1.過平面a外的一條直線，且與平面a垂直的平面有_個一個或無數(shù)2.已知兩個平面垂直，有下列命題：一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的任意一條直線一個平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線一個平面內(nèi)的任意一條直線必垂直于另一個平面；過一個平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個平面其中正確命題的序號是_.3.如果平面a平面b，ab=l，點(diǎn)Pa，點(diǎn)Ql，那么“PQl”是“PQb”的_條件4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1 ，CD的中點(diǎn)，則平面AED與平面_垂直充要A1D1F 5.設(shè)a，b表示兩個不同平面，m，n是平面a，b外的兩條不同直線. 給出四個論斷：mn；ab；nb；ma.以其中三個作為條件，余下一個作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個命題：_或.用判定定理證明面用判定定理證明面面垂直面垂直 【例1】如 圖 ， 在 正 三 棱 柱 A B C A1B1C1中，點(diǎn)D，F(xiàn)分別是BC，BB1的中點(diǎn)(1)求證：平面AC1D平面BCC1B1；(2)若BB1BC，求證：平面FAC平面ADC1. 11111111111111111111.2.ABCABCDBCADBCCCABCADABCC CADADBCC BADAC DAC DBCC BADB BCCFCB BCCADFCB BBCB BCCFDB BBCFCDC在正三棱柱中，因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以平面又平面，所以平面平面因?yàn)槠矫?，平面，所以又因?yàn)?，所以四邊形是正方形?， 分別為，的中點(diǎn)，所以【證明】而111.ADC DDFCADCFCAFCFACADC ，所以平面又平面，所以平面平面 要證明面面垂直，只需在一個平面內(nèi)找一條直線與另一個平面垂直即可【變式練習(xí)1】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD平面ABCD，PDDC，E是PC的中點(diǎn)，作EFPB交PB于點(diǎn)F.求證：平面PBC平面DEF. PDABCDCDABCDPDDCPDDCPDCDEPCDEPCPDABCDPDBCABCDBCDCBCPDCDEPDCBCDEDEPCPCBCCDEPBCDEDEFPBC因?yàn)閭?cè)棱平面，且平面，所以，因?yàn)?，可知是等腰直角三角形，而是斜邊的中線，所以，同樣由平面，得，因?yàn)榈酌媸钦叫?，有，所以平面，而平面，所以，又由前面可知?，所以平面，而平面，所以平面【證明】平面.DEF面面垂直的性質(zhì)定面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用理的應(yīng)用 【例2】如下圖，已知平面、滿足，l，求證：l.【證明】方法1：設(shè)AB，BC，如圖所示在內(nèi)任取一點(diǎn)P，過P作直線m，n分別垂直于直線AB，BC.因?yàn)?，所以m，n.又l，所以l且l，所以ml，nl.而mnP，所以l. 2./ /./ / ./ / ./ /.ABBCabaABbBCabababaalalaallIII方法 ：設(shè)，如圖所示在 、 內(nèi)分別作直線 、 ，使得，由面面垂直的性質(zhì)定理得，所以，且，由線面平行的判定定理得又因?yàn)椋?，故由線面平行的性質(zhì)定理得綜上，有，所以 本題題目文字少，但有一定難度只有真正對面面垂直的性質(zhì)定理熟練掌握后才能得心應(yīng)手面面垂直的性質(zhì)定理的核心是“垂直于交線，則垂直于平面”，所以已知面面垂直，首先應(yīng)找交線，看是否在某個平面內(nèi)存在直線垂直于交線，若無，肯定要向交線作垂線在不同平面內(nèi)向交線作垂線都能解決問題，但難度顯然不同，做題前應(yīng)認(rèn)真分析本題的方法1較簡單，但方法2將平行和垂直的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)考查得淋漓盡致，不失為一個訓(xùn)練的好題 【變式練習(xí)2】如圖，在四面體ABCD中，平面ABC平面BCD，ABAC，DCBC.求證：平面ABD平面ACD.ABCBCDDCBCABCBCDBCDCBCDDCABCABABCDCABABACACDCCABACDABABDABDACD因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面又平面，所以因?yàn)椋?，故根據(jù)線面垂直的判定定理得平面而平面，所以平面平面【證明】與垂直有關(guān)的探與垂直有關(guān)的探索性問題索性問題 【例3】如圖所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中 ， D B B C ，DBAC，點(diǎn)M是棱BB1上一點(diǎn)(1)求證：MDAC；(2)試確定點(diǎn)M的位置，使得平面DMC1平面CC1D1D. 111111.BBABCDACABCDBBACBDACBDBBBACBB DMDBB DMDACI證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以又因?yàn)?，?，所以平面而平面，所以【證明】 11111111111111112./ / /.MBBDMCCC D DDCNDCNNNDCOOMBNNDCBDBCBNDCDCABCDDCC DABCDDCC DBNDCC DONNBMONBMONBMONBNOM當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面取的中點(diǎn) ，的中點(diǎn)，連結(jié)交于 ，連結(jié)、因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以又因?yàn)槭瞧矫媾c平面的交線，且平面平面，所以平面因?yàn)?是的中點(diǎn)，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以所111111.OMCC D DOMDMCDMCCC D D以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?本題以立體幾何中的棱柱為載體，重點(diǎn)考查立體幾何中的垂直關(guān)系的探索及推理論證第(1)問要證線線垂直，可通過線面垂直即可得證；第(2)問是開放性探究問題要使得平面DMC1平面CC1D1D，關(guān)鍵在于找出其中一個面的一條垂線，而另一個平面恰過這條垂線，從而問題轉(zhuǎn)化為尋求平面CC1D1D的垂線由條件DBBC，可聯(lián)想到取DC的中點(diǎn)N，則BN就是平面CC1D1D的垂線，再結(jié)合平面圖形的特點(diǎn)，從而可確定M點(diǎn)的位置 33.12PABCDABCDBADPAPDPADABCDADPBEBCPCFDEFABCD如圖，四棱錐 中，底面是菱形，若，平面平面求證：；若 為的【變式中點(diǎn)，能否練在棱上找到一點(diǎn) ，使得平面平面，并證明你習(xí) 】的結(jié)論 13.ADOPOBOBDPAPDPOADABCDBADABDOADADOBOBOPOADPOBPBPOBADPB證明：取的中點(diǎn) ，連結(jié)，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈酌媸橇庑?，所以是等邊三角形，?是的中點(diǎn)，所以，又 ，所以平面，因?yàn)槠矫妗舅越猓觥縑I 2./ /./ /FPCDEFABCDOEOCABCDEBCOADDOCEDOCEDOECDEOCMMOCFMFPCFMPOPADABCDPADABCDADPOADPOABCDFMABCD當(dāng) 是棱的中點(diǎn)時(shí)，平面平面連結(jié)，因?yàn)樵诹庑沃校?為的中點(diǎn)， 是的中點(diǎn)，所以，所以四邊形是平行四邊形，設(shè)，所以是的中點(diǎn)，連結(jié)又因?yàn)?是棱的中點(diǎn)，所以；因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以平面，又因?yàn)镮I.FMDEFDEFABCD平面，所以平面平面1.lll 若 為一條直線， 、 、 為三個互不重合的平面，給出下面三個命題：，；，；，其中正確的命題有_ 2.三個平面兩兩垂直，且它們的三條交線交于一點(diǎn)O，點(diǎn)P到三個平面的距離分別是3、4、5，則OP的距離是 _5 23 4 55 2.OPOP是以 、為邊長的長方體的體對角線，【解析】3.二面角CBDA是直二面角，且DA平面ABC，則ABC是_三角形(填“銳角”、“直角”、“鈍角”) 直角ABCCBDABDCBDABDBDAAEBDAECBDBCCBDAEBCDAABCBCABCADBCADAEABCABDABABDBCABABCVIIV是直角三角形如圖，平面平面，平面平面，過點(diǎn) 作，則平面，又因?yàn)槠矫妫?；因?yàn)槠矫?，平面，所以；又因?yàn)?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，【解所以，所以是析】直角三角?.如圖，設(shè)P是ABC所在平面外一點(diǎn)，P到A、B、C的距離相等，BAC為直角求證：平面PBC平面ABC.PPHABCHHAHABCBACABCHBCPHPBCPHABCPCBABC過 作底面，垂足為 ，連結(jié)易知 是的外心又因?yàn)闉橹苯?，所以是直角三角形，所?是斜邊的中點(diǎn)，即平面且底面由面面垂直的判定定理得平面平面【證明】5.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，已知M是棱AB的中點(diǎn)求證：(1)AC1平面B1MC；(2)平面D1B1C平面B1MC. 1111111111111./ /.BCBCNMNABCDABC DMABMNACACB MCMNB MCACB MC如圖，連結(jié)交于 ，連結(jié)因?yàn)槭钦襟w，且是棱的中點(diǎn)，所以又平面，平面，所以/平面【證明】 11111111111111111111111111111211.1/ /.BCBCABB BCCABBCABBCBBCABCACABCBCACB DACBCB DBACB DCMNACMNB DCMNB MCB DCB MCII方法 ：由知，又平面，所以因?yàn)?，所以平面而平面，所以同理可證又因?yàn)?，故平面由知，所以平面又平面，故平面平面11111111111111112221111112.52.36322290 .D NB DCNBCD NBCaMBMCaMNBCMNDD BCB MCD MMNDMDaD NaMNaD NMNMDMNDD BCB MC方法 ：連結(jié)因?yàn)槭钦切危?是的中點(diǎn)，所以設(shè)正方體的棱長為 ，則，所以所以是平面和平面所成的二面角連結(jié)在中，所以，即根據(jù)面面垂直的定義，知平面平面VV 面面垂直的性質(zhì)的理解中三個條件也不可缺少，即：兩個平面垂直；其中一個平面內(nèi)的直線；垂直于交線所以無論何時(shí)見到已知兩個平面垂直，都要首先找其交線，看是否存在直線垂直于交線來決定是否該作輔助線，這樣就能目標(biāo)明確，事半功倍