1直線、平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的 直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直任意一條(2)判定方法：定義2兩個平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果 ，就說這兩個平面互相垂直它們所成的二面角是直二面角1直線a直線b，a平面，則b與的位置關(guān)系是()AbBbCb Db或b解析：由垂直和平行的有關(guān)性質(zhì)可知b或b.答案：D2已知直線a和兩個平面，給出下列四個命題：若a，則內(nèi)的任何直線都與a平行；若a，則內(nèi)的任何直線都與a垂直；若，則內(nèi)的任何直線都與平行；若，則內(nèi)的任何直線都與垂直以下正確的是()A、為真 B、為真C、為真 D、為真解析：若a，則內(nèi)的無數(shù)條直線都與a平行，但不是任意一條，即不正確；若a，則內(nèi)的任何直線都與a垂直，即正確；若，則內(nèi)的任何直線都與a平行，即正確；若，則內(nèi)有無數(shù)條直線都與垂直，但不是任意一條，即不正確綜上可得、為真答案：A3已知直線l平面，直線m平面，有下列命題：lm；lm；lm；lm.其中正確的命題是()A與 B與C與 D與解析：對，l，l，又因為m，所以lm，所以正確；對，l，則l或l，所以l不一定與m平行，所以錯誤；對，因為lm，l，所以m，又m，所以，所以正確；錯誤答案：D4如圖，平面ABC平面BDC，BACBDC90，且ABACa，則AD_.解析：取BC中點E，連結(jié)ED、AE，因為ABAC，所以AEBC.因為平面ABC平面BDC，所以AE平面BCD.所以AEED.在RtABC和RtBCD中，答案：a1直線和平面垂直、平面和平面垂直是直線與平面、平面與平面相交的特殊情況，對這種特殊位置關(guān)系的認識，既可以從直線和平面、平面和平面的夾角為90的角度討論，又可以從已有的線線垂直、線面垂直關(guān)系出發(fā)，進行推理和論證，還可以利用向量把幾何推理和論證的過程轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算的過程2無論是線面垂直還是面面垂直，都源自于線與線的垂直，這種轉(zhuǎn)化為“低維”垂直的思想方法，在解題時非常重要在處理實際問題的過程中，可以先從題設(shè)條件入手，分析已有的垂直關(guān)系，再從結(jié)論入手分析所要證明的垂直關(guān)系，從而架起已知與未知之間的“橋梁”3在線面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制條件，如“兩條相交直線”“一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線”等，這既為證明指明了方向，同時又有很強的制約性，所以使用這些定理時，一定要注意體現(xiàn)邏輯推理的規(guī)范性4空間中直線與直線垂直、直線與平面垂直、平面與平面垂直三者之間可以相互轉(zhuǎn)化，每一種垂直的判定都是從某種垂直開始轉(zhuǎn)向另一種垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系為線線垂直5注意掌握好以下幾個相似結(jié)論：(1)垂直于同一平面的兩條直線平行(2)垂直于同一條直線的兩個平面平行(3)垂直于同一個平面的兩個平面平行或相交(4)垂直于同一條直線的兩條直線平行、相交或者異面 (即時鞏固詳解為教師用書獨有)考點一線面垂直的判定及性質(zhì)【案例1】如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1HD1O，H為垂足，求證：B1H平面AD1C.關(guān)鍵提示：要證B1H平面AD1C，已知B1HD1O，只需證明ACB1H.而要證ACB1H，只需證AC垂直于B1H所在的平面BD1.證明：連結(jié)B1D1.因為B1BAB，B1BBC，所以B1B平面ABCD，所以B1BAC.又ACBD，所以AC平面BD1.又B1H平面BD1，所以ACB1H.又B1HD1O，所以B1H平面AD1C.點評：1.證明直線和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理( 2 ) 利 用 平 行 線 垂 直 于 平 面 的 傳 遞 性 ( a b ，ab)(3)利用面面平行的性質(zhì)(a，a)(4)利用面面垂直的性質(zhì)當直線和平面垂直時，該直線垂直于平面內(nèi)的任一直線，常用來證明線線垂直2直線和平面垂直的性質(zhì)定理可以作為兩條直線平行的判定定理，可以并入平行推導鏈中，實現(xiàn)平行與垂直的相互轉(zhuǎn)化，即線線垂直線面垂直線線平行線面平行【即時鞏固1】(2011屆濰坊質(zhì)檢)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，點F、H分別為A1D、A1C的中點證明：(1)A1B平面AFC；(2)B1H平面AFC.證明：(1)連結(jié)BD交AC于點E，則E為BD的中點，連結(jié)EF，又F為A1D的中點，所以EFA1B.又EF平面AFC，A1B 平面AFC，由線面平行的判定定理可得A1B平面AFC.(2)連結(jié)B1C，在正方體中A1B1CD為長方形因為H為A1C的中點，所以H也是B1D的中點，所以只要證明B1D平面AFC即可由正方體性質(zhì)知ACBD，ACB1B，所以AC平面B1BD，所以ACB1D.又F為A1D的中點，所以AFA1D，又AFA1B1，所以AF平面A1B1D，所以AFB1D，又AF、AC為平面AFC內(nèi)的相交直線，所以B1D平面AFC.即B1H平面AFC.考點二面面垂直的判定及性質(zhì)【案例2】(2010遼寧)如圖，棱柱ABCA1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1CA1B.(1)證明：平面AB1C平面A1BC1；(2)設(shè)D是A1C1上的點，且A1B平面B1CD，求A1D DC1的值(1)證明：因為側(cè)面BCC1B1是菱形，所以B1CBC1.又已知B1CA1B，且A1BBC1B，所以B1C平面A1BC1.又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.(2)解：設(shè)BC1交B1C于點E，連結(jié)DE，則DE是平面A1BC1與平面B1CD的交線因為A1B平面B1CD，所以A1BDE.又E是BC1的中點，所以D為A1C1的中點即A1D DC11.點評：證明平面與平面垂直的方法主要有：(1)利用定義證明只需判定兩平面所成的二面角為直三面角即可(2)利用判定定理在審題時，要注意直觀判斷哪條直線可能是垂線，充分利用等腰三角形底邊的中線垂直于底邊，勾股定理等結(jié)論【即時鞏固2】(2009江蘇)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點，點D在B1C1上，A1DB1C.求證：(1)EF平面ABC；(2)平面A1FD平面BB1C1C.證明：(1)由E，F(xiàn)分別是A1B，A1C的中點知EFBC，因為EF 平面ABC，BC平面ABC，所以EF平面ABC.(2)由三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱知CC1平面A1B1C1，又A1D平面A1B1C1，故CC1A1D.又因為A1DB1C，CC1B1CC，CC1，B1C平面BB1C1C，故A1D平面BB1C1C，又A1D平面A1FD，所以平面A1FD平面BB1C1C.考點三線線垂直的判定及性質(zhì)【案例3】如圖所示，S為ABC所在平面外一點，SA平面ABC，平面SAB平面SBC.求證：ABBC.關(guān)鍵提示：本題的條件是平面SAB平面SBC，要證明ABBC，需由面面垂直去證線線垂直，顯然應考慮應用面面垂直的有關(guān)性質(zhì)證明：作AESB，垂足為E.因為平面SAB平面SBC，且交線為SB，所以AE平面SBC.因為BC平面SBC，所以AEBC.又因為SA平面ABC，所以SABC，從而BC平面SAB.而AB平面SAB，所以ABBC.點評：(1)欲證兩直線垂直，先判斷這兩條直線是否共面若是證明共面的兩直線垂直，則除了平面幾何中所學的方法可用外，又有了一些新方法，解題時不能拘泥于平面的性質(zhì)去思考(2)至此，證明線線垂直的方法有：按定義證明兩直線所成的角為直角；由線面垂直證得線線垂直；利用三垂線定理；利用面面垂直的性質(zhì)【即時鞏固3】(2009海南、寧夏)如圖，在三棱錐PABC中，PAB是等邊三角形，PACPBC90.(1)證明：ABPC；(2)若PC4，且平面PAC平面PBC，求三棱錐PABC的體積(1)證明：因為PAB是等邊三角形，PACPBC90，所以RtPBC RtPAC，可得ACBC.如圖，取AB的中點D，連結(jié)PD，CD.則PDAB，CDAB，所以AB平面PDC，所以ABPC.(2)解：作BEPC，垂足為E，連結(jié)AE.因為RtPBCRtPAC，所以AEPC，AEBE.由已知，平面PAC平面PBC，故AEB90.因為RtAEB RtPEB，所以AEB，PEB，CEB都是等腰直角三角形由已知PC4，得AEBE2，AEB的面積SAEB2.因為PC平面AEB，所以三棱錐PABC的體積考點四折疊問題【案例4】如圖(a)，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體(如圖(b)，使G1、G2、G3三點重合于點G，這樣，下面結(jié)論成立的是()ASG平面EFGBSD平面EFGCGF平面SEFDGD平面SEF解析：(方法1：直接法)圖(a)中，SG1G1E，SG3G3F，在圖(b)中，SGGE，SGGF，所以SG平面EFG.所以應選A.(方法2：排除法)GF即G2F不垂直于SF，所以可以否定C；答案：A【即時鞏固4】如圖，平行四邊形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.求證：ABDE.所以AB2BD2AD2，所以ABBD.又因為平面EBD平面ABD，平面EBD平面ABDBD，AB平面ABD，所以AB平面EBD.因為DE平面EBD，所以ABDE.