第第8講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用舉例考點(diǎn)梳理考點(diǎn)梳理 測(cè)量距離問(wèn)題、高度問(wèn)題、角度問(wèn)題、計(jì)算面積問(wèn)題、航海問(wèn)題、物理問(wèn)題等 (1)仰角和俯角 與目標(biāo)線(xiàn)在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線(xiàn)和目標(biāo)視線(xiàn)的夾角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)_的角叫仰角，目標(biāo)視線(xiàn)在水平視線(xiàn)_的角叫俯角(如圖)1用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型用正弦定理和余弦定理解三角形的常見(jiàn)題型2實(shí)際問(wèn)題中的常用角實(shí)際問(wèn)題中的常用角上方上方下方下方 (2)方向角：相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45，西偏北60等； (3)方位角 指從正北方向_轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線(xiàn)的水平角，如B點(diǎn)的方位角為(如圖) (4)坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)順時(shí)針順時(shí)針 解三角形應(yīng)用題的一般步驟 (1)閱讀理解題意，弄清問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知與未知，理清量與量之間的關(guān)系側(cè)重考查從實(shí)際問(wèn)題中提煉數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力 (2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型 (3)根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解 (4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題，注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等【助學(xué)助學(xué)微博微博】 解三角形應(yīng)用題常有以下兩種情形 (1)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 (2)實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及到兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解1(2012江蘇金陵中學(xué))已知ABC的一個(gè)內(nèi)角為120，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則三角形的面積等于_考點(diǎn)自測(cè)考點(diǎn)自測(cè)2若海上有A，B，C三個(gè)小島，測(cè)得A，B兩島相距10海里，BAC60，ABC75，則B，C間的距離是_海里3(2013日照調(diào)研)如圖，一船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75距塔68海里的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速處，則這只船的航行速度為度為_(kāi)海里海里/時(shí)時(shí) 答案等邊三角形 答案4【例1】如圖所示，A、B、C、D都在同一個(gè)與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂測(cè)量船于水面A處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角分別為75，30，于水面C處測(cè)得B點(diǎn)和D點(diǎn)的仰角均為60，AC0.1km.考向一考向一測(cè)量距離問(wèn)題測(cè)量距離問(wèn)題(1)求證：求證：ABBD；(2)求求BD. (1)證明在A(yíng)CD中，DAC30，ADC60DAC30，所以CDAC0.1.又BCD180606060， 故CB是CAD底邊AD的中垂線(xiàn)，所以BDBA. 方法總結(jié)(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解三角形的模型 (2)利用正、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解 (3)應(yīng)用題要注意作答ADB45(A，B，C，D在同一平面內(nèi)在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)，求兩目標(biāo)A，B之間的距離之間的距離【例2】(2010江蘇)某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m)如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h4m，仰角ABE，ADE.考向二考向二測(cè)量高度問(wèn)題測(cè)量高度問(wèn)題(1)該小組已測(cè)得一組該小組已測(cè)得一組、的值，算出了的值，算出了tan 1.24，tan 1.20，請(qǐng)據(jù)此算出，請(qǐng)據(jù)此算出H的值；的值；(2)該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到該小組分析若干測(cè)得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離電視塔的距離d(單位：?jiǎn)挝唬簃)，使，使與與之差較大，可以提高之差較大，可以提高測(cè)量精度若電視塔的實(shí)際高度為測(cè)量精度若電視塔的實(shí)際高度為125 m，試問(wèn)，試問(wèn)d為多少為多少時(shí)，時(shí)，最大？最大？因此，算出的電視塔的高度因此，算出的電視塔的高度H是是124 m. 方法總結(jié)(1)測(cè)量高度時(shí)，要準(zhǔn)確理解仰、俯角的概念 (2)分清已知和待求，分析(畫(huà)出)示意圖，明確在哪個(gè)三角形應(yīng)用正、余弦定理 (3)注意豎直線(xiàn)垂直于地面構(gòu)成的直角三角形【訓(xùn)練2】如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高AB時(shí)，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得BCD，BDC，CDs，并在點(diǎn)C測(cè)得塔頂A的仰角為，求塔高AB.考向三考向三運(yùn)用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問(wèn)題運(yùn)用正、余弦定理解決航海應(yīng)用問(wèn)題 方法總結(jié)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的步驟： 第一步：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題； 第二步：將有關(guān)條件和求解的結(jié)論歸結(jié)到某一個(gè)或兩個(gè)三角形中 第三步：用正弦定理和余弦定理解這個(gè)三角形 第四步：將所得結(jié)果轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的結(jié)果【訓(xùn)練3】(2013廣州二測(cè))如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上，此時(shí)到達(dá)C處(1)求漁船甲的速度；(2)求sin的值 航海、測(cè)量問(wèn)題利用的就是目標(biāo)在不同時(shí)刻的位置數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)反映在坐標(biāo)系中就構(gòu)成了一些三角形，根據(jù)這些三角形就可以確定目標(biāo)在一定的時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)距離，因此解題的關(guān)鍵就是通過(guò)這些三角形中的已知數(shù)據(jù)把測(cè)量目標(biāo)歸入到一個(gè)可解三角形中規(guī)范解答規(guī)范解答8如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題如何運(yùn)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題 審題路線(xiàn)圖(1)分清已知條件和未知條件(待求) (2)將問(wèn)題集中到一個(gè)三角形中(3)利用正、余弦定理求解 點(diǎn)評(píng)三角形應(yīng)用題常見(jiàn)的類(lèi)型： 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理解之； 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)三角形，這時(shí)需按順序逐步在兩個(gè)三角形中求出問(wèn)題的解； 實(shí)際問(wèn)題經(jīng)抽象概括后，涉及的三角形只有一個(gè)，但由題目已知條件解此三角形需連續(xù)使用正弦定理或余弦定理1(2012四川卷改編)如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，延長(zhǎng)BA至E，使AE1，連結(jié)EC、ED，則sinCED_.高考經(jīng)典題組訓(xùn)練高考經(jīng)典題組訓(xùn)練3(2012湖北卷改編)若ABC的三邊長(zhǎng)為連續(xù)三個(gè)正整數(shù)，且ABC,3b20acosA，則sinA sinB sinC_. 答案6 5 4