第3講點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系考綱要求考點(diǎn)分布考情風(fēng)向標(biāo)1.理解空間直線(xiàn)、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).公理2：過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn).公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行.定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).2.以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2011年大綱卷考查異面直線(xiàn)所成的角；2012年大綱卷考查異面直線(xiàn)所成的角；2013年新課標(biāo)卷以三棱柱為背景，證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；考查線(xiàn)面位置判定定理及求三棱柱體積；2014年大綱卷考查異面直線(xiàn)所成的角；2014年新課標(biāo)卷以三棱柱為背景，證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；考查線(xiàn)面位置判定定理、性質(zhì)定理及求三棱柱的高平面的基本性質(zhì)是研究立體幾何的基礎(chǔ)，是高考主要考點(diǎn)之一，考查內(nèi)容有以平面基本性質(zhì)、推論為基礎(chǔ)的共線(xiàn)、共面問(wèn)題，也有以平行、異面為主的兩直線(xiàn)的位置關(guān)系，求異面直線(xiàn)所成的角是本節(jié)的重點(diǎn)項(xiàng)目公理 1公理 2公理 3公理 4圖形語(yǔ)言1.平面基本性質(zhì)即四條公理的“圖形語(yǔ)言”“文字語(yǔ)言”“符號(hào)語(yǔ)言”列表項(xiàng)目公理 1公理 2公理 3公理 4文字語(yǔ)言如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行符號(hào)語(yǔ)言A，B，C 不共線(xiàn)A，B，C 確定平面(續(xù)表)推論 1經(jīng)過(guò)一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論 2 經(jīng)過(guò)兩條相交直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面推論 3 經(jīng)過(guò)兩條平行直線(xiàn)，有且只有一個(gè)平面等角定理空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系共平行沒(méi)有交點(diǎn)相交一個(gè)交點(diǎn)異面直線(xiàn)沒(méi)有交點(diǎn)直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系平行沒(méi)有交點(diǎn)相交一個(gè)交點(diǎn)在平面內(nèi)無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)兩平面的位置關(guān)系平行沒(méi)有交點(diǎn)相交無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)2.空間線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系3.異面直線(xiàn)所成的角銳角或直角(0，90過(guò)空間任一點(diǎn) O 分別作異面直線(xiàn) a 與 b 的平行線(xiàn) a與 b.那么直線(xiàn) a與 b所成的_，叫做異面直線(xiàn) a 與b 所成的角(或夾角)，其范圍是_.1.(2013 年安徽)在下列命題中，不是公理的是()A.平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行B.過(guò)不在同一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面C.如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)AD.如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)， 那么他們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)解析：B，C，D 說(shuō)法均不需證明，也無(wú)法證明，是公理；A 選項(xiàng)可以推導(dǎo)證明，故是定理.故選 A.2.若空間中有兩條直線(xiàn)，則“這兩條直線(xiàn)為異面直線(xiàn)”是)A“這兩條直線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)”的(A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3.在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，既與AB共面也與CC1共面的棱的條數(shù)為()CA.3 條B.4 條C.5 條D.6 條解析：如圖D45，用列舉法知，符合要求的棱為：BC，CD，C1D1，BB1，AA1.故選C.4.若A，B，Al，Bl，Pl，則( ) DA.PB.P C.lD.P圖 D45考點(diǎn) 1 平面的基本性質(zhì)，則()例 1：若直線(xiàn) l 不平行于平面，且 lA.內(nèi)的所有直線(xiàn)與 l 異面B.內(nèi)不存在與 l 平行的直線(xiàn)C.內(nèi)存在唯一的直線(xiàn)與 l 平行D.內(nèi)的直線(xiàn)與 l 都相交答案：B解析：不妨設(shè)直線(xiàn)lM，過(guò)點(diǎn)M的內(nèi)的直線(xiàn)與l不異面，故A錯(cuò)誤；假設(shè)存在與l平行的直線(xiàn)m，則由ml，得l，這與lM矛盾.故B正確；C顯然錯(cuò)誤；內(nèi)存在與l異面的直線(xiàn)，故D錯(cuò)誤.故選B.【規(guī)律方法】直線(xiàn)在平面內(nèi)也叫平面經(jīng)過(guò)直線(xiàn)，如果直線(xiàn)不在平面內(nèi)，記作l ，包括直線(xiàn)與平面相交及直線(xiàn)與平面平行兩種情形.反映平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形和研究點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，三個(gè)公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù).公理 1 是判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù)；公理2的作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù)；公理 3 是證明三(多)點(diǎn)共線(xiàn)或三線(xiàn)共點(diǎn)的依據(jù).【互動(dòng)探究】A1.下列推斷中，錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是()Al，A，Bl，Bl；A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線(xiàn)，重合；l，AlA .A.1 個(gè)B.2 個(gè)C.3 個(gè)D.0 個(gè)考點(diǎn) 2 空間內(nèi)兩直線(xiàn)的位置關(guān)系例2：如圖831，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，則下列判斷錯(cuò)誤的是()圖 831A.MN 與 CC1 垂直C.MN 與 BD 平行B.MN 與 AC 垂直D.MN 與 A1B1 平行答案：D【規(guī)律方法】判斷直線(xiàn)是否平行比較簡(jiǎn)單直觀，可以利用公理 4；判斷直線(xiàn)是否異面則比較困難，掌握異面直線(xiàn)的兩種判斷方法：反證法：先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn)，即兩條直線(xiàn)平行或相交，再由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)，肯定兩條直線(xiàn)異面；在客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).【互動(dòng)探究】2.如圖 832 所示的是正方體和正四面體，P，Q，R，S 分別是所在棱的中點(diǎn)，則四個(gè)點(diǎn)共面的圖形是_(填上所有正確答案的序號(hào)).圖 8323.如圖 833，G，H，M，N 分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則使直線(xiàn) GH，MN 是異面直線(xiàn)的圖形有_(填上所有正確答案的序號(hào)).圖 833解析：圖中，直線(xiàn)GHMN；圖中，G，H，N 三點(diǎn)在三棱柱的側(cè)面上，MG 與這個(gè)側(cè)面相交于G，M 平面GHN，因此直線(xiàn) GH 與 MN 異面；圖中，連接MG，GMHN，因此GH 與MN 共面；圖中，G，M，N 共面，但H 平面GMN，因此 GH 與 MN 異面.答案：考點(diǎn) 3 異面直線(xiàn)所成的角例3：在正方體ABCDA1B1C1D1中.(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小.圖 834解：(1)如圖834，連接AB1，B1C.由ABCDA1B1C1D1是正方體，易知A1DB1C，從而B(niǎo)1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角.AB1ACB1C，B1CA60，即A1D與AC所成的角為60.(2)如圖 835，連接 AC，BD.圖 835在正方體ABCDA1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，EFBD.EFAC.EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90.【規(guī)律方法】求異面直線(xiàn)所成角的基本方法就是平移，有時(shí)候平移兩條直線(xiàn)，有時(shí)候只需要平移一條直線(xiàn)，直到得到兩條相交直線(xiàn)，最后在三角形或四邊形中解決問(wèn)題.【互動(dòng)探究】B4.(2014 年大綱)已知在正四面體 ABCD 中，點(diǎn) E 是 AB 的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn) CE 與 BD 所成角的余弦值為()考點(diǎn) 4 三點(diǎn)共線(xiàn)、三線(xiàn)共點(diǎn)的證明圖 836例4：如圖836，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn).求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn).證明：(1)如圖837，連接EF，CD1，A1B.圖 837E，F(xiàn)分別是AB，AA1的中點(diǎn)，EFBA1.又A1BD1C，EFCD1.E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面.CE與D1F必相交.設(shè)交點(diǎn)為點(diǎn)P，如圖837，則由點(diǎn)PCE，CE平面ABCD，得點(diǎn)P平面ABCD.同理點(diǎn)P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1DA，點(diǎn)P直線(xiàn)DA.CE，D1F，DA三線(xiàn)共點(diǎn).【規(guī)律方法】要證明 M，N，K 三點(diǎn)共線(xiàn)，由公理 3 知，只要證明 M，N，K 都在兩個(gè)平面的交線(xiàn)上即可.證明多點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題：可由兩點(diǎn)連一條直線(xiàn)，再驗(yàn)證其他各點(diǎn)均在這條直線(xiàn)上；可直接驗(yàn)證這些點(diǎn)都在同一條特定的直線(xiàn)上相交兩平面的唯一交線(xiàn)，關(guān)鍵是通過(guò)繪出圖形，作出兩個(gè)適當(dāng)?shù)钠矫婊蜉o助平面，證明這些點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn).【互動(dòng)探究】A5.在空間四邊形 ABCD 的邊 AB，BC，CD，DA 上分別取 E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)，若 EF 與 GH 交于點(diǎn) M，則()A.點(diǎn) M 一定在 AC 上B.點(diǎn) M 一定在 BD 上C.點(diǎn) M 可能在 AC 上，也可能在 BD 上D.點(diǎn) M 既不在 AC 上，也不在 BD 上解析：點(diǎn)M 在平面ABC 內(nèi)，又在平面ADC 內(nèi)，故必在交線(xiàn) AC 上.難點(diǎn)突破 利用平移求異面直線(xiàn)所成的角例題：(1)(2012年大綱)已知正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，那么異面直線(xiàn)AE與D1F所成角的余弦值為_(kāi).解析：如圖838，連接DF，則AEDF.圖838(2)(2014 年大綱)已知正四面體 ABCD 中，E 是 AB 的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn) CE 與 BD 所成角的余弦值為()答案：B【規(guī)律方法】求異面直線(xiàn)所成角的基本方法就是平移，有時(shí)候平移兩條直線(xiàn)，有時(shí)候只需要平移一條直線(xiàn)，直到得到兩條相交直線(xiàn)，最后在三角形或四邊形中解決問(wèn)題.1. 反映平面基本性質(zhì)的三個(gè)公理是研究空間圖形和研究點(diǎn)、線(xiàn)、面位置關(guān)系的基礎(chǔ)，三個(gè)公理也是立體幾何作圖和邏輯推理的依據(jù).公理 1 判斷直線(xiàn)在平面內(nèi)的依據(jù)； 公理 2 的作用是確定平面，這是把立體幾何轉(zhuǎn)化成平面幾何的依據(jù)；公理3 是證明三(多)點(diǎn)共線(xiàn)或三線(xiàn)共點(diǎn)的依據(jù).2.正確理解異面直線(xiàn)“不同在任何一個(gè)平面內(nèi)”的含義，不要理解成“不在同一個(gè)平面內(nèi)”.掌握異面直線(xiàn)的兩種判斷方法：(1)反證法：先假設(shè)兩條直線(xiàn)不是異面直線(xiàn)，即兩條直線(xiàn)平行或相交，由假設(shè)的條件出發(fā)，經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的推理，導(dǎo)出矛盾，從而否定假設(shè)肯定兩條直線(xiàn)異面.(2)客觀題中，也可用下述結(jié)論：過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線(xiàn)，與平面內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)是異面直線(xiàn).3.求兩條異面直線(xiàn)所成角的大小，一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線(xiàn)，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決.根據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線(xiàn)所成角的大小與頂點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，往往可以選在其中一條直線(xiàn)上(線(xiàn)面的端點(diǎn)或中點(diǎn))利用三角形求解.4.平面幾何中有些概念和性質(zhì)，推廣到空間不一定成立.例如：“過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)只能作一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直”“同時(shí)垂直于一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行”等性質(zhì)在空間都不成立.