正負(fù)表示物體速度的方向。2.v-t圖象(1)物理意義:反映了做直線運(yùn)動(dòng)物體的速度隨時(shí)間變化的規(guī)律。(2)斜率的意義:圖線上某點(diǎn)切線斜率的大小表示物體在該點(diǎn)加速度的大小,斜率正負(fù)表示物體加速度的方向。(3)“面積”的意義圖線與時(shí)間軸圍成的面積表示相應(yīng)時(shí)間內(nèi)的位移的大小。若面積在時(shí)間軸的上方,表示位移方向?yàn)檎?若面積在時(shí)間軸的下方,表示位移方向?yàn)樨?fù)。二、追及相遇問題1.追及問題的兩類情況(1)若后者能追上前者,追上時(shí),兩者處在同一位置,且后者速度一定大于前者速度。(2)若后者追不上前者,則當(dāng)后者速度與前者速度相等時(shí),兩者相距最近。2.相遇問題的兩類情況(1)同向運(yùn)動(dòng)的兩物體追及并相遇:兩物體位移大小之差等于開始時(shí)兩物體之間的距離。(2)相向運(yùn)動(dòng)的物體相遇:各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時(shí)兩物體間的距離。【提示】1 1.對運(yùn)動(dòng)圖象的三點(diǎn)認(rèn)識(shí):(1)勻速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖象的斜率為零,表示其加速度等于零。(2)無論是x-t圖象還是v-t圖象都只能描述直線運(yùn)動(dòng)。(3)x-t圖象和v-t圖象不表示物體運(yùn)動(dòng)的軌跡。2 2.解決追及、相遇問題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):(1)在解決追及、相遇類問題時(shí),要緊抓“一圖三式”,即運(yùn)動(dòng)過程示意圖、時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式,最后還要注意對結(jié)果的討論分析。(2)分析追及、相遇類問題時(shí),要注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼,充分挖掘題目中的隱含條件, 如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等,往往對應(yīng)一個(gè)臨界狀態(tài),滿足相應(yīng)的臨界條件。 考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一考點(diǎn)一運(yùn)動(dòng)圖象的理解及應(yīng)用應(yīng)用運(yùn)動(dòng)圖象解題“六看”考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一典例1(2014新課標(biāo)全國卷)甲、乙兩汽車在一平直公路上同向行駛。在t=0到t=t1的時(shí)間內(nèi),它們的v-t圖象如圖所示。在這段時(shí)間內(nèi) ()A.汽車甲的平均速度比乙的大C.甲乙兩汽車的位移相同D.汽車甲的加速度大小逐漸減小,汽車乙的加速度大小逐漸增大【解題思路】平均速度等于位移除以時(shí)間,顯然甲圖線與坐標(biāo)軸圍成的面積大,位移大,則平均速度也大,A項(xiàng)正確,C項(xiàng)錯(cuò)誤;根據(jù)初、末速度平均值的方法求平均速度只適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng),B項(xiàng)錯(cuò)誤;甲、乙兩條圖象的斜率絕對值均不斷減小,可見它們的加速度均減小,D項(xiàng)錯(cuò)誤。【參考答案】A考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一【誤區(qū)警示】解運(yùn)動(dòng)圖象問題的三個(gè)易錯(cuò)點(diǎn):(1)易看錯(cuò)坐標(biāo)系,如誤將x-t圖象當(dāng)作v-t圖象進(jìn)行分析。(2)對坐標(biāo)系中的坐標(biāo)、單位、斜率、交點(diǎn)、截距的物理意義理解不清而導(dǎo)致錯(cuò)誤。(3)對兩圖象之間的轉(zhuǎn)化過程不清楚,不能將圖象和實(shí)際運(yùn)動(dòng)結(jié)合起來而導(dǎo)致錯(cuò)誤。 考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一如圖(a)、(b)所示的位移(x)時(shí)間(t)圖象和速度(v)時(shí)間(t)圖象中給出四條圖線,甲、乙、丙、丁代表四輛車由同一地點(diǎn)向同一方向運(yùn)動(dòng)的情況,則下列說法正確的是 (C)A.甲車做直線運(yùn)動(dòng),乙車做曲線運(yùn)動(dòng)B.0t1時(shí)間內(nèi),甲車通過的路程大于乙車通過的路程C.0t2時(shí)間內(nèi),丙、丁兩車在t2時(shí)刻相距最遠(yuǎn)D.0t2時(shí)間內(nèi),丙、丁兩車的平均速度相等考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一【解析】x-t圖象表示的是做直線運(yùn)動(dòng)的物體的位移隨時(shí)間的變化情況,而不是物體運(yùn)動(dòng)的軌跡。由x-t圖象可知,甲、乙兩車在0t1時(shí)間內(nèi)均做單向直線運(yùn)動(dòng),在這段時(shí)間內(nèi)兩車通過的路程相等,A、B項(xiàng)錯(cuò)誤;在v-t圖象中,t2時(shí)刻丙、丁兩車速度相同,故0t2時(shí)間內(nèi),t2時(shí)刻兩車相距最遠(yuǎn),C項(xiàng)正確;由圖線可知,0t2時(shí)間內(nèi)丙車的位移小于丁車的位移,故丙車的平均速度小于丁車的平均速度,D項(xiàng)錯(cuò)誤。考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一考點(diǎn)二圖象間的轉(zhuǎn)化問題描述物體的運(yùn)動(dòng)圖象之間可以相互轉(zhuǎn)化,如位移時(shí)間圖象轉(zhuǎn)化為速度時(shí)間圖象,加速度時(shí)間圖象轉(zhuǎn)化為速度時(shí)間圖象等?？键c(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一典例2汽車由靜止開始在平直的公路上行駛,060s內(nèi)汽車的加速度隨時(shí)間變化的圖象如圖所示。則該汽車在060s內(nèi)的速度時(shí)間圖象(即v-t圖象)正確的是 ()考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一【解題思路】在a-t圖象中,前10s加速度為2m/s2,表示物體在做勻加速直線運(yùn)動(dòng);中間30s加速度為零,說明物體在做勻速直線運(yùn)動(dòng);最后20s加速度為-1m/s2,說明物體在做勻減速直線運(yùn)動(dòng)。A、D圖象中,中間時(shí)間段速度為零,不符合題意;C圖象中,最后時(shí)間段速度為負(fù)值,不符合題意;B項(xiàng)正確?！緟⒖即鸢浮緽考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一【名師歸納】圖象轉(zhuǎn)化時(shí)要注意的三點(diǎn):(1)合理劃分運(yùn)動(dòng)階段,分階段進(jìn)行圖象轉(zhuǎn)化。(2)注意相鄰運(yùn)動(dòng)階段的銜接,尤其是運(yùn)動(dòng)參量的銜接。(3)注意圖象轉(zhuǎn)化前后核心物理量間的定量關(guān)系。 考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一如圖所示為一物體做直線運(yùn)動(dòng)的x-t圖象,則此物體運(yùn)動(dòng)的v-t圖象為 (D)考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一【解析】由x-t圖象可知,01s內(nèi),物體做正向的勻速直線運(yùn)動(dòng),13s內(nèi),物體處于靜止?fàn)顟B(tài),34s內(nèi),物體做反向的勻速直線運(yùn)動(dòng),45s內(nèi),物體做正向的勻速直線運(yùn)動(dòng),綜上所述,D項(xiàng)正確。考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一考點(diǎn)三追及與相遇問題1.討論追及、相遇的問題,其實(shí)質(zhì)就是分析討論兩物體在相同時(shí)間內(nèi)能否到達(dá)相同的空間位置問題?？键c(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一2.常見的情況物體A追物體B,開始時(shí),兩個(gè)物體相距x0。(1)A追上B時(shí),必有xA-xB=x0,且vAvB。(2)要使兩物體恰好不相撞,必有xA-xB=x0,且vAvB。3.解題思路和方法分析兩物體運(yùn)動(dòng)過程畫運(yùn)動(dòng)示意圖找兩物體位移關(guān)系列位移方程 考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一典例3甲車以10m/s的速度在平直的公路上勻速行駛,乙車以4m/s的速度與甲車平行同向做勻速直線運(yùn)動(dòng),甲車經(jīng)過乙車旁邊開始以0.5m/s2的加速度剎車,從甲車剎車開始計(jì)時(shí),求:(1)乙車在追上甲車前,兩車相距的最大距離;(2)乙車追上甲車所用的時(shí)間?！窘忸}思路】(1)當(dāng)甲車速度減至等于乙車速度時(shí)兩車的距離最大,設(shè)該減速過程經(jīng)過的時(shí)間為t,則v乙=v甲-at解得t=12s考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一【參考答案】 (1)36m(2)25s考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一【名師歸納】追及、相遇問題的三點(diǎn)解題技巧:(1)緊抓“一圖三式”,即:過程示意圖,時(shí)間關(guān)系式、速度關(guān)系式和位移關(guān)系式。(2)審題應(yīng)抓住題目中的關(guān)鍵字眼,充分挖掘題目中的隱含條件,如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等。(3)若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動(dòng),一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運(yùn)動(dòng),另外還要注意最后對解的討論分析。 考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一一輛汽車在十字路口等待綠燈,當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以a=3m/s2的加速度開始行駛,恰在這時(shí)一輛自行車以v0=6m/s的速度勻速駛來,從后邊超過汽車,試問:(1)汽車從路口開動(dòng)后,在追上自行車之前經(jīng)過多長時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)?最遠(yuǎn)距離是多大?(2)當(dāng)汽車與自行車再次相遇時(shí)汽車的速度是多大?考點(diǎn)二考點(diǎn)三考點(diǎn)一巧解追及與相遇問題的四種方法1.臨界法尋找問題中隱含的臨界條件。例如,速度小者加速追趕速度大者,在兩物體速度相等時(shí)有最大距離;速度大者減速追趕速度小者,若追不上則在兩物體速度相等時(shí)有最小距離。2.函數(shù)法設(shè)在t時(shí)刻兩物體相遇,然后根據(jù)位移關(guān)系列出關(guān)于t的方程f(t)=0,若方程f(t)=0無正實(shí)數(shù)解,則說明這兩個(gè)物體不可能相遇;若方程f(t)=0存在正實(shí)數(shù)解,說明這兩個(gè)物體能相遇。3.圖象法(1)若用位移圖象求解,分別作出兩個(gè)物體的位移圖象,如果兩個(gè)物體的位移圖象相交,則說明兩物體相遇。(2)若用速度圖象求解,則注意比較速度圖線與時(shí)間軸包圍的面積。4.相對運(yùn)動(dòng)法由于追及相遇問題涉及兩個(gè)都在運(yùn)動(dòng)的物體,若選其中一個(gè)物體為參照物,有時(shí)可以使得問題變得簡單。典例在水平軌道上兩列火車A和B相距x,A車在后面做初速度為v0、加速度大小為2a的勻減速直線運(yùn)動(dòng),而B車同時(shí)做初速度為零、加速度為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng),兩車運(yùn)動(dòng)方向相同。兩車可視為質(zhì)點(diǎn),要使兩車不相撞,求A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件。方法三函數(shù)法利用判別式求解,由題意可知xA=x+xB整理得3at2-2v0t+2x=0這是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的一元二次方程,當(dāng)根的判別式=(-2v0)2-43a2x0時(shí),t無實(shí)數(shù)解,即兩車不相撞,所以要使兩車不相撞,A車的初速度v0應(yīng)滿足的條件是【名師點(diǎn)睛】運(yùn)用圖象法解題的優(yōu)點(diǎn):(1)用圖象解題可使解題過程簡化,思路更清晰,而且比解析法更巧妙、更靈活。在有些情況下運(yùn)用解析法可能無能為力,但使用圖象法則會(huì)使人豁然開朗。(2)利用圖象描述物理過程更直觀。物理過程可以用文字表述,也可以用數(shù)學(xué)式表達(dá),還可以用物理圖象描述。如果能夠用物理圖象描述,一般來說會(huì)更直觀且容易理解。 為了打擊販毒,我邊防民警在各交通要道上布下天羅地網(wǎng),某日,一輛運(yùn)毒汽車高速駛近某檢查站,警方示意停車,毒販見勢不妙,高速闖卡。由于車速已很高,發(fā)動(dòng)機(jī)早已工作在最大功率狀態(tài),此車闖卡后在平直公路上的運(yùn)動(dòng)可近似看作勻速直線運(yùn)動(dòng),它的位移可用式子x1=40t(m)來描述。運(yùn)毒車過卡的同時(shí),原來停在路邊的大功率警車立即啟動(dòng)追趕。警車從啟動(dòng)到追上毒販的運(yùn)動(dòng)可看作勻加速直線運(yùn)動(dòng),其位移可用式子x2=2t2(m)來描述,請回答:(1)警車在離檢查站的多少米處追上毒販?(2)在追趕過程中哪一時(shí)刻警車與毒販子的距離最遠(yuǎn)?相距多遠(yuǎn)?解:(1)由題意可知毒販以v1=40m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)而警車以初速v0=0,加速度為a=4m/s2做勻加速直線運(yùn)動(dòng)當(dāng)警車追上毒販時(shí),兩車相距檢查點(diǎn)的位移相同,故有x1=x2即警車在離檢查站的800m處追上毒販(2)由于開始時(shí),毒販車速大于警車車速,故兩車之間有相對運(yùn)動(dòng),兩車的距離加大當(dāng)兩車的速度相等時(shí),此時(shí)兩車無相對運(yùn)動(dòng),此時(shí)兩車的距離最大設(shè)此時(shí)警車車速為v2,毒販和警車距離檢查點(diǎn)的位移分別為x1和x2,x為兩車間的最大距離所以在追趕過程中,10s后警車與毒販子的距離最遠(yuǎn),相距200m1.(2015廣東高考)甲、乙兩人同時(shí)同地出發(fā)騎自行車做直線運(yùn)動(dòng),前1小時(shí)內(nèi)的位移時(shí)間圖象如圖所示,下列表述正確的是 (B)A.0.20.5小時(shí)內(nèi),甲的加速度比乙的大B.0.20.5小時(shí)內(nèi),甲的速度比乙的大C.0.60.8小時(shí)內(nèi),甲的位移比乙的小D.0.8小時(shí)內(nèi),甲、乙騎行的路程相等【解析】由圖象可知,0.20.5h內(nèi)甲、乙均做勻速運(yùn)動(dòng),加速度為零,A項(xiàng)錯(cuò)誤;位移時(shí)間圖象的斜率為速度,由圖可知,0.20.5h內(nèi)甲的速度比乙的速度大,B項(xiàng)正確;0.60.8h內(nèi),甲的位移大小為10km-5km=5km,而乙的位移大小為8km-5km=3km,C項(xiàng)錯(cuò)誤;0.8h內(nèi),甲的路程為10km+5km=15km,而乙的路程為8km+3km=11km,D項(xiàng)錯(cuò)誤。2.(2015龍巖質(zhì)檢)A和B兩物體在同一直線上運(yùn)動(dòng)的v-t圖線如圖所示。已知在第3s末兩個(gè)物體在途中相遇,則下列說法正確的是 (B)A.兩物體從同一地點(diǎn)出發(fā)B.出發(fā)時(shí)B在A前3m處C.3s末兩個(gè)物體相遇后,兩物體可能再相遇D.運(yùn)動(dòng)過程中B的加速度大于A的加速度【解析】由v-t圖線與橫軸所圍的“面積”表示位移可知,在第3s末物體A的位移比物體B的位移大3m,所以出發(fā)時(shí)B在A前3m處,兩物體不是從同一地點(diǎn)出發(fā),B項(xiàng)正確,A項(xiàng)錯(cuò)誤;3s末兩個(gè)物體相遇后,A的速度一直比B大,兩物體不可能再相遇,C項(xiàng)錯(cuò)誤;v-t圖線的斜率表示加速度,運(yùn)動(dòng)過程中A的加速度大于B的加速度,D項(xiàng)錯(cuò)誤。3.(2015銀川模擬)如圖所示,是從同一地點(diǎn)同時(shí)開始沿同一直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)物體、的v-t圖象。在0t2時(shí)間內(nèi),下列說法中正確的是 (B)A.物體所受的合外力不斷增大,物體所受的合外力不斷減小B.在第一次相遇之前,t1時(shí)刻兩物體相距最遠(yuǎn)C.t2時(shí)刻兩物體相遇D.、兩個(gè)物體的平均速度大小都是【解析】物體的加速度在v-t圖象中是每點(diǎn)對應(yīng)切線的斜率,可知物體的加速度一直在減小,合外力不斷減小,物體加速度不變,所受合外力不變,A項(xiàng)錯(cuò)誤;v-t圖象中圖線與橫軸所圍面積表示位移,則在第一次相遇之前,t1時(shí)刻兩物體相距最遠(yuǎn),t2時(shí)刻兩物體不相遇,B項(xiàng)正確,C項(xiàng)錯(cuò)誤;物體的平均速度4.一汽車沿直線運(yùn)動(dòng)的速度-時(shí)間(v-t)圖象如圖所示,則下列關(guān)于該汽車運(yùn)動(dòng)情況的說法中正確的是 (D)A.第4s末,汽車的運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化B.610s內(nèi),汽車一直處于靜止?fàn)顟B(tài)C.汽車在06s內(nèi)的位移大小為24mD.第12s末,汽車的加速度為-1m/s2【解析】由v-t圖象可以看出,4s末汽車的速度由6m/s開始減小,但汽車的運(yùn)動(dòng)方向并沒有發(fā)生變化,A項(xiàng)錯(cuò)誤;610s內(nèi),汽車的速度為4m/s,B項(xiàng)錯(cuò)誤;圖線與橫軸所圍面積即為位移,汽車在06s內(nèi)的位移為22m,C項(xiàng)錯(cuò)誤;汽車在1014s內(nèi)做勻減速直線運(yùn)動(dòng),加速度a=-1m/s2,D項(xiàng)正確。5.(2016湖南長郡中學(xué)月考)(多選)a、b兩車在平直公路上沿同一方向行駛,兩車運(yùn)動(dòng)的v-t圖象如圖所示,在t=0時(shí)刻,b車在a車前方s0處,在0t1時(shí)間內(nèi),a車的位移為s,則 (AC)