第第2講講計數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法、隨機計數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法、隨機變量及其分布列變量及其分布列高考定位高考對本內(nèi)容的考查主要有：(1)分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理，B級要求.(2)排列與組合，B級要求.(3)數(shù)學(xué)歸納法的簡單應(yīng)用，B級要求；(4)n次獨立重復(fù)試驗的模型及二項分布、離散型隨機變量的均值與方差，B級要求.真真 題題 感感 悟悟考考 點點 整整 合合1.兩種計數(shù)原理分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理.2.排列運用數(shù)學(xué)歸納法證明命題要分兩步，第一步是歸納奠基(或遞推基礎(chǔ))，證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立，第二步是歸納遞推(或歸納假設(shè))，假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立，只要完成這兩步，就可以斷定命題對從n0開始的所有的正整數(shù)都成立，兩步缺一不可.4.數(shù)學(xué)歸納法5.概率、隨機變量及其分布(1)離散型隨機變量及其概率分布的表示：離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量；離散型隨機變量概率分布的表示法：概率分布列和概率分布表；性質(zhì)：1pi0(i1，2，3，n)；2p1p2p3pn1.解(1)點P的坐標滿足條件1ba3n3，所以Ann3.探究提高此計數(shù)原理問題中要計算點的個數(shù)，因此要根據(jù)條件對正整數(shù)的取值進行分類，弄清可能的取值類別，再根據(jù)加法原理進行計算.熱點二數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用【例2】 (2016南通調(diào)研)已知函數(shù)f0(x)x(sin xcos x)，設(shè)fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù)，nN*. (1)求f1(x)，f2(x)的表達式； (2)寫出fn(x)的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解(1)因為fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù)，所以f1(x)f0(x)(sin xcos x)x(cos xsin x)(x1)cos x(x1)(sin x)，同理，f2(x)f1(x)(x2)sin x(x2)cos x.探究提高在數(shù)學(xué)歸納法中，歸納奠基和歸納遞推缺一不可.在較復(fù)雜的式子中，注意由nk到nk1時，式子中項數(shù)的變化應(yīng)仔細分析，觀察通項.同時還應(yīng)注意，不用假設(shè)的證法不是數(shù)學(xué)歸納法.【訓(xùn)練2】 (2015江蘇卷)已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，設(shè)Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn，令f(n)表示集合Sn所含元素的個數(shù). (1)寫出f(6)的值； (2)當(dāng)n6時，寫出f(n)的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.解(1)Y61，2，3，4，5，6，S6中的元素(a，b)滿足：若a1，則b1，2，3，4，5，6；若a2，則b1，2，4，6；若a3，則b1，3，6.所以f(6)13.熱點三隨機變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望【例3】 (2016揚州高三期末)某商場舉辦“迎新年摸球”活動，主辦方準備了甲、乙兩個箱子，其中甲箱中有四個球，乙箱中有三個球(每個球的大小、形狀完全相同)，每一個箱子中只有一個紅球，其余都是黑球.若摸中甲箱中的紅球，則可獲得獎金m元，若摸中乙箱中的紅球，則可獲獎金n元.活動規(guī)定：參與者每個箱子中只能摸一次，一次摸一個球；可選擇先摸甲箱，也可先摸乙箱；如果在第一個箱子中摸到紅球，則可繼續(xù)在第二個箱子中摸球，否則活動終止.(1)如果參與者先在乙箱中摸球，求其恰好獲得獎金n元的概率；(2)若要使得該參與者獲獎金額的期望值較大，請你幫他設(shè)計摸箱子的順序，并說明理由.探究提高求解一般的隨機變量的期望和方差的基本方法是：先根據(jù)隨機變量的意義，確定隨機變量可以取哪些值，然后根據(jù)隨機變量取這些值的意義求出取這些值的概率，列出分布列，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的公式計算.【訓(xùn)練3】 (2012江蘇卷)設(shè)為隨機變量，從棱長為1的正方體的12條棱中任取兩條，當(dāng)兩條棱相交時，0；當(dāng)兩條棱平行時，的值為兩條棱之間的距離；當(dāng)兩條棱異面時，1. (1)求概率P(0)； (2)求的分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E().1.分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理 如果每種方法都能將規(guī)定的事件完成，則要用分類加法計數(shù)原理將方法種數(shù)相加；如果需要通過若干步才能將規(guī)定的事件完成，則要用分步乘法計數(shù)原理將各步的方法種數(shù)相乘.2.數(shù)學(xué)歸納法主要是用來解決與自然數(shù)有關(guān)的命題.通常與數(shù)列、不等式證明等基礎(chǔ)知識和基本技能相結(jié)合來考查邏輯推理能力，要了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，并能加以簡單的應(yīng)用.3.離散型隨機變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和.第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式)等，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規(guī)范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義求期望的值.4.求解離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的一般步驟為：