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1、2.7圓命題解讀考綱解讀理解圓的有關概念.理解弧、弦、圓心角的概念,了解點與圓的位置關系,掌握圓的性質、圓周角定理及其推論,理解圓內接四邊形對角互補.了解三角形的內心與外心以及直線與圓的位置關系.掌握切線的概念,掌握切線與過切點的半徑之間的關系.會過圓上一點畫圓的切線.掌握弧長及扇形面積的計算公式.了解正多邊形的概念、正多邊形與圓的關系. 命題解讀考綱解讀備課資料考點掃描考點1考點2考點3考點1圓的有關概念與性質1.圓的有關概念(1)圓:圓是到定點的距離等于定長的點的集合;這個定點叫做圓心,這個定長叫做半徑;圓心確定了圓的位置,半徑確定了圓的大小.(2)弧:圓上兩點間的部分叫做弧;小于半圓的弧

2、叫做劣弧,大于半圓的弧叫做優(yōu)弧.(3)弦:連接圓上兩點間的線段叫做弦;直徑是圓中最大的弦.(4)圓心角:頂點在圓心的角叫做圓心角.(5)圓周角:頂點在圓上,兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.(6)等圓:半徑相等的圓叫做等圓.(7)等弧:在同圓或等圓中,能夠重合的弧叫做等弧.(8)弦心距:圓心到弦的距離,叫做弦心距. 備課資料考點掃描考點1考點2考點32.圓的基本性質(1)同圓或等圓的半徑相等.(2)圓的直徑等于同圓或等圓半徑的2倍.(3)弧的度數(shù)等于它所對圓心角的度數(shù).(4)圓既是中心對稱圖形,圓心是對稱中心,也是軸對稱圖形,過圓心的每一條直線都是它的對稱軸,還是旋轉對稱圖形,繞圓心旋轉任何一個角

3、度都與原圖形重合.3.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關系定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等、所對弦的弦心距相等.推論:在同圓或等圓中,圓心角相等,弦相等,弦的弦心距相等,弦對的弧相等,如果以上四條中有一條成立,那么另外三條也成立. 備課資料考點掃描考點1考點2考點34.垂徑定理(1)垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對的兩條弧.(2)垂徑定理的推論:a.圓的兩條平行弦所夾的弧相等.b.一條直線如果具有:經(jīng)過圓心,垂直于弦,平分弦,平分弦所對的弧,這四條中有兩條成立,則這條直線也滿足其余的兩條.5.圓周角定理(1)圓周角定理:同一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心

4、角的一半.(2)圓周角定理的推論:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對的圓周角相等;相等的圓周角所對的弧也相等.半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是直徑、所對的弧是半圓. 備課資料考點掃描考點1考點2考點36.圓內接四邊形的性質圓內接四邊形的對角互補;圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角(相鄰的內角的對角). “圓的有關性質”常作的輔助線有弦時,過圓心作弦的垂線段、過弦的一個端點作半徑,這樣由“弦的一半、表示弦心距的垂線段、圓的半徑”構成了直角三角形;有直徑時,作出這條直徑所對的圓周角,這個圓周角是直角;如果有圓周角是直角,作出它對的弦,這條弦就是直徑. 備課資料考點掃描考點

5、1考點2考點3典例1(2016蘭州)如圖,四邊形ABCD內接于O,若四邊形ABCO是平行四邊形,則ADC的大小為 ()A.40 B.50 C.60 D.75【解析】設ADC=,ABC=.四邊形ABCO是平行四邊形,ABC=AOC=.解得=120,=60,ADC=60.【答案】 C 備課資料考點掃描考點1考點2考點3【方法指導】有關圓周角、圓內接四邊形的問題題目中或圖形中,有圓周角、圓內接四邊形時,往往利用圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角、同弧所對的圓周角相等,轉移角,或利用圓內接四邊形的對角互補、同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半,求角的度數(shù). 備課資料考點掃描考點1考點2考點3典

6、例2(2016福建三明)如圖,AB是O的弦,半徑OCAB于點D,若O的半徑為5,AB=8,則CD的長是 ()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】 A 備課資料考點掃描考點1考點2考點3【變式訓練1】(2016四川眉山)如圖,A,D是O上的兩個點,BC是直徑.若D=32,則OAC= ( B )A.64 B.58C.72 D.55【解析】BC是直徑, D=32, B=D=32, BAC=90. OA=OB, BAO=B=32,OAC=BAC-BAO=90-32=58. 備課資料考點掃描考點1考點2考點3【變式訓練2】(2016貴州安順)如圖,AB是O的直徑,弦CDAB于點E,若AB=8,CD=6

7、,則BE= .【解析】連接OC.弦CDAB于點E,CD=6,CE=ED= 備課資料考點掃描考點1考點2考點3考點2與圓有關的位置關系1.點和圓的位置關系 備課資料考點掃描考點1考點2考點32.直線和圓的位置關系 備課資料考點掃描考點1考點2考點33.切線的性質和判定(1)切線的性質定理:圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.(2)切線的判定定理:經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線,是圓的切線.(3)切線的判定方法總結 備課資料考點掃描考點1考點2考點3“與圓有關的位置關系”常作的輔助線(1)連接圓心和切點得到半徑,這條半徑垂直于切線.(2)要證明一條直線是圓的切線,如果已知這條直線過圓上一點,就連接

8、這點和圓心得到半徑,證明這條半徑垂直于這條直線即可;如果不知這條直線過圓上一點,就過圓心作這條直線的垂線段,證明這條垂線段等于半徑即可. 4.切線長及切線長定理(1)切線長:從圓外一點引圓的兩條切線,這一點到切點之間的線段的長,叫做切線長.(2)切線長定理:從圓外一點可以引圓的兩條切線,它們的切線長相等,這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角. 備課資料考點掃描考點1考點2考點35.三角形的外接圓和內切圓 6.正多邊形和圓(1)正多邊形和圓:任何一個正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓,而且它們是同心圓.(2)正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑,它的內切圓的半徑叫做這個正多邊形的邊心距

9、. 備課資料考點掃描考點1考點2考點3典例3(2016湖北咸寧)如圖,點E是ABC的內心,AE的延長線和ABC的外接圓相交于點D,連接BD,BE,CE,若CBD=32,則BEC的度數(shù)為.【解析】在O中,CBD=32,點E是ABC的內心,CAD=BAD=CBD=32, BAC=64,EBC+ECB=(180-64)2=58,BEC=180-58=122.【答案】 122 備課資料考點掃描考點1考點2考點3典例4(2016西寧)如圖,D為O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且CDA=CBD.(1)求證:CD是O的切線;【解析】(1)連接OD,利用OB=OD,得OBD=ODB,再利用已知和等量代換證

10、得CDO=90,則CD是O的切線;(2)根據(jù)已知條件得到CDACBD,再由相似三角形的性質得到 ,求得CD=4,由切線的性質得到BE=DE,BEBC,最后根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論. 備課資料考點掃描考點1考點2考點3【答案】 (1)連接OD,OB=OD,OBD=ODB,CDA=CBD,CDA=ODB.又AB是O的直徑,ADB=90,ADO+ODB=90,ADO+CDA=90,即CDO=90,ODCD,OD是O的半徑,CD是O的切線. 備課資料考點掃描考點1考點2考點3備課資料考點掃描考點1考點2考點3【變式訓練】(2016湖南張家界)如圖,AB是O的直徑,C是O上的一點,直線MN經(jīng)過點C

11、,過點A作直線MN的垂線,垂足為點D,且BAC=CAD.(1)求證:直線MN是O的切線;(2)若CD=3,CAD=30,求O的半徑.【答案】 (1)連接OC,因為OA=OC,所以BAC=ACO.因為BAC=CAD,故ACO=CAD,所以OCAD,又因為ADMN,所以OCMN,所以直線MN是O的切線. 備課資料考點掃描考點1考點2考點3(2)因為AB是O的直徑,則ACB=90,又ADMN,則ADC=90.在RtABC和RtACD中,BAC=CAD,所以RtABCRtACD, 備課資料考點掃描考點1考點2考點3考點3與圓有關的計算1.圓的有關計算 備課資料考點掃描考點1考點2考點32.正多邊形的有

12、關計算 備課資料考點掃描考點1考點2考點3備課資料考點掃描考點1考點2考點3【解析】COB=2CDB=60,OBC是等邊三角形,又E點為OB的中點, CDAB,OCE=30,CE=DE= S陰影=【答案】 D 【方法指導】陰影面積問題求解的常用技巧有的陰影是規(guī)則的如扇形,這時只需找夠條件即可代入扇形面積公式S扇形= lr求出其面積;有的陰影是不規(guī)則的,這就需要把這個陰影進行分割或拓展,分割成幾個規(guī)則圖形分別求其面積再相加即可,或拓展成較大的規(guī)則圖形的面積再減去多余的規(guī)則圖形的面積. 備課資料考點掃描考點1考點2考點3【變式訓練】如圖,菱形ABCD的邊長為2,A=60,以點B為圓心的圓與AD,D

13、C相切,與AB,CB的延長線分別相交于點E,F,則圖中陰影部分的面積為 ( A ) 備課資料考點掃描1.有關圓的分類討論問題 【解析】求有公共頂點的兩條弦的夾角,要分圓心在夾角內還是夾角外.有兩種情況:如圖1所示:連接OA,過點O作OEAB于點E,OFAC于點F,OEA=OFA=90,由垂徑定理得AE=BE= 備課資料考點掃描OAE=30,OAF=45,BAC=OAF-OAE=45-30=15.【答案】 75或15 備課資料考點掃描2.有關圓的綜合探究題典例2已知:O上兩個定點A,B和兩個動點C,D,AC與BD交于點E.(1)如圖1,求證:EAEC=EBED;(3)如圖3,若ACBD,點O到A

14、D的距離為2,求BC的長. 備課資料考點掃描備課資料考點掃描備課資料考點掃描(3)如圖,連接AO并延長交O于點F,連接DF,AF為O的直徑.ADF=90.過點O作OHAD于點H,AH=DH,OHDF,AO=OF,DF=2OH=4.ACBD,AEB=ADF=90,ABE=F,ABEAFD,BAE=FAD,BC=DF=4. 命題點2命題點1命題點3命題點4命題點1垂徑定理及推論(?？?1.(2011安徽第13題)如圖,O的兩條弦AB,CD互相垂直,垂足為E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,則O的半徑是 . 【解析】本題考查垂徑定理.連接OD,過點O分別作OF,OG垂直于CD,AB,AB=CD

15、,由垂徑定理知,CF=FD= 命題點5命題點2命題點1命題點3命題點42.(2014安徽第19題)如圖,在O中,半徑OC與弦AB垂直,垂足為E,以OC為直徑的圓與弦AB的一個交點為F,D是CF延長線與O的交點.若OE=4,OF=6,求O的半徑和CD的長.解:OC為小圓的直徑,OFC=90,即OFCD.CF=DF.OEAB,OEF=OFC=90.又FOE=COF,OEFOFC, 命題點5命題點2命題點1命題點3命題點4命題點5命題點2命題點1命題點3命題點4命題點2圓周角定理及推論(常考)3.(2013安徽第10題)如圖,點P是等邊三角形ABC外接圓O上的點,在以下判斷中,不正確的是 ( C )

16、A.當弦PB最長時,APC是等腰三角形B.當APC是等腰三角形,POACC.當POAC時,ACP=30D.當ACP=30時,BPC是直角三角形 命題點5命題點2命題點1命題點3命題點4【解析】本題考查等腰三角形和圓的有關性質.當弦PB最長時,PB為直徑,又因為ABC為等邊三角形,所以PBAC,由垂徑定理可知,PA=PC,故A正確.當APC是等腰三角形時,分兩種情況:點P在上,則CP為圓的直徑,有CBP=90,故D正確. 命題點5命題點2命題點1命題點3命題點4命題點3切線的性質及判定(冷考)4.(2009安徽第16題)如圖,MP切O于點M,直線PO交O于點A,B,弦ACMP.求證:MOBC.解

17、:AB是O的直徑,ACB=90.MP為O的切線,PMO=90.MPAC,P=CAB,MOP=CBA,MOBC. 命題點5命題點2命題點1命題點3命題點4命題點4三角形的外接圓與內切圓(常考)5.(2010安徽第13題)如圖,ABC內接于O,AC是O的直徑,ACB=50,點D是 上一點,則D=40.【解析】本題考查圓周角定理.ABC是O的內接三角形,AC是O的直徑, ABC=90.在ABC中,ACB=50,ABC=90,BAC=180-ACB-ABC=180-90-50=40,D=BAC=40. 命題點5命題點2命題點1命題點3命題點4命題點5命題點5弧長與扇形面積的計算(?？?6.(2016安徽第13題)如圖,已知O的半徑為2,A為O外一點.過A作O的一條切線AB,切點是B.AO的延長線交O于點C,若 【解析】本題考查切線的性質、弧長公式等知識.連接OB,AB是O的切線,ABOB,ABO=90,A=30,BOC=120,