第2講分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想高考定位分類討論思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想近幾年高考每年必考，一般體現(xiàn)在解析幾何、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題中，難度較大.1.中學(xué)數(shù)學(xué)中可能引起分類討論的因素(1)由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論：如絕對值的定義、不等式的定義、二次函數(shù)的定義、直線的傾斜角等.(2)由數(shù)學(xué)運算要求而引起的分類討論：如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式中兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)，三角函數(shù)的定義域，等比數(shù)列an的前n項和公式等.(3)由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論：如函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等.(4)由圖形的不確定性而引起的分類討論：如二次函數(shù)圖象、指數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)函數(shù)圖象等.(5)由參數(shù)的變化而引起的分類討論：如某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，或者由于對不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法等.2.常見的轉(zhuǎn)化與化歸的方法轉(zhuǎn)化與化歸思想方法用在研究、解決數(shù)學(xué)問題時，思維受阻或?qū)で蠛唵畏椒ɑ驈囊环N狀況轉(zhuǎn)化到另一種情形，也就是轉(zhuǎn)化到另一種情境使問題得到解決，這種轉(zhuǎn)化是解決問題的有效策略，同時也是獲取成功的思維方式.常見的轉(zhuǎn)化方法有：(1)直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.(2)換元法：運用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題.(3)數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系(解析式)與空間形式(圖形)關(guān)系，通過互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑.(4)等價轉(zhuǎn)化法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個易于解決的等價命題，達到化歸的目的.(5)特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的問題、結(jié)論適合原問題.(6)構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.(7)坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計算方法解決幾何問題是轉(zhuǎn)化方法的一個重要途徑.(8)類比法：運用類比推理，猜測問題的結(jié)論，易于確定.(9)參數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題轉(zhuǎn)化為熟悉的形式進行解決.(10)補集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題的結(jié)果看做集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補集UA獲得原問題的解決，體現(xiàn)了正難則反的原則.熱點一分類討論思想的應(yīng)用微題型微題型1由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類【例11】 (1)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，已知2Sn3n3，求數(shù)列an的通項an_.探究提高由性質(zhì)、定理、公式的限制引起的分類整合法往往是因為有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同的條件下結(jié)論不一致的情況下使用，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調(diào)性等.微題型微題型2由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類【例12】 (1)不等式|x|2x3|2的解集是()(2)已知mR，求函數(shù)f(x)(43m)x22xm在區(qū)間0，1上的最大值為_.探究提高由數(shù)學(xué)運算要求引起的分類整合法，常見的類型有除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負(fù)，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負(fù)數(shù)問題，含有絕對值的不等式求解，三角函數(shù)的定義域等，根據(jù)相應(yīng)問題中的條件對相應(yīng)的參數(shù)、關(guān)系式等加以分類分析，進而分類求解與綜合.微題型微題型3由參數(shù)變化引起的分類由參數(shù)變化引起的分類【例13】 (2015全國卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時，求a的取值范圍.探究提高由參數(shù)的變化引起的分類整合法經(jīng)常用于某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運用不同的求解或證明方法.熱點二轉(zhuǎn)化與化歸思想微題型微題型1換元法換元法【例21】 已知實數(shù)a，b，c滿足abc0，a2b2c21，則a的最大值是_.探究提高換元法是一種變量代換，也是一種特殊的轉(zhuǎn)化與化歸方法，是用一種變數(shù)形式去取代另一種變數(shù)形式，是將生疏(或復(fù)雜)的式子(或數(shù))，用熟悉(或簡單)的式子(或字母)進行替換；化生疏為熟悉、復(fù)雜為簡單、抽象為具體，使運算或推理可以順利進行.微題型微題型2特殊與一般的轉(zhuǎn)化特殊與一般的轉(zhuǎn)化答案C探究提高一般問題特殊化，使問題處理變得直接、簡單.特殊問題一般化，可以使我們從宏觀整體的高度把握問題的一般規(guī)律，從而達到成批處理問題的效果.微題型微題型3常量與變量的轉(zhuǎn)化常量與變量的轉(zhuǎn)化【例23】 對任意的|m|2，函數(shù)f(x)mx22x1m恒為負(fù)，則x的取值范圍為_.解析對任意的|m|2，有mx22x1m0恒成立，即|m|2時，(x21)m2x10恒成立.設(shè)g(m)(x21)m2x1，則原問題轉(zhuǎn)化為g(m)0恒成立(m2，2).探究提高在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以選取其中的參數(shù)，將其看做是“主元”，而把其它變元看做是常量，從而達到減少變元簡化運算的目的.微題型微題型4正與反的相互轉(zhuǎn)化正與反的相互轉(zhuǎn)化探究提高否定性命題，常要利用正反的相互轉(zhuǎn)化，先從正面求解，再取正面答案的補集即可，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單，因此，間接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命題情形的問題中.1.分類討論思想的本質(zhì)是“化整為零，積零為整”.用分類討論的思維策略解數(shù)學(xué)問題的操作過程：明確討論的對象和動機確定分類的標(biāo)準(zhǔn)逐類進行討論歸納綜合結(jié)論檢驗分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集).做到“確定對象的全體，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，分類不重復(fù)、不遺漏”的分析討論.常見的分類討論問題有：(1)集合：注意集合中空集 討論.2.轉(zhuǎn)化與化歸思想遵循的原則：(1)熟悉已知化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，將未知的問題轉(zhuǎn)化為已知的問題，以便于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決.(2)簡單化原則：將復(fù)雜問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).(3)和諧統(tǒng)一原則：轉(zhuǎn)化問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式；或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.(4)正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時，應(yīng)想到問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探討，使問題獲得解決.