第2講 力的合成與分解一、力的合成1.合力與分力合分(1)定義：如果一個力單獨(dú)作用的效果與幾個力同時作用的共同效果相同，這個力就叫那幾個力的_力，而那幾個力就叫這個力的_力.等效替代合成分解(2)關(guān)系：合力與分力之間在效果上是_的關(guān)系.(3)力的合成與分解：求幾個力的合力的過程叫力的_，求一個力的分力的過程叫力的_.2.平行四邊形定則對角線矢量如果以表示兩個共點(diǎn)力的線段為鄰邊作平行四邊形，則合力的大小和方向就可以用這兩個鄰邊之間的_來表示，這就是力的平行四邊形定則(如圖 2-2-1 所示).平行四邊形定則是_運(yùn)算的普遍法則.圖 2-2-13.兩個共點(diǎn)力的合力兩個力的合力 F 滿足： |F1F2|FF1F2 ，當(dāng)兩個力的夾角變大時，合力 F 變_.小二、力的分解1.力的分解：求一個力的分力的過程.力的分解與力的合成互為_.逆過程平行四邊形2.遵從原則：_定則.3.矢量運(yùn)算法則(1)平行四邊形定則.有向線段(2)三角形定則：把兩個矢量的首尾順次連接起來，第一個矢量的首到第二個矢量的尾的_為合矢量.【基礎(chǔ)檢測】如圖 2-2-2 所示，有 5 個力作用于同一點(diǎn) O，表示這 5 個力的有向線段恰構(gòu)成一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線，已知)F110 N，求這 5 個力的合力大小(圖 2-2-2A.50 NB.30 NC.20 ND.10 N答案：B考點(diǎn) 1 共點(diǎn)力合成的方法及合力范圍 重點(diǎn)歸納1.共點(diǎn)力合成的常用方法(1)作圖法：從力的作用點(diǎn)起，按同一標(biāo)度作出兩個分力 F1和 F2 的圖示，再以 F1 和 F2 的圖示為鄰邊作平行四邊形，畫出過作用點(diǎn)的對角線，量出對角線的長度，計(jì)算出合力的大小，量出對角線與某一力的夾角確定合力的方向.(如圖 2-2-3 所示)圖 2-2-3通用情況兩力互相垂直兩力等大兩力等大、夾角為 120F合力與分力等大，與分力成60角(2)計(jì)算法：根據(jù)平行四邊形定則作出示意圖，然后利用數(shù)學(xué)規(guī)律和公式求出合力的大小.(3)力的三角形法則：將表示兩個力的圖示(或示意圖)保持原來的方向依次首尾相接，從第一個力的作用點(diǎn)，到第二個力的箭頭的有向線段為合力.如圖 2-2-4 所示，三角形法則與平行四邊形定則的實(shí)質(zhì)是一樣的，但有時三角形法則比平行四邊形定則畫圖要簡單.圖 2-2-42.合力的大小范圍(1)兩個共點(diǎn)力的合成|F1F2|F合F1F2 即兩個力大小不變時，其合力隨夾角的增大而減小，當(dāng)兩力反向時，合力最小，為|F1F2|，當(dāng)兩力同向時，合力最大，為 F1F2.(2)三個共點(diǎn)力的合成三個力共線且同向時，其合力最大，為 F1F2F3.任取兩個力，求出其合力的范圍，如果第三個力在這個范圍之內(nèi)，則三個力的合力最小值為零；如果第三個力不在這個范圍內(nèi)，則合力最小值等于最大的力減去另外兩個力. 典例剖析例 1：一物體受到三個共面共點(diǎn)力 F1、F2、F3 的作用，三個力的矢量關(guān)系如圖 2-2-5 所示(小方格邊長相等)，則下列說法正確的是()圖 2-2-5A.三力的合力有最大值 F1F2F3，方向不確定B.三力的合力有唯一值 3F3，方向與 F3 同向C.三力的合力有唯一值 2F3，方向與 F3 同向D.由題給條件無法求出合力大小思維點(diǎn)撥：解答本題注意兩點(diǎn)：(1)借助于小方格的個數(shù)，觀察 F1、F2、F3 的大小和方向特點(diǎn)；(2)先求 F1、F2 的合力，再與 F3 求合力，最后求出結(jié)果.解析：以 F1 和 F2 為鄰邊作平行四邊形，對角線必沿 F3 方向，其大小 F122F3，再與 F3 求合力，故 F3F3，與 F3 同向，所以只有 B 正確.答案：B備考策略：常見的求合力的方法有作圖法、計(jì)算法、三角形法，本題可用三角形法或作圖法解答；若有三個分力求合力，則應(yīng)考慮先求哪兩個力的合力，再與第三個分力合成，隨便選擇兩個分力求合力，會給求解帶來難度；在以后的解題中，同學(xué)們應(yīng)該學(xué)會觀察和思考，找到解題的突破口，如先求 F1 和F2 的合力就是本題的解題突破口.【考點(diǎn)練透】1.三個共點(diǎn)力大小分別是 F1、F2、F3，關(guān)于它們的合力 F的大小，下列說法中正確的是()A.F 大小的取值范圍一定是 0FF1F2F3B.F 至少比 F1、F2、F3 中的某一個大C.若 F1 F2 F33 6 8，只要適當(dāng)調(diào)整它們之間的夾角，一定能使合力為零D.若 F1 F2 F33 6 2，只要適當(dāng)調(diào)整它們之間的夾角，一定能使合力為零答案：C2.如圖2-2-6所示，一個“Y”形彈弓頂部跨度為 L，兩根相同的橡皮條自由長度均為 L，在兩橡皮條的末端用一塊軟羊皮(長度不計(jì))做成裹片.若橡皮條的彈力與形變量的關(guān)系滿足胡克定律，且勁度系數(shù)為 k，發(fā)射彈丸時每根橡皮條的最大長度為2L( 彈性限度內(nèi)) ，則發(fā)射過程中裹片對彈丸的最大作用力為()圖 2-2-6答案：D考點(diǎn) 2 按照力的作用效果分解力 重點(diǎn)歸納1.按作用效果分解力的一般思路實(shí)例分解思路重力分解為沿斜面向下的力 F1mgsin 和垂直斜面向下的力 F2mgcos .重力分解為使球壓緊擋板的分力 F1mgtan mg和使球壓緊斜面的分力 F2 . cos 重力分解為使球壓緊豎直墻壁的分力 F1 mgmgtan 和使球拉緊懸線的分力 F2 .cos 2.下列是高中階段常見的按效果分解力的情形 典例剖析例 2：如圖 2-2-7所示，將細(xì)線的一端系在右手中指上，另一端系上一個重為 G 的鉤碼.用一支很輕的鉛筆的尾部頂在細(xì)線上的某一點(diǎn)，使細(xì)線的上段保持水平，筆的尖端置于右手掌)心.鉛筆與水平細(xì)線的夾角為，則(A.中指受到的拉力為 Gsin B.中指受到的拉力為 Gcos C.手心受到的壓力為Gsin D.手心受到的壓力為Gcos 圖 2-2-7思維點(diǎn)撥：鉤碼豎直向下拉細(xì)線的力產(chǎn)生兩個作用效果：一種效果是拉手指，另一種效果壓手心.解析：受力分析如圖 2-2-7 所示.則有Ncos TNsin TGTGG聯(lián)立以上三式，得中指受到的拉力 TGtan 圖 2-2-7手心受到的壓力為 NG.sin 答案：C備考策略：按照力的效果分解是學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，很多同學(xué)無法得出力的兩個實(shí)際效果，所以導(dǎo)致隨便分解出錯.按照力的效果分解一般分以下三個步驟：(1)根據(jù)力的實(shí)際作用效果確定兩個實(shí)際分力的方向； (2)再根據(jù)兩個實(shí)際分力的方向畫出平行四邊形； (3)最后由平行四邊形和數(shù)學(xué)知識(如正弦定理、余弦定理、三角形相似等)求出兩分力的大小.【考點(diǎn)練透】3.如圖 2-2-8 所示，用原長為 8 cm 的橡皮筋跨過光滑的定滑輪，把一根木棒懸掛起來，穩(wěn)定后木棒處于水平狀態(tài)，橡皮筋長度變?yōu)?10 cm，橡皮筋與水平棒的夾角為 30，橡皮筋的)勁度系數(shù) k2 N/cm，g 取 10 m/s2，則木棒的質(zhì)量是(圖 2-2-8A.4 kgB.0.4 kgC.2 kgD.0.2 kg解析：木棒受重力和橡皮筋對木棒兩端的拉力作用靜止，三個力互成120且合力為零，又橡皮筋對木棒的兩個拉力相等，故三個力大小相等，所以有：mgkx，計(jì)算可知 m0.4 kg，B 項(xiàng)正確.答案：B4.(2016 年新課標(biāo)全國卷)如圖 2-2-9 所示，兩個輕環(huán) a 和b 套在位于豎直面內(nèi)的一段固定圓弧上，一細(xì)線穿過兩輕環(huán)，其兩端各系一質(zhì)量為 m 的小球.在 a 和 b 之間的細(xì)線上懸掛一小物塊.平衡時，a、b 間的距離恰好等于圓弧的半徑.不計(jì)所有摩擦.小物塊的質(zhì)量為()圖 2-2-9解析：如圖 D3 所示，圓弧的圓心為 O，懸掛小物塊的點(diǎn)為 c，由于abR，則aOb 為等邊三角形，同一條細(xì)線上的拉力相等，Tmg，合力沿 aO 方向，則 aO 為角平分線，由幾何關(guān)系知，acb120，故繩的拉力的合力與物塊的重力大小相等，即每條線上的拉力 TGmg，所以小物塊質(zhì)量為 m，故C 正確.圖 D3答案：C方法 正交分解法在解題中的應(yīng)用1.正交分解方法(1)定義：將已知力按互相垂直的兩個方向進(jìn)行分解的方法.(2)建立坐標(biāo)軸的原則：一般選共點(diǎn)力的作用點(diǎn)為原點(diǎn)，在靜力學(xué)中，以少分解力和容易分解力為原則(即盡量多的力在坐標(biāo)軸上)；在動力學(xué)中，習(xí)慣以加速度方向和垂直加速度方向?yàn)樽鴺?biāo)軸建立坐標(biāo)系.(3)方法：物體受到多個力作用 F1、F2、F3求合力 F 時，可把各力沿相互垂直的 x 軸、y 軸分解，如圖 2-2-10 所示.x 軸上的合力：FxFx1Fx2Fx3y 軸上的合力：FyFy1Fy2Fy3圖 2-2-10例 3：如圖 2-2-11 所示，兩個大人和一個小孩沿河岸拉一條船前進(jìn)，兩個大人的拉力 F1200 N、F2100 N，方向如圖所示，要使船在河中間平行河岸行駛，試求：(1)小孩對船施加的最小力是多大？(2)在第(1)問的情況下，船受的拉力的合力為多大？圖 2-2-11審題突破：解答本題時應(yīng)注意以下兩個方面：(1)船受三個人的拉力的合力方向平行于河岸.(2)小孩的力只平衡垂直河岸方向的力時為最小.解：(1)將 F1、F2 正交分解如圖 2-2-12 所示圖 2-2-12船在河中間平行河岸行駛，則 Fy0當(dāng)小孩用力方向與河岸垂直時用力最小，所以Fy3Fy1Fy2F1sin 30F2sin 60 13.4 N用力方向與 Fy2 同向.(2)船所受的拉力的合力F合Fx1Fx2F1cos 30F2cos 60 223.2 N.題外拓展：此題屬于極值問題，極值問題往往是動態(tài)的過程分析，如何把動態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)是處理此類問題的關(guān)鍵.本題巧妙地利用正交分解法使垂直河岸的分力為零，得到小孩的最小拉力，若本題中小孩的力改為由船的發(fā)動機(jī)提供，發(fā)動機(jī)如何提供一個最小的力才能使船垂直駛向岸邊？有興趣的同學(xué)可以做一下.【觸類旁通】1.如圖 2-2-13 所示，墻上有兩個釘子 a 和 b，它們的連線與水平方向的夾角為45，兩者的高度差為 l.一條不可伸長的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定于 a 點(diǎn)，另一端跨過光滑釘子 b 懸掛一質(zhì)量為l2量為 m2 的鉤碼，平衡后繩的 ac 段正好水平，則重物和鉤碼的質(zhì)量比m1m2為()m1的重物.在繩上距 a 端 的 c 點(diǎn)有一固定繩圈.若繩圈上懸掛質(zhì)圖 2-2-13圖 D4答案：C易錯點(diǎn) 1 力的合成與分解中多解的問題例 4：(多選)將一個已知力分解為兩個分力時，下列情況得到唯一解的是()A.已知一個分力的大小和另一個分力的方向，求第一個分力的方向和另一個分力的大小B.已知兩個分力的大小，求兩個分力的方向C.已知一分力的大小和方向，求另一個分力的大小和方向D.已知兩個分力的方向，求這兩個分力的大小解析：由圖 2-2-14 甲知，選項(xiàng) A 不正確.由圖乙知，選項(xiàng)B 不正確.由平行四邊形定則可以知道 C、D 答案正確.甲乙圖 2-2-14答案：CD【觸類旁通】2.已知兩個共點(diǎn)力的合力為 50 N，分力 F1 的方向與合力 F)的方向成 30角，分力 F2 的大小為 30 N.則(A.F1 的大小是唯一的B.F2 的方向是唯一的C.F2 有兩個可能的方向D.F2 可取任意方向解析：如圖D5 所示，因?yàn)镕230 NFsin 3025 N，以F的矢尖為圓心，以 30 N 為半徑畫一個圓弧，與 F1 有兩個交點(diǎn)，這樣 F2 有兩種可能的方向，F(xiàn)1 有兩個可能的大小.因此 C 正確.圖 D5答案：C易錯點(diǎn) 2 繩上的“死結(jié)”和“活結(jié)”模型1.“死結(jié)”可理解為把繩子分成兩段，且不可以沿繩子移動的結(jié)點(diǎn).“死結(jié)”兩側(cè)的繩因結(jié)而變成了兩根獨(dú)立的繩，因此由“死結(jié)”分開的兩段繩子上的彈力不一定相等.2.“活結(jié)”可理解為把繩子分成兩段，且可以沿繩子移動的結(jié)點(diǎn).“活結(jié)”一般是由繩跨過滑輪或者繩上掛一光滑掛鉤而形成的.繩子雖然因“活結(jié)”而彎曲，但實(shí)際上是同一根繩，所以由“活結(jié)”分開的兩段繩子上彈力的大小一定相等，兩段繩子合力的方向一定沿這兩段繩子夾角的平分線.例 5：如圖 2-2-15 甲所示，細(xì)繩 AD 跨過固定的水平輕桿BC右端的定滑輪掛住一個質(zhì)量為 M1 的物體，ACB30；圖乙中輕桿 HG 一端用鉸鏈固定在豎直墻上，另一端 G 通過細(xì)繩EG 拉住，EG 與水平方向也成 30，輕桿的 G 點(diǎn)用細(xì)繩 GF 拉住一個質(zhì)量為 M2 的物體，求：(2)輕桿 BC 對 C 端的支持力.(3)輕桿 HG 對 G 端的支持力.甲乙圖 2-2-15解：題圖甲和乙中的兩個物體 M1、M2 都處于平衡狀態(tài)，根據(jù)平衡的條件，首先判斷與物體相連的細(xì)繩，其拉力大小等于物體的重力；分別取C 點(diǎn)和G 點(diǎn)為研究對象，進(jìn)行受力分析如圖 2-2-16 甲和乙所示，根據(jù)平衡規(guī)律可求解.甲乙圖 2-2-16【觸類旁通】3.如圖 2-2-17 所示，在水平天花板的 A 點(diǎn)處固定一根輕桿a，桿與天花板保持垂直.桿的下端有一個輕滑輪 O.一根細(xì)線上端固定在該天花板的 B 點(diǎn)處，細(xì)線跨過滑輪 O，下端系一個重為 G 的物體，BO 段細(xì)線與天花板的夾角為 30.系統(tǒng)保持靜止，不計(jì)一切摩擦.下列說法中正確的是()圖 2-2-17A.細(xì)線 BO 對天花板的拉力大小是G2B.a 桿對滑輪的作用力大小是G2C.a 桿和細(xì)線對滑輪的合力大小是 GD.a 桿對滑輪的作用力大小是 G解析：細(xì)線上的彈力處處相等，因此細(xì)線 BO 對天花板的拉力大小為 G，選項(xiàng)A 錯誤.兩段細(xì)線上彈力均為G，構(gòu)成菱形，合力為2Gsin 30G，大小等于 a 桿對滑輪的作用力，選項(xiàng)B錯誤、D 正確.a 桿和細(xì)線對滑輪的合力大小是 0，選項(xiàng) C 錯誤.答案：D