第19講特殊三角形浙江專用等腰(邊)三角形、直角三角形的性質(zhì)及判定性質(zhì)判定等腰三角形(1)兩腰相等，兩底角相等；(2)頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合；(3)是軸對稱圖形，有一條對稱軸(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形；(2)有兩個角相等的三角形是等腰三角形等邊三角形(1)三邊相等；(2)各角相等，且都等于60；(3)是軸對稱圖形，有三條對稱軸(1)三條邊相等的三角形是等邊三角形；(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個角等于60的_是等邊三角形等腰三角形直角三角形(1)兩銳角之和等于90；(2)斜邊上的中線等于斜邊的_；(3)30角所對的直角邊等于斜邊的一半；(4)若有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于_；(5)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 (1)有一個角為90的三角形是直角三角形；(2)一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形；(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形一半301計算有關(guān)線段長度問題，如果所求線段是在直角三角形中，一般應(yīng)用勾股定理求解，即直角三角形斜邊的平方等于兩直角邊的平方之和2有關(guān)等腰三角形的問題，若條件中沒有明確底和腰時，一般應(yīng)從某一邊是底還是腰這兩個方面進(jìn)行討論，還要特別注意構(gòu)成三角形的條件；同時，在底角沒有被指定的等腰三角形中，應(yīng)就某角是頂角還是底角進(jìn)行討論注意運用分類討論的方法，將問題考慮全面，不能想當(dāng)然3面積法：用面積法證題是常用的技巧方法之一，使用這種方法時一般是利用某個圖形的多種面積求法或面積之間的和差關(guān)系列出等式，從而得到要證明的結(jié)論4在涉及折疊的相關(guān)問題中，若原圖形中含有直角或折疊后產(chǎn)生直角，常常把所求的量與已知條件利用折疊的性質(zhì)，借助等量代換轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，利用勾股定理建立方程求解1(2016懷化)等腰三角形的兩邊長分別為4 cm和8 cm，則它的周長為( )A16 cm B17 cmC20 cm D16 cm或20 cm2(2016荊門)如圖，ABC中，ABAC，AD是BAC的平分線已知AB5，AD3，則BC的長為( )A5 B6 C8 D10CCD C 5(2016湖州)如圖，在RtABC中，ACB90，BC6，AC8，分別以點A，B為圓心，大于線段AB長度一半的長為半徑作弧，相交于點E，F(xiàn)，過E，F(xiàn)作直線EF，交AB于點D，連結(jié)CD，則CD的長是_5等腰三角形有關(guān)邊角的討論 【例1】(1)(2016湘西州)一個等腰三角形一邊長為4 cm，另一邊長為5 cm，那么這個等腰三角形的周長是( )A13 cm B14 cmC13 cm或14 cm D以上都不對(2)(2016隨州)已知等腰三角形的一邊長為9，另一邊長為方程x28x150的根，則該等腰三角形的周長為_點撥：由方程x28x150得：(x3)(x5)0，x30或x50，解得x13或x25，當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9，9，3時，其周長為21；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9，9，5時，其周長為23；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9，3，3時，339，不符合三角形三邊關(guān)系定理，舍去；當(dāng)?shù)妊切蔚娜呴L為9，5，5時，其周長為19；綜上，該等腰三角形的周長為19或21或23.C19或21或23【點評】在等腰三角形中，如果沒有明確底邊和腰，某一邊可以是底，也可以是腰同樣，某一角可以是底角也可以是頂角，必須仔細(xì)分類討論對應(yīng)訓(xùn)練1(1)(2016赤峰)等腰三角形有一個角是90，則另兩個角分別是( )A30，60 B45，45C45，90 D20，70(2)(2016淮安)已知一個等腰三角形的兩邊長分別為2和4，則該等腰三角形的周長是_B10等腰三角形的判定和性質(zhì) 【例2】(2015北京)如圖，在ABC中，ABAC，AD是BC邊上的中線，BEAC于點E.求證：CBEBAD.證明：ABAC，AD是BC邊上的中線，ADBC，AD平分BAC，BEAC，CBECCADC90，又CADBAD，CBEBAD.【點評】等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合對應(yīng)訓(xùn)練2在ABC中，AD平分BAC，BDAD，垂足為點D，過點D作DEAC，交AB于點E，若AB5，求線段DE的長解：AD平分BAC，BADCAD，DEAC，CADADE，BADADE，AEDE，ADDB，ADB90，EADABD90，ADEBDEADB90，ABDBDE，DEBE，AB5，DEBEAE2.5等邊三角形 【例3】如圖，在等邊ABC中，ABC與ACB的平分線相交于點O，且ODAB，OEAC.(1)試判定ODE的形狀，并說明你的理由；(2)線段BD，DE，EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過程解：(1)ODE是等邊三角形，其理由是：ABC是等邊三角形，ABCACB60，ODAB，OEAC，ODEABC60，OEDACB60.ODE是等邊三角形(2)BDDEEC，其理由是：OB平分ABC，且ABC60，ABOOBD30，ODAB，BODABO30，DBODOB，DBDO，同理，ECEO，DEODOE，BDDEEC.【點評】此題主要考查等邊三角形的判定及性質(zhì)的理解及運用對應(yīng)訓(xùn)練3(1)(2016泰州)如圖，已知直線l1l2，將等邊三角形如圖放置，若40，則等于_ 20(2)(2015銅仁)已知，如圖，點D在等邊三角形ABC的邊AB上，點F在邊AC上，連結(jié)DF并延長交BC的延長線于點E，EFFD.求證：ADCE.直角三角形、勾股定理 【例4】(1)(2015北京)如圖，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中點M與點C被湖隔開若測得AM的長為1.2 km，則M，C兩點間的距離為( )A0.5 km B0.6 km C0.9 km D1.2 km(2)(2016南京)下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是( )A3，4，4 B3，4，5 C3，4，6 D3，4，7 DC【點評】(1)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半理解題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵(2)在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，如果滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方是直角三角形；滿足較小兩邊平方的和大于最大邊的平方是銳角三角形；滿足較小兩邊平方的和小于最大邊的平方是鈍角三角形B 6.從不同的視角來證明幾何命題 試題(2015營口)【問題探究】(1)如圖，銳角ABC中分別以AB，AC為邊向外作等腰ABE和等腰ACD，使AEAB，ADAC，BAECAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由【深入探究】(2)如圖，四邊形ABCD中，AB7 cm，BC3 cm，ABCACDADC45，求BD的長審題視角(1)首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明EACBAD，則根據(jù)SAS即可證明EAC BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明；(2)在ABC的外部，以A為直角頂點作等腰直角BAE，使BAE90，AEAB，連結(jié)EA，EB，EC，證明EAC BAD，證明BDCE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解答題思路第一步：通讀問題，根據(jù)問題選擇合理的幾何分析方法；第二步：(1)綜合法(由因?qū)Ч?：從命題的題設(shè)出發(fā)，通過一系列的有關(guān)定理、公理、定義的運用，逐步向前推進(jìn)，直到問題的解決；(2)分析法(執(zhí)果索因)，從命題的結(jié)論考慮，推敲使其成立需必備的條件，然后再把條件看成要證的結(jié)論繼續(xù)推敲，如此逐步向上逆推，直到已知的條件為止；(3)兩類結(jié)合法，將分析法與綜合法合并使用比較起來，分析法利于思考，綜合法宜于表達(dá)因此，在實際思考問題時，可綜合使用，靈活處理，以縮短題設(shè)與結(jié)論之間的距離，直到完全溝通；第三步：視問題需要，添加合理的輔助線，把已知與未知集中在一起；第四步：從已知出發(fā)，一步一步作推理，使得問題得以證明；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點，完善解題步驟19.三角形的高可能在三角形外三角形的高可能在三角形外 試題1在ABC中，高AD和高BE相交于點H，且BHAC，求ABC的度數(shù)錯解解：如圖，在RtBHD和RtACD中，CCAD90，CHBD90，HBDCAD.又BHAC，BHD ACD，BDAD.ADB90，ABC45.剖析當(dāng)ABC是銳角三角形時，高AD和高BE的交點H在三角形內(nèi)；當(dāng)ABC是鈍角三角形時，高AD和高BE的交點H在三角形外在解與高有關(guān)的問題時，應(yīng)考慮全面正解這里的ABC有兩種情況，ABC是銳角(同錯解)或ABC是鈍角(圖)如圖，在RtBHD和RtACD中，易得CH.又ACBH，DHBDCA，ADBD，DBA45，ABC135.綜上，ABC45或135. 試題2已知ABC是等腰三角形，由A所引BC邊上的高恰好等于BC邊長的一半，試求BAC的度數(shù)剖析(1)對于等腰三角形問題，當(dāng)給出的條件(如邊、角情況)不明時，一般要分情況逐一考察，否則容易出現(xiàn)錯解或漏解的錯誤(2)當(dāng)頂角是銳角時，腰上的高在三角形內(nèi)；當(dāng)頂角為直角時，腰上的高與另一腰重合；當(dāng)頂角為鈍角時，腰上的高在三角形外這是在解與等腰三角形腰上的高有關(guān)的問題時，應(yīng)考慮的幾個方面