第十二篇復數、算法、推理與證明第十二篇復數、算法、推理與證明( (必修必修3 3、選修、選修2 22)2)六年新課標全國卷試題分析六年新課標全國卷試題分析第第1 1節(jié)數系的擴充與復數的引入節(jié)數系的擴充與復數的引入知識鏈條完善知識鏈條完善考點專項突破考點專項突破經典考題研析經典考題研析知識鏈條完善知識鏈條完善 把散落的知識連起來把散落的知識連起來【教材導讀教材導讀】 1.1.復數的幾何意義是什么復數的幾何意義是什么? ?2.2.復數模的幾何意義是什么復數模的幾何意義是什么? ?3.3.復數加減法的幾何意義是什么復數加減法的幾何意義是什么? ?知識梳理知識梳理 1.1.復數的有關概念復數的有關概念(1)(1)復數的定義復數的定義形如形如a+bi(a,ba+bi(a,bR R) )的數叫做復數的數叫做復數, ,其中實部是其中實部是 , ,虛部是虛部是 (i(i是虛數是虛數單位單位).).a ab b(3)(3)復數相等復數相等a+bia+bi= =c+dic+di ( (a,b,c,da,b,c,dR R).).(4)(4)共軛復數共軛復數a+bia+bi與與c+dic+di互為共軛復數互為共軛復數 ( (a,b,c,da,b,c,dR R).).a=ca=c且且b=db=da=ca=c且且b=-db=-d|z| |z| | |a+bia+bi| | 2.2.復數的幾何意義復數的幾何意義(1)(1)復平面的概念復平面的概念建立建立 來表示復數的平面叫做復平面來表示復數的平面叫做復平面. .(2)(2)實軸、虛軸實軸、虛軸在復平面內在復平面內,x,x軸叫做軸叫做 ,y,y軸叫做軸叫做 , ,實軸上的點都表示實軸上的點都表示 ; ;除原點以外除原點以外, ,虛軸上的點都表示虛軸上的點都表示 . .直角坐標系直角坐標系實軸實軸虛軸虛軸實數實數純虛數純虛數Z(a,bZ(a,b) ) 3.3.復數的運算復數的運算(1)(1)復數的加、減、乘、除運算法則復數的加、減、乘、除運算法則設設z z1 1=a+bi,z=a+bi,z2 2= =c+di(a,b,c,dc+di(a,b,c,dR R),),則則加法加法:z:z1 1+z+z2 2=(=(a+bi)+(c+dia+bi)+(c+di)=)= ; ;減法減法:z:z1 1-z-z2 2=(=(a+bi)-(c+dia+bi)-(c+di)=)= ; ;乘法乘法:z:z1 1z z2 2=(=(a+bi)(c+dia+bi)(c+di)=)= ; ;( (a+c)+(b+d)ia+c)+(b+d)i(a-(a-c)+(b-d)ic)+(b-d)i(ac-(ac-bd)+(ad+bc)ibd)+(ad+bc)i(2)(2)復數加法的運算定律復數加法的運算定律復數的加法滿足交換律、結合律復數的加法滿足交換律、結合律, ,即對任何即對任何z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C, ,有有z z1 1+z+z2 2= = ,(z,(z1 1+z+z2 2)+z)+z3 3= = . .(3)(3)復數乘法的運算定律復數乘法的運算定律復數的乘法滿足交換律、結合律、分配律復數的乘法滿足交換律、結合律、分配律, ,即對于任意即對于任意z z1 1,z,z2 2,z,z3 3C C, ,有有z z1 1z z2 2=z=z2 2z z1 1,(z,(z1 1z z2 2) )z z3 3=z=z1 1(z(z2 2z z3 3),z),z1 1(z(z2 2+z+z3 3)=z)=z1 1z z2 2+z+z1 1z z3 3. .z z2 2+z+z1 1z z1 1+(z+(z2 2+z+z3 3) )2.-b+ai=2.-b+ai=i(a+bii(a+bi).).3.i3.i4n4n=1,i=1,i4n+14n+1=i,i=i,i4n+24n+2=-1,i=-1,i4n+34n+3=-=-i(ni(nN N* *).).4.i4.i4n4n+i+i4n+14n+1+i+i4n+24n+2+i+i4n+34n+3=0(n=0(nN N* *).).夯基自測夯基自測D D 2.2.在復平面內復數在復平面內復數z=i(1-2i)z=i(1-2i)對應的點位于對應的點位于( ( ) )(A)(A)第一象限第一象限(B)(B)第二象限第二象限(C)(C)第三象限第三象限(D)(D)第四象限第四象限解析解析: :復數復數z=i(1-2i)=2+i,z=i(1-2i)=2+i,因為復數因為復數z z的實部的實部20,20,虛部虛部10,10,所以復數所以復數z z在復平面內對應的點位于第一象限在復平面內對應的點位于第一象限. .A AC C 4.(20164.(2016眉山模擬眉山模擬) )若若( (x-i)ix-i)i=y+2i(x,y=y+2i(x,yR R),),則復數則復數x+yix+yi= =. . 解析解析: :若若( (x-i)ix-i)i=y+2i=1+xi(x,y=y+2i=1+xi(x,yR R),),則則y=1y=1且且x=2,x=2,所以所以x+yix+yi=2+i.=2+i.答案答案: :2+i2+i5.5.下面四個命題下面四個命題: :3+4i3+4i比比2+4i2+4i大大; ;復數復數3-2i3-2i的實部為的實部為3,3,虛部為虛部為-2i;-2i;z z1 1,z,z2 2為復數為復數,z,z1 1-z-z2 20,0,那么那么z z1 1zz2 2; ;z z1 1,z,z2 2為復數為復數, ,若若+=0,+=0,則則z z1 1=z=z2 2=0.=0.其中不正確的命題有其中不正確的命題有( (寫出所有不正確命題的編號寫出所有不正確命題的編號).). 答案答案: :考點專項突破考點專項突破 在講練中理解知識在講練中理解知識考點一考點一 復數的基本概念復數的基本概念【例例1 1】 (1)(2016 (1)(2016開封二模開封二模) )已知復數已知復數z=(az=(a2 2-1)+(a-2)i(a-1)+(a-2)i(aR R),),則則“a=1a=1”是是“z z為純虛數為純虛數”的的( () )(A)(A)充分非必要條件充分非必要條件(B)(B)必要非充分條件必要非充分條件(C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)既非充分又非必要條件既非充分又非必要條件(2)(2015(2)(2015高考福建卷高考福建卷) )若若(1+i)+(2-3i)=(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,ba+bi(a,bR R,i,i是虛數單位是虛數單位),),則則a,ba,b的值分別等于的值分別等于( () )(A)3,-2(A)3,-2(B)3,2(B)3,2 (C)3,-3(C)3,-3(D)-1,4(D)-1,4解析解析: :(1)(1)當當a=1a=1時時, ,復數復數z=(az=(a2 2-1)+(a-2)i-1)+(a-2)i是一個純虛數是一個純虛數. .當復數當復數z=(az=(a2 2- -1)+(a-2)i1)+(a-2)i是一個純虛數時是一個純虛數時,a,a2 2-1=0-1=0且且a-20,a-20,則則a=a=1,1,不能推出不能推出a=1.a=1.故故“a=1a=1”是是“z z為純虛數為純虛數”的充分非必要條件的充分非必要條件. .故選故選A.A.(2)(2)因為因為(1+i)+(2-3i)=(1+i)+(2-3i)=a+bia+bi, ,所以所以3-2i=3-2i=a+bia+bi, ,所以所以a=3,b=-2,a=3,b=-2,故選故選A.A.反思歸納反思歸納 有關復數的概念問題有關復數的概念問題, ,一般涉及復數的實部與虛部、模、一般涉及復數的實部與虛部、模、虛數、純虛數、實數、共軛復數等虛數、純虛數、實數、共軛復數等, ,解決時解決時, ,一定先看復數是否為一定先看復數是否為a+bi(a,ba+bi(a,bR R) )的形式的形式, ,以確定其實部和虛部以確定其實部和虛部. .考點二考點二復數代數形式的運算復數代數形式的運算( (高頻考點高頻考點) )高考掃描高考掃描: :20142014高考新課標全國卷高考新課標全國卷、20142014高考新課標全國卷高考新課標全國卷、20152015高考新課標全國卷高考新課標全國卷、20152015高考新課標全國卷高考新課標全國卷【例例2 2】 (1)(2015 (1)(2015高考新課標全國卷高考新課標全國卷)若若a a為實數為實數, ,且且(2+ai)(a-2i)=(2+ai)(a-2i)=-4i,-4i,則則a a等于等于( () )(A)-1(A)-1(B)0(B)0(C)1(C)1(D)2(D)2反思歸納反思歸納 復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算復數的加法、減法、乘法運算可以類比多項式運算, ,除法除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數, ,注意要把注意要把i i的冪寫成最簡形式的冪寫成最簡形式. .復數的幾何意義復數的幾何意義 考點三考點三 (2)z(2)z1 1=2+i,=2+i,由題意由題意,z,z2 2=-2+i,=-2+i,所以所以z z1 1z z2 2=(2+i)(-2+i)=i=(2+i)(-2+i)=i2 2-4=-5.-4=-5.故選故選A.A.反思歸納反思歸納 判斷復數所在平面內的點的位置的方法判斷復數所在平面內的點的位置的方法: :首先將復數首先將復數化成化成a+bi(aa+bi(a、bbR R) )的形式的形式, ,其次根據實部其次根據實部a a和虛部和虛部b b的符號來確定點的符號來確定點所在的象限及坐標所在的象限及坐標. .解析解析: :由復數的幾何意義知由復數的幾何意義知z z1 1=-2-i,z=-2-i,z2 2=i,=i,所以所以z z1 1z z2 2=(-2-i)i=-2i-i=(-2-i)i=-2i-i2 2=1-2i,=1-2i,其對應的點的坐標為其對應的點的坐標為(1,-2)(1,-2)位于第四象限位于第四象限. .故選故選D.D.備選例題備選例題 【例例2 2】 (2016 (2016岳陽模擬岳陽模擬) )已知已知z=z=x+yi,x,yx+yi,x,yR R,i,i為虛數單位為虛數單位, ,且且z=(1+i)z=(1+i)2 2, ,則則i ix+yx+y= =. . 解析解析: :因為因為(1+i)(1+i)2 2=2i,=2i,所以所以x+yix+yi=2i,=2i,所以所以x=0,y=2.x=0,y=2.所以所以i ix+yx+y=i=i2 2=-1.=-1.答案答案: :-1-1經典考題研析經典考題研析 在經典中學習方法在經典中學習方法命題意圖命題意圖: :本題主要考查了復數的乘法和除法運算本題主要考查了復數的乘法和除法運算, ,考查了復數的模等考查了復數的模等基礎知識基礎知識, ,同時還考查了對算式變形、運算的能力同時還考查了對算式變形、運算的能力. .