第四節(jié)基本不等式：第四節(jié)基本不等式： ( (a a，b bR R+ +) )第六章不等式、推理與證明第六章不等式、推理與證明 abab2考考 綱綱 要要 求求1了解基本不等式的證明過程了解基本不等式的證明過程2會用基本不等式解決簡單的最大會用基本不等式解決簡單的最大(小小)值問題值問題3會用基本不等式求最值及解決簡單的實際問題會用基本不等式求最值及解決簡單的實際問題.課課 前前 自自 修修知識梳理知識梳理一、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念一、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的概念若若a0，b0，則，則a，b的算術(shù)平均數(shù)是的算術(shù)平均數(shù)是 ，幾何平，幾何平均數(shù)是均數(shù)是 .ab2ab二、常用的重要不等式和基本不等式二、常用的重要不等式和基本不等式1若若aR，則，則a20， 0( 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a0時，取時，取“等號等號”)2若若a，bR，則，則a2b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時取時取等號等號)3若若a，bR，則，則ab2 (當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號時取等號)4若若a，bR，則，則 2(當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號時取等號)ab22ab2四、最值定理四、最值定理設(shè)設(shè)x0，y0，由，由xy2 ，有：，有：(1)若積若積xyP(定值定值)，則和，則和xy最小值為最小值為2 ；(2)若和若和xyS(定值定值)，則積，則積xy最大值為最大值為 2.即積定和最小，和定積最大即積定和最小，和定積最大運(yùn)用最值定理求最值應(yīng)滿足的三個條件：運(yùn)用最值定理求最值應(yīng)滿足的三個條件：“一正、一正、二定、三相等二定、三相等”五、比較法的兩種形式五、比較法的兩種形式一是作差，二是作商一是作差，二是作商xyPS2基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測答案：答案：B3(2012合肥市重點中學(xué)聯(lián)考合肥市重點中學(xué)聯(lián)考)若直線若直線2axby20(a，b0)始終平分圓始終平分圓x2y22x4y10的周長，則的周長，則 的最的最小值是小值是_1a1b答案：答案：44(2012寧波市鄞州區(qū)適應(yīng)性考試寧波市鄞州區(qū)適應(yīng)性考試)已知點已知點A(m，n)在直在直線線x2y10上，則上，則2m4n的最小值為的最小值為_.考考 點點 探探 究究考點一考點一利用基本不等式比較數(shù)利用基本不等式比較數(shù)( (或式或式) )的大小的大小變式探究變式探究1已知實數(shù)已知實數(shù)a，b，c滿足滿足abc1，則，則a2b2c2，abbcca，的大小關(guān)系是，的大小關(guān)系是_解析：解析：由于由于(abc)2a2b2c22ab2bc2caa2b2c2(a2b2)(b2c2)(c2a2)3(a2b2c2)，所以所以a2b2c2 ；由于由于a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca，三個不等式，三個不等式相加得相加得a2b2c2abbcca，所以所以(abc)2a2b2c22ab2bc2ca3(abbcca)，故故abbcca .綜上知，綜上知，abbcca a2b2c2.答案：答案：abbcca a2b2c213131313考點二考點二 利用基本不等式判定不等式的正誤利用基本不等式判定不等式的正誤變式探究變式探究2(2012廣東執(zhí)信中學(xué)檢測廣東執(zhí)信中學(xué)檢測)“ab0”是是“ab ”的的()A充分不必要條件充分不必要條件B必要不充分條件必要不充分條件C充分必要條件充分必要條件 D既不充分也不必要條件既不充分也不必要條件解析：解析：a2b22ab中參數(shù)的取值不只是僅可中參數(shù)的取值不只是僅可以取正數(shù)均值不等式以取正數(shù)均值不等式 才需應(yīng)滿才需應(yīng)滿足足a0，b0.故選故選A.答案：答案：Aab2ab考點三考點三利用最值定理求最值利用最值定理求最值點評：點評：在使用基本不等式求最值時，一定要注意其中的在使用基本不等式求最值時，一定要注意其中的等號能不能成立，是否符合使用基本不等式的條件如果根等號能不能成立，是否符合使用基本不等式的條件如果根據(jù)限制條件等號不能成立，則應(yīng)該通過其他方法解決據(jù)限制條件等號不能成立，則應(yīng)該通過其他方法解決(如函數(shù)、如函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等導(dǎo)數(shù)等)使用基本不等式求最值，其基本的技巧是變換，通使用基本不等式求最值，其基本的技巧是變換，通過變換出現(xiàn)兩式之和為常數(shù)或者兩式之積為常數(shù)，達(dá)到使用過變換出現(xiàn)兩式之和為常數(shù)或者兩式之積為常數(shù)，達(dá)到使用基本不等式的目的使用基本不等式求最值時，要注意三個基本不等式的目的使用基本不等式求最值時，要注意三個條件，即條件，即“一正、二定、三相等一正、二定、三相等”變式探究變式探究答案：答案：C4(2012柳州市一模柳州市一模)若若ab0，且，且A(a,0)，B(0，b)，C(2，2)三點共線，則三點共線，則ab的最小值為的最小值為_答案：答案：16考點四考點四利用基本不等式證明其他不等式利用基本不等式證明其他不等式【例【例4】若若x0，y0，xy1，求證：，求證： 9.思路點撥：思路點撥：本題要求根據(jù)條件求最值，本題要求根據(jù)條件求最值，xy為常數(shù)，為常數(shù)，xy可有最大值，如何合理利用條件可有最大值，如何合理利用條件xy1是解答本題的關(guān)是解答本題的關(guān)鍵，可在要求的式子上乘以鍵，可在要求的式子上乘以(xy)，也可通過三角換元轉(zhuǎn)化，也可通過三角換元轉(zhuǎn)化為三角問題為三角問題. 點評點評：對于最值問題求解方法較多，但用均值不等：對于最值問題求解方法較多，但用均值不等式求最值時，要注意三個條件，即式求最值時，要注意三個條件，即“一正、二定、三相一正、二定、三相等等”變式探究變式探究 5已知已知a，b，cR，且，且abc1. 求證：求證： 8.考點五考點五基本不等式的實際應(yīng)用基本不等式的實際應(yīng)用【例【例5】為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物萬元該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元單位：萬元)與隔熱層厚度與隔熱層厚度x(單位：單位：cm)滿足關(guān)系：滿足關(guān)系：C ，若不建隔熱層，每年能，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為源消耗費(fèi)用為8萬元設(shè)萬元設(shè)f 為隔熱層建造費(fèi)用與為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源年的能源消耗費(fèi)用之和消耗費(fèi)用之和(1)求求k的值及的值及f 的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用隔熱層修建多厚時，總費(fèi)用f 達(dá)到最小，并求最小達(dá)到最小，并求最小值值變式探究變式探究6(2012汕頭市教學(xué)質(zhì)測汕頭市教學(xué)質(zhì)測)某商店經(jīng)銷一種洗衣粉，年某商店經(jīng)銷一種洗衣粉，年銷售總量為銷售總量為6 000包，每包進(jìn)價為包，每包進(jìn)價為2.8元，銷售價為元，銷售價為3.4元，全元，全年分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨均為年分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨均為x包已知每次進(jìn)貨的運(yùn)輸包已知每次進(jìn)貨的運(yùn)輸勞務(wù)費(fèi)為勞務(wù)費(fèi)為62.5元，全部洗衣粉全年保管費(fèi)為元，全部洗衣粉全年保管費(fèi)為1.5x元元(1)將該商店經(jīng)銷洗衣粉一年的利潤將該商店經(jīng)銷洗衣粉一年的利潤y(單位：元單位：元)表示為表示為每次進(jìn)貨量每次進(jìn)貨量x(單位：包單位：包)的函數(shù)的函數(shù)(2)為使利潤最大，每次應(yīng)進(jìn)貨多少包？為使利潤最大，每次應(yīng)進(jìn)貨多少包？課時升華課時升華1對于公式對于公式ab2，ab2，要弄清它們的作用和，要弄清它們的作用和使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了使用條件及內(nèi)在聯(lián)系，兩個公式也體現(xiàn)了ab和和ab的轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)化關(guān)系化關(guān)系感感 悟悟 高高 考考品味高考品味高考解析：解析：由基本不等式得由基本不等式得x212|x|(xR)，故，故C正確正確. 答案：答案：C2某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元若每批生產(chǎn)元若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為件，則平均倉儲時間為 天，且每件產(chǎn)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為品每天的倉儲費(fèi)用為1元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備元為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A60件件 B80件件 C100件件 D120件件x8高考預(yù)測高考預(yù)測2(2012廣東六校聯(lián)考廣東六校聯(lián)考)已知已知xyxy，x0，y0，則，則xy的最小值是的最小值是_