2.1 圓的標準方程 我們在前面學過，在平面直角坐標系中，兩我們在前面學過，在平面直角坐標系中，兩點確定一條直線，一點和傾斜角也能確定一條直點確定一條直線，一點和傾斜角也能確定一條直線線在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？AMrxOy 當圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定當圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了了因此一個圓最基本要素是因此一個圓最基本要素是圓心和半徑圓心和半徑xOyA(a,b)Mr(x, y) 如圖，在直角坐標系中，圓心（點）如圖，在直角坐標系中，圓心（點）A的位置用的位置用坐標坐標 (a,b) 表示，半徑表示，半徑r的大小等于圓上任意點的大小等于圓上任意點M(x, y)與圓心與圓心A (a,b) 的距離的距離 符合上述條件的圓的集合是什么？你能用描述法符合上述條件的圓的集合是什么？你能用描述法來表示這個集合嗎？來表示這個集合嗎？rMAMp|符合上述條件的圓的集合：符合上述條件的圓的集合：xOyA(a,b)Mr(x, y) 圓上任意點圓上任意點M(x, y)與圓心與圓心A (a,b)之間的距離能之間的距離能用什么公式表示？用什么公式表示？rMAMp|rbyax22)()(222)()(rbyax.21221221yyxxPP根據(jù)兩點間距離公式：根據(jù)兩點間距離公式：則點則點M、A間的距離為：間的距離為：.22byaxMA即：即： 是否在圓上的點都適合這個方程？是否適合這是否在圓上的點都適合這個方程？是否適合這個方程的坐標的點都在圓上？個方程的坐標的點都在圓上？222)()(rbyax 點點M(x, y)在圓上，由前面討論可知，點在圓上，由前面討論可知，點M的坐的坐標適合方程；反之，若點標適合方程；反之，若點M(x, y)的坐標適合方程，的坐標適合方程，這就說明點這就說明點 M與圓心的距離是與圓心的距離是 r ，即點，即點M在圓心為在圓心為A (a, b)，半徑為，半徑為r的圓上的圓上 把這個方程稱為圓心為把這個方程稱為圓心為A(a, b)，半徑長為，半徑長為r 的圓的圓的方程，把它叫做的方程，把它叫做圓的標準方程圓的標準方程（standard equation of circle）.222)()(rbyax 因為圓心是原點因為圓心是原點O(0, 0)，將，將x0，y0和半徑和半徑 r 帶入圓的標準方程：帶入圓的標準方程： 圓心在坐標原點，半徑長為圓心在坐標原點，半徑長為r 的圓的方程是什么？的圓的方程是什么？ 得得：222)0()0(ryx 整理得整理得：222ryx 例1、寫出下列各圓的方程（1）圓心在原點，半徑是3（2）圓心為（2，-3），半徑是5（3）經(jīng)過原點，圓心為C(2,0)例2寫出下列各圓的圓心及半徑（1）（2）25) 3() 2(22yx4)2(22yx 例例3 已知兩點已知兩點 ， 求以求以 直徑的圓直徑的圓的方程，并判斷點的方程，并判斷點 ， 是否在是否在這個圓上這個圓上)36()9 , 4(，和BA)9 , 6(1M)3 , 5()3 , 3(32MM、AB 怎樣判斷點怎樣判斷點 在圓在圓 內(nèi)呢？內(nèi)呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 從上題知道，判斷一個點在不在某個圓上，只需將這個從上題知道，判斷一個點在不在某個圓上，只需將這個點的坐標帶入這個圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在點的坐標帶入這個圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個圓上，反之如果不成立則不在這個圓上這個圓上，反之如果不成立則不在這個圓上 怎樣判斷點怎樣判斷點 在圓在圓 內(nèi)呢？內(nèi)呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 可以看到：點在圓外可以看到：點在圓外點到圓心的距離大于半徑點到圓心的距離大于半徑 r ； 點在圓內(nèi)點在圓內(nèi)點到圓心的距離小于半徑點到圓心的距離小于半徑 r 例例2 2 的三個頂點的坐標分別的三個頂點的坐標分別A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程ABC 分析分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓形有唯一的外接圓 解解：設(shè)所求圓的方程是：設(shè)所求圓的方程是 （1）222)()(rbyax 因為因為A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圓上，所以它們的坐都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（標都滿足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba.25, 3, 22rba所以，所以， 的外接圓的方程的外接圓的方程 ABC25) 3()2(22yx解此方程組，得：解此方程組，得： 分析分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓形有唯一的外接圓 解解： 例例2 2 的三個頂點的坐標分別的三個頂點的坐標分別A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程ABC 例例3 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過點的圓經(jīng)過點A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心，且圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標準方程的圓的標準方程 分析分析：已知道確定一個圓只需要確定圓心的位置與半徑大：已知道確定一個圓只需要確定圓心的位置與半徑大小圓心為小圓心為C的圓經(jīng)過點的圓經(jīng)過點A(1, 1)和和B(2, 2)，由于圓心，由于圓心C與與A, B兩點的距離相等，所以圓心兩點的距離相等，所以圓心C在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線 上又上又圓心圓心C在直線在直線l 上，因此圓心上，因此圓心C是直線是直線l與直線與直線 的交點，半徑的交點，半徑長等于長等于|CA|或或|CB|ll 解解：因為因為A(1, 1)和和B(2, 2)，所以線段，所以線段AB的中點的中點D的坐標的坐標),21,23(直線直線AB的斜率的斜率:31212ABk因此線段因此線段AB的垂直平分線的垂直平分線 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx圓心圓心C的坐標是方程組的坐標是方程組01033yxyx的解的解 例例3 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過點的圓經(jīng)過點A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心，且圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標準方程的圓的標準方程 解解：所以圓心所以圓心C的坐標是的坐標是)2, 3(圓心為圓心為C的圓的半徑長的圓的半徑長5)21 ()31 (|22 ACr所以，圓心為所以，圓心為C的圓的標準方程是的圓的標準方程是25)2() 3(22yx解此方程組，得解此方程組，得. 2, 3yx 例例3 已知圓心為已知圓心為C的圓經(jīng)過點的圓經(jīng)過點A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心，且圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的標準方程的圓的標準方程 解解：圓的基本要素圓的基本要素圓的標準方程圓的標準方程圓心在原點的圓心在原點的圓的標準方程圓的標準方程判斷點與圓判斷點與圓的位置關(guān)系的位置關(guān)系