等腰三角形的性質(zhì)與判定等腰三角形的性質(zhì)與判定 1.性質(zhì)性質(zhì)(1)：等腰三角形的兩個底角相等。：等腰三角形的兩個底角相等。(2)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合。底邊上的高互相重合。2.判定判定定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。形。等腰三角形: 1 , 三個角都相等的三角形是等邊三角形。 2 , 有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半 等腰三角形性質(zhì)與判定的應(yīng)用（1）計算角的度數(shù)利用等腰三角形的性質(zhì)，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及推論計算角的度數(shù)，是等腰三角形性質(zhì)的重要應(yīng)用。已知角的度數(shù)，求其它角的度數(shù)已知條件中有較多的等腰三角形（此時往往設(shè)法用未知數(shù)表示圖中的角，從中得到含這些未知數(shù)的方程或方程組）（2）證明線段或角相等 以等腰三角形為條件時的常用輔助線: 如圖：若AB=AC 作ADBC于D，必有結(jié)論:1=2，BD=DC 若BD=DC，連結(jié)AD，必有結(jié)論：1=2，ADBC 作AD平分BAC必有結(jié)論：ADBC，BD=DC 作輔助線時，一定要作滿足其中一個性質(zhì)的輔助線，然后證出其它兩個性質(zhì)，不能這樣作：作ADBC，使1=2.ABCD1 2 例1 已知一腰和底邊上的高，求作等腰三角形。分析分析：我們首先在草稿上畫好一個示意圖，然后對照此圖寫出已知和求作并構(gòu)思整個作圖過程已知：線段a、h求作：ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQMN，垂足為D2、在DM上截取DA=h3、以點A為圓心，以a為半徑作弧，交PQ于點B、C4、連結(jié)AB、AC則ABC為所求的三角形。ABCDahABCDMNhaPQ例2.如圖，已知在ABC中，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，BD與CE相交于M點。求證：BM=CM。 證明：AB=AC ABC=ACB（等邊對等角） BDAC于D，CEAB于E BEC=CDB=90 1+ACB=90，2+ABC=90（直角三角形兩個銳角互余） 1=2（等角的余角相等） BM=CM（等角對等邊）ABCD12EM說明：本題易習(xí)慣性地用全等來證明，雖然也可以證明，但過程較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)多加強等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的應(yīng)用。例3.已知：如圖，A=90，B=15，BD=DC.請說明AC=BD的理由. 解BD=DC，B=15 DCB=B=15（等角對等邊） ADC=B+DCB=30 （三角形的外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和） A=90 AC= DC AC= BD2121ABCD例4.已知：如圖，C=90，BC=AC，D、E分別在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中點.求證：MDE是等腰三角形. 分析分析：要證MDE是等腰三角形，只需證MD=ME。連結(jié)CM，可利用BMD CME得到結(jié)果。證明：連結(jié)CMC=90，BC=ACA=B=45M是AB的中點CM平分BCA（等腰三角形頂角的平分線和底邊上的中線重合）MCE=MCB=BCA=45B=MCE=MCBCM=MB（等角對等邊）在BDE和CEM中BDM CEM（SAS）MD=MEMDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例5.如圖，在等邊ABC中,AF=BD=CE,請說明DEF也是等邊三角形的理由. 解：ABC是等邊三角形 AC=BC，A=C CE=BD BCBC=ACCE CD=AE 在AEF和CDE中 AEF CDE（SAS） EF=DE 同理可證EF=DF EF=DE=DF DEF是等邊三角形CEAFCACDAEABCDEF說明：證明等邊三角形有三種思路：證明三邊相等證明三角相等證明三角形是有一個角為60的等腰三角形。具體問題中可利用不同的方式進(jìn)行求解。例6 .如圖2-8-1,中，AB=AC，D為AB上一點，E為AC延長線上一點，且BD=CE，DE交BC于G請說明DG=EG的理由. 思路思路 因為GDB和GEC不全等，所以考慮在GDB內(nèi)作出一個與GEC全等的三角形。說明說明 本題易明顯得出DG和EG所在的DBG和ECG不全等，故要構(gòu)造三角形的全等，本題的另一種證法是過E作EFBD，交BC的延長線于F，證明DBG EFG，同學(xué)們不妨試一試。例7. 如圖2-8-6，在ABC中，AB=AC=CB，AE=CD， AD、BE相交于P，BQAD于Q. 請說明BP=2PQ的理由. 思路思路 在RtBPQ中，本題的結(jié)論等價于證明PBQ=30 證明證明 AB=CA，BAE=ACD=60，AE=CD，BAE ACDABE=CADBPQ=ABE+BAP=CAD+BAP=60又BQADPBQ=30BP=2PQ說明說明 本題把證明線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為證明角的度數(shù)，這種轉(zhuǎn)換問題的方法值得同學(xué)們細(xì)心體會。例例8：如圖、在如圖、在ABC中，中，D，E在在直線直線BC上，且上，且AB=BC=AC=CE=BD，求求EAC的度數(shù)。的度數(shù)。探索：探索：如圖、在如圖、在ABC中，中，D，E在直線在直線BC上，且上，且AB=AC=CE=BD，DAE=100，求，求EAC的度數(shù)。的度數(shù)。DECBADECBA 1. 下列結(jié)論敘述正確的個數(shù)為（下列結(jié)論敘述正確的個數(shù)為（ ） （ 1）等腰三角形高、中）等腰三角形高、中 線、角平分線重合；線、角平分線重合； （ 2）等腰三角形兩底角）等腰三角形兩底角 的外角相等；的外角相等； （ 3）等腰三角形有且只有一條對稱軸；）等腰三角形有且只有一條對稱軸； （ 4）有一個角等于）有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角的等腰三角形是等邊三角形。形。 （A）0個個 （B）1個個 （C）2個個 （D）3個個2.等腰三角形頂角為36，底角為_。3.等腰三角形頂角和一個底角之和為100，則頂角度數(shù)為_。4.等腰三角形兩個角之比為4:1，則頂角為_，底角為_。5.等腰三角形兩邊長為4、6，這個三角形周長為_。6.已知ABC中AB=AC，AB垂直平分線交AC于E，交AB于D，連結(jié)BE，若A=50，EBC=_。7.ABC中，AB=AC，ADBC于D，若ABC的周長為50，ABD的周長為40，則AD=_。8.若等腰三角形頂角為n度，則腰上的高與底邊的夾角為_。9.9.如圖，線段如圖，線段ODOD的一個端點的一個端點O O在直線在直線a a上，以上，以O(shè)DOD為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線線a a上，這樣的等腰三角形能畫多少個上，這樣的等腰三角形能畫多少個? ?150a9.已知等腰三角形一腰上的中線將三角已知等腰三角形一腰上的中線將三角形周長分成：兩部分，已知三角形形周長分成：兩部分，已知三角形底邊長為，求腰長？底邊長為，求腰長？解：如圖，令解：如圖，令CDx，則，則ADx，AB2x底邊底邊BC5BCCD5x ABAD3x(5+x)：3x2:1或或3x：(5+x)=2:1xx2x510、如圖，D是正ABC邊AC上的中點，E是BC延長線上一點，且CE=CD，試說明BD=DE的理由.AB C ED1 12 2解: ABC是正三角形 ABC= ACB=600 （ ） D是AC邊上的中點 1= ABC=300（ ）12CE=CD2= E（ ） 2+ E= ACB=600（ ） E=300， 1= EBD=DE（ ）3、如圖，在RtABC中，ACB=900， CAB的平分線AD交BC于D，AB邊上的高線CE交AB于E，交AD于F，求證：CD=CFBACED123F分析：CD=CF1=21=B+BAD2=3+DAC3=B1=90BAD=90CADACB =90，CE是AC邊上高1 1 在直角三角形中，兩個銳角在直角三角形中，兩個銳角_。2 2、直角三角形、直角三角形_的平方和等于的平方和等于_的的平方。如果用字母平方。如果用字母a,ba,b和和c c分別表示直角三角形的兩條分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊，那么直角邊和斜邊，那么_+ _=_+ _=_。3 3、如果三角形中、如果三角形中_兩邊的平方和等于兩邊的平方和等于_一邊一邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，的平方，那么這個三角形是直角三角形，_所對所對的角是直角。的角是直角。4 4、在直角三角形中，如果一個銳角等于、在直角三角形中，如果一個銳角等于 _度，度，那么它所對的直角邊等于那么它所對的直角邊等于_的一半。的一半。5 5、在直角三角形中，如果一條直角邊等于、在直角三角形中，如果一條直角邊等于_,_,那么這條直角邊所對的角等于那么這條直角邊所對的角等于30300 0。斜邊的一半斜邊的一半ABCABC溫故知新溫故知新:ACBD30o3 3、如圖，、如圖，EAABEAAB，BCABBCAB，AB=AE=2BCAB=AE=2BC，D D為為ABAB的中點的中點, ,有以下判斷有以下判斷,(1)DE=AC (2)DEAC,(1)DE=AC (2)DEAC,(3) CAB=30(3) CAB=30o o (4) EAF=ADE, (4) EAF=ADE,期中正確期中正確結(jié)論的個數(shù)是結(jié)論的個數(shù)是:( ):( )A A、 一個一個 B B、兩個、兩個 C C、三個、三個 D D、四個、四個4 4、如圖，在、如圖，在ABCABC中，中，ACB=90ACB=90o o ，CDCD是高線，是高線，E E是是ABAB上一點，且上一點，且AE=ACAE=AC，ACEACE：ACD=3ACD=3：1 1，則與則與DCEDCE相等的角是（相等的角是（ ）A A 、A BA B、 B C B C 、 BCE DBCE D、以上都錯、以上都錯EFCBDA第三題第三題BACDE第四題第四題CDA5 5、如圖，一個長為、如圖，一個長為2525分米的梯子，斜立在一豎直的分米的梯子，斜立在一豎直的墻上，這時梯足距墻底端墻上，這時梯足距墻底端7 7分米，如果梯子的頂端沿分米，如果梯子的頂端沿墻下滑墻下滑4 4分米。那么梯足將滑（分米。那么梯足將滑（ ）（A A）1515分米（分米（B B）9 9分米（分米（C C）8 8分米（分米（D D）5 5分米分米 應(yīng)用與延伸應(yīng)用與延伸:東東北北FBA600D分析：分析：AB=ADAB=AD點點A A在線段在線段BDBD的中垂線上的中垂線上同理點也在同理點也在BDBD的中垂線上的中垂線上ACBDACBD且平分且平分BD BD BD=6 BO=3BD=6 BO=3AB=5AB=5由勾股定理得由勾股定理得 AO=4AO=4AC=7 OC=3AC=7 OC=3 BOCBOC等腰直角三角形等腰直角三角形 BCO=45BCO=45同理同理DCO=45DCO=45BCD=90BCD=90ABDCOABCDABCDEDBACEGF圖（圖（1）ABCDFGE圖（圖（2）