幾何作圖 第二十六講第五章圖形的性質(zhì)(二)1尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺2基本作圖(1)作一條線段等于已知線段；(2)作一個角等于已知角；(3)作角的平分線；(4)作線段的垂直平分線；(5)過一點作已知直線的垂線3利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形4與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖(1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓)；(2)作三角形的內(nèi)切圓；(3)作圓的內(nèi)接正方形和正六邊形5有關(guān)中心對稱或軸對稱的作圖以及設(shè)計圖案是中考的常見類型1兩種畫圖方法對于一個既不屬于尺規(guī)基本作圖，又不屬于已知條件為邊角邊、角邊角、角角邊、邊邊邊、斜邊直角邊的三角形的作圖題，可以分析圖形中是否有屬于上述情況的三角形，先把它作出來，再發(fā)展成整個圖形，這種思考方法，稱為三角形奠基法；也可以按求作圖形的要求，一步一步地直接畫出圖形，這時，關(guān)鍵的點常常由兩條直線(或圓弧)相交來確定，稱為交會法事實上，往往把三角形奠基法和交會法結(jié)合使用2三點注意(1)一般的幾何作圖，初中階段只要求寫出已知、求作、作法三個步驟，完成作圖時，需要注意作圖痕跡的保留，作法中要注意作圖語句的規(guī)范和最后的作圖結(jié)論(2)根據(jù)已知條件作幾何圖形時，可采用逆向思維，假設(shè)已作出圖形，再尋找圖形的性質(zhì)，然后作圖或設(shè)計方案(3)實際問題要理解題意，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題3六個步驟尺規(guī)作圖的基本步驟：(1)已知：寫出已知的線段和角，畫出圖形；(2)求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化；(3)作法：應(yīng)用“五種基本作圖”，敘述時不需重述基本作圖的過程，但圖中必須保留基本作圖的痕跡；(4)證明：為了驗證所作圖形的正確性，把圖作出后，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結(jié)合作法來證明所作出的圖形完全符合題設(shè)條件；(5)討論：研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖形；在哪些情況下，問題有一個解、多個解或者沒有解；(6)結(jié)論：對所作圖形下結(jié)論B1(2014安順)用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角，如圖，能得出AOBAOB的依據(jù)是( )ASAS BSSS CASA DAASD2(2013曲靖)如圖，以AOB的頂點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點C，交OB于點D.再分別以點C，D為圓心，大于CD的長為半徑畫弧，兩弧在AOB內(nèi)部交于點E，過點E作射線OE，連接CD.則下列說法錯誤的是( )A射線OE是AOB的平分線BCOD是等腰三角形CC，D兩點關(guān)于OE所在直線對稱DO，E兩點關(guān)于CD所在直線對稱A3(2015嘉興)數(shù)學(xué)活動課上，四位同學(xué)圍繞作圖問題：“如圖，已知直線l和l外一點P，用直尺和圓規(guī)作直線PQ，使PQl于點Q.”分別作出了下列四個圖形其中作法錯誤的是( )D4(2015深圳)如圖，已知ABC，ABBC，用尺規(guī)作圖的方法在BC上取一點P，使得PAPCBC，則下列選項正確的是( )5(2014紹興)用直尺和圓規(guī)作ABC，使BCa，ACb，B35，若這樣的三角形只能作一個，則a，b間滿足的關(guān)系式是_畫三角形【例1】(2015杭州)“綜合與實踐”學(xué)習(xí)活動準備制作一組三角形，記這些三角形的三邊分別為a，b，c，并且這些三角形三邊的長度為大于1且小于5的整數(shù)個單位長度(1)用記號(a，b，c)(abc)表示一個滿足條件的三角形，如(2，3，3)表示邊長分別為2，3，3個單位長度的一個三角形請列舉出所有滿足條件的三角形(2)用直尺和圓規(guī)作出三邊滿足abc的三角形(用給定的單位長度，不寫作法，保留作圖痕跡)解：(1)共9種：(2，2，2)，(2，2，3)，(2，3，3)，(2，3，4)，(2，4，4)，(3，3，3)，(3，3，4)，(3，4，4)，(4，4，4)(2)由(1)可知，只有(2，3，4)，即a2，b3，c4時滿足abc.如圖的ABC即為滿足條件的三角形【點評】(1)作三角形包括：已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；已知三角形的三邊，求作三角形；(2)求作三角形的關(guān)鍵是確定三角形的頂點；而求作直角三角形時，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形對應(yīng)訓(xùn)練1(2015南京)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形(要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注數(shù)字3)解：滿足條件的所有圖形如圖所示：應(yīng)用角平分線、線段的垂直平分線性質(zhì)畫圖解：(1)如圖 【點評】本題考查了尺規(guī)作圖及解直角三角形的應(yīng)用，正確的作出圖形是解答本題的關(guān)鍵對應(yīng)訓(xùn)練2(2015濟寧)如圖，在ABC中，ABAC，DAC是ABC的一個外角實驗與操作：根據(jù)要求進行尺規(guī)作圖，并在圖中標明相應(yīng)字母(保留作圖痕跡，不寫作法)(1)作DAC的平分線AM；(2)作線段AC的垂直平分線，與AM交于點F，與BC邊交于點E，連接AE，CF.猜想并證明：判斷四邊形AECF的形狀并加以證明通過畫圖確定圓心解：(1)如圖，點O為所求【點評】根據(jù)“不在同一直線上的三點確定一個圓”，在AB上另找一點C，分別畫弦AC，BC的垂直平分線，交點即為圓心O.對應(yīng)訓(xùn)練3(2014蘭州)如圖，在ABC中，先作BAC的角平分線AD交BC于點D，再以AC邊上的一點O為圓心，過A，D兩點作 O(用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆加黑)解：作出角平分線AD，作AD的中垂線交AC于點O，作出 O， O為所求作的圓試題尺規(guī)作圖，已知頂角和底邊上的高，求作等腰三角形已知：，線段a.求作：ABC，使ABAC，BAC，ADBC于D，且ADa.錯解如圖，(1)作EAF；(2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa；(3)過D畫直線MN交AE，AF分別于C，B，ABC為所求作的等腰三角形剖析上述畫法考慮AD平分BAC，等腰三角形頂角的平分線與底邊上的高重合，但是畫法(3)沒有注意到要使ADBC，也難以使ABAC.正解如圖，(1)作EAF(2)作AG平分EAF，并在AG上截取ADa(3)過D作MNAG，MN與AE，AF分別交于B，C.則ABC即為所求作的等腰三角形