第六章離散系統(tǒng)z域分析 6 1z變換一 從拉普拉斯變換到z變換二 收斂域6 2z變換的性質(zhì)6 3逆z變換6 4z域分析一 差分方程的變換解二 系統(tǒng)的z域框圖三 利用z變換求卷積和四 s域與z域的關(guān)系五 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 點(diǎn)擊目錄 進(jìn)入相關(guān)章節(jié) 第六章離散系統(tǒng)z域分析 在連續(xù)系統(tǒng)中 為了避開(kāi)解微分方程的困難 可以通過(guò)拉氏變換把微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程 出于同樣的動(dòng)機(jī) 也可以通過(guò)一種稱為z變換的數(shù)學(xué)工具 把差分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程 6 1z變換 一 從拉氏變換到z變換 對(duì)連續(xù)信號(hào)進(jìn)行均勻沖激取樣后 就得到離散信號(hào) 取樣信號(hào) 兩邊取雙邊拉普拉斯變換 得 令z esT 上式將成為復(fù)變量z的函數(shù) 用F z 表示 f kT f k 得 稱為序列f k 的雙邊z變換 稱為序列f k 的單邊z變換 若f k 為因果序列 則單邊 雙邊z變換相等 否則不等 今后在不致混淆的情況下 統(tǒng)稱它們?yōu)閦變換 F z Z f k f k Z 1 F z f k F z 6 1z變換 二 收斂域 z變換定義為一無(wú)窮冪級(jí)數(shù)之和 顯然只有當(dāng)該冪級(jí)數(shù)收斂 即 時(shí) 其z變換才存在 上式稱為絕對(duì)可和條件 它是序列f k 的z變換存在的充分必要條件 收斂域的定義 對(duì)于序列f k 滿足 所有z值組成的集合稱為z變換F z 的收斂域 6 1z變換 例1求以下有限序列的z變換 1 f1 k k k 0 2 f2 k 1 2 3 2 1 解 1 可見(jiàn) 其單邊 雙邊z變換相等 與z無(wú)關(guān) 所以其收斂域?yàn)檎麄€(gè)z平面 2 f2 k 的雙邊z變換為 F2 z z2 2z 3 2z 1 z 2 收斂域?yàn)? z f2 k 的單邊z變換為 收斂域?yàn)?z 0 對(duì)有限序列的z變換的收斂域一般為0 z 有時(shí)它在0或 和 也收斂 6 1z變換 例2求因果序列 的z變換 式中a為常數(shù) 解 代入定義 可見(jiàn) 僅當(dāng) az 1 a 時(shí) 其z變換存在 收斂域?yàn)?z a 6 1z變換 例3求反因果序列 的z變換 解 可見(jiàn) b 1z 1 即 z b 時(shí) 其z變換存在 收斂域?yàn)?z b 6 1z變換 例4雙邊序列f k fy k ff k 解 的z變換 可見(jiàn) 其收斂域?yàn)?a z b 顯然要求 a b 否則無(wú)共同收斂域 序列的收斂域大致有一下幾種情況 1 對(duì)于有限長(zhǎng)的序列 其雙邊z變換在整個(gè)平面 2 對(duì)因果序列 其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓外區(qū)域 3 對(duì)反因果序列 其z變換的收斂域?yàn)槟硞€(gè)圓內(nèi)區(qū)域 4 對(duì)雙邊序列 其z變換的收斂域?yàn)榄h(huán)狀區(qū)域 6 1z變換 注意 對(duì)雙邊z變換必須表明收斂域 否則其對(duì)應(yīng)的原序列將不唯一 例 f1 k 2k k F1 z z 2 f2 k 2k k 1 F2 z z 2 對(duì)單邊z變換 其收斂域比較簡(jiǎn)單 一定是某個(gè)圓以外的區(qū)域 可以省略 常用序列的z變換 k 1 z 0 k z 1 z 1 k 1 6 2z變換的性質(zhì) 一 線性 6 2z變換的性質(zhì) 本節(jié)討論z變換的性質(zhì) 若無(wú)特殊說(shuō)明 它既適用于單邊也適用于雙邊z變換 若f1 k F1 z 1 z 1 f2 k F2 k 2 z 2對(duì)任意常數(shù)a1 a2 則a1f1 k a2f2 k a1F1 z a2F2 z 其收斂域至少是F1 z 與F2 z 收斂域的相交部分 例 2 k 3 k 2 z 1 6 2z變換的性質(zhì) 二 移位 移序 特性 單邊 雙邊差別大 雙邊z變換的移位 若f k F z 0 則 f k m z mF z z 證明 Z f k m 單邊z變換的移位 若f k F z z 且有整數(shù)m 0 則 f k 1 z 1F z f 1 f k 2 z 2F z f 2 f 1 z 1 6 2z變換的性質(zhì) f k 1 zF z f 0 zf k 2 z2F z f 0 z2 f 1 z 證明 Z f k m 上式第二項(xiàng)令k m n 特例 若f k 為因果序列 則f k m z mF z 6 2z變換的性質(zhì) 例1 求周期為N的有始周期性單位序列 的z變換 解 z 1 例2 求f k k k 的單邊z變換F z 解 f k 1 k 1 k 1 k 1 k f k k zF z zf 0 F z F z 6 2z變換的性質(zhì) 三 序列乘ak z域尺度變換 若f k F z z 且有常數(shù)a 0 則akf k F z a a z a 證明 Z akf k 例1 ak k 例2 cos k k cos k k 0 5 ej k e j k k 6 2z變換的性質(zhì) 四 卷積定理 若f1 k F1 z 1 z 1 f2 k F2 z 2 z 2則f1 k f2 k F1 z F2 z 對(duì)單邊z變換 要求f1 k f2 k 為因果序列 其收斂域一般為F1 z 與F2 z 收斂域的相交部分 例 求f k k k 的z變換F z 解 f k k k k k 1 6 2z變換的性質(zhì) 五 序列乘k z域微分 若f k F z z 則 z 例 求f k k k 的z變換F z 解 6 2z變換的性質(zhì) 六 序列除 k m z域積分 若f k F z 0 則 z 若m 0 且k 0 則 例 求序列的z變換 解 6 2z變換的性質(zhì) 七 k域反轉(zhuǎn) 僅適用雙邊z變換 若f k F z z 則f k F z 1 1 z 1 例 已知 z a 求a k k 1 的z變換 解 z a z 1 a 乘a得 z 1 a 6 2z變換的性質(zhì) 八 部分和 若f k F z z 則 max 1 z 證明 例 求序列 a為實(shí)數(shù) k 0 的z變換 解 z max a 1 6 2z變換的性質(zhì) 九 初值定理和終值定理 初值定理適用于右邊序列 即適用于k M M為整數(shù) 時(shí)f k 0的序列 它用于由象函數(shù)直接求得序列的初值f M f M 1 而不必求得原序列 初值定理 如果序列在k M時(shí) f k 0 它與象函數(shù)的關(guān)系為f k F z z 則序列的初值 對(duì)因果序列f k 6 2z變換的性質(zhì) 證明 兩邊乘zM得 zMF z f M f M 1 z 1 f M 2 z 2 6 2z變換的性質(zhì) 終值定理 終值定理適用于右邊序列 用于由象函數(shù)直接求得序列的終值 而不必求得原序列 如果序列在k M時(shí) f k 0 它與象函數(shù)的關(guān)系為f k F z z 且0 1則序列的終值 含單位圓 6 3逆z變換 6 3逆z變換 求逆z變換的方法有 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法 部分分式展開(kāi)法和反演積分 留數(shù)法 等 一般而言 雙邊序列f k 可分解為因果序列f1 k 和反因果序列f2 k 兩部分 即f k f2 k f1 k f k k 1 f k k 相應(yīng)地 其z變換也分為兩部分F z F2 z F1 z z 其中F1 z Z f k k z F2 z Z f k k 1 z 6 3逆z變換 當(dāng)已知象函數(shù)F z 時(shí) 根據(jù)給定的收斂域不難由F z 求得F1 z 和F2 z 并分別求得它們所對(duì)應(yīng)的原序列f1 k 和f2 k 將兩者相加得原序列f k 一 冪級(jí)數(shù)展開(kāi)法 根據(jù)z變換的定義 因果序列和反因果序列的象函數(shù)分別是z 1和z的冪級(jí)數(shù) 其系數(shù)就是相應(yīng)的序列值 例 已知象函數(shù) 其收斂域如下 分別求其相對(duì)應(yīng)的原序列f k 1 z 2 2 z 1 3 1 z 2 6 3逆z變換 解 1 由于F z 的收斂域在半徑為2的圓外 故f k 為因果序列 用長(zhǎng)除法將F z 展開(kāi)為z 1的冪級(jí)數(shù) z2 z2 z 2 1 z 1 3z 2 5z 3 f k 1 1 3 5 k 0 2 由于F z 的收斂域?yàn)?z 1 故f k 為反因果序列 用長(zhǎng)除法將F z 按升冪排列 展開(kāi)為z的冪級(jí)數(shù) z2 2 z z2 6 3逆z變換 3 F z 的收斂域?yàn)? z 2 其原序列f k 為雙邊序列 將F z 展開(kāi)為部分分式 有 第一項(xiàng)屬于因果序列的項(xiàng)函數(shù)F1 z 第二項(xiàng)屬于反因果序列的象函數(shù)F2 z z 1 z 2 即將它們分別展開(kāi)為z 1及z的冪級(jí)數(shù) 有 難以寫(xiě)成閉合形式 6 3逆z變換 二 部分分式展開(kāi)法 式中m n 1 F z 均為單極點(diǎn) 且不為0 可展開(kāi)為 根據(jù)給定的收斂域 將上式劃分為F1 z z 和F2 z z 兩部分 根據(jù)已知的變換對(duì) 如 k 1 6 3逆z變換 例1 已知象函數(shù) 其收斂域分別為 1 z 2 2 z 1 3 1 z 2 解部分分式展開(kāi)為 1 當(dāng) z 2 故f k 為因果序列 2 當(dāng) z 1 故f k 為反因果序列 3 當(dāng)1 z 2 6 3逆z變換 例2 已知象函數(shù) 1 z 2 的逆z變換 解 由收斂域可知 上式前兩項(xiàng)的收斂域滿足 z 1 后兩項(xiàng)滿足 z 2 6 3逆z變換 2 F z 有共軛單極點(diǎn) 如z1 2 c jd e j 則 令K1 K1 ej 若 z f k 2 K1 kcos k k 若 z f k 2 K1 kcos k k 1 3 F z 有重極點(diǎn) F z 展開(kāi)式中含項(xiàng) r 1 則逆變換為 若 z 對(duì)應(yīng)原序列為 6 3逆z變換 以 z 為例 當(dāng)r 2時(shí) 為kak 1 k 當(dāng)r 3時(shí) 為 可這樣推導(dǎo)記憶 Z ak k 兩邊對(duì)a求導(dǎo)得Z kak 1 k 再對(duì)a求導(dǎo)得Z k k 1 ak 2 k 故Z 0 5k k 1 ak 2 k 6 3逆z變換 例 已知象函數(shù) z 1 的原函數(shù) 解 f k k k 1 3k 1 k 6 4z域分析 6 4z域分析 單邊z變換將系統(tǒng)的初始條件自然地包含于其代數(shù)方程中 可求得零輸入 零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng) 一 差分方程的變換解 設(shè)f k 在k 0時(shí)接入 系統(tǒng)初始狀態(tài)為y 1 y 2 y n 取單邊z變換得 6 4z域分析 令 稱為系統(tǒng)函數(shù) h k H z 例1 若某系統(tǒng)的差分方程為y k y k 1 2y k 2 f k 2f k 2 已知y 1 2 y 2 1 2 f k k 求系統(tǒng)的yx k yf k y k 解 方程取單邊z變換 6 4z域分析 Y z z 1Y z y 1 2 z 2Y z y 2 y 1 z 1 F z 2z 2F z 6 4z域分析 例2 某系統(tǒng) 已知當(dāng)輸入f k 1 2 k k 時(shí) 其零狀態(tài)響應(yīng) 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h k 和描述系統(tǒng)的差分方程 解 h k 3 1 2 k 2 1 3 k k 6 4z域分析 二 系統(tǒng)的z域框圖 另外兩個(gè)基本單元 數(shù)乘器和加法器 k域和z域框圖相同 6 4z域分析 例3 某系統(tǒng)的k域框圖如圖 已知輸入f k k 1 求系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h k 和零狀態(tài)響應(yīng)yf k 2 若y 1 0 y 2 0 5 求零輸入響應(yīng)yx k 解 1 畫(huà)z域框圖 z 1 z 1 F z Yf z 設(shè)中間變量X z X z z 1X z z 2X z X z 3z 1X z 2z 2X z F z Yf z X z 3z 1X z 1 3z 1 X z 6 4z域分析 h k 2 2 k k 當(dāng)f k k 時(shí) F z z z 1 yf k 2k 3 2 2 k k 2 由H z 可知 差分方程的特征根為 1 1 2 2 6 4z域分析 yx k Cx1 Cx2 2 k 由y 1 0 y 2 0 5 有 Cx1 Cx2 2 1 0 Cx1 Cx2 2 2 0 5 Cx1 1 Cx2 2 yx k 1 2 2 k 三 利用z變換求卷積和 例 求2k k 2 k k 解 原式象函數(shù)為 原式 1 2 k k 6 4z域分析 四 s域與z域的關(guān)系 z esT 式中T為取樣周期 如果將s表示為直角坐標(biāo)形式s j 將z表示為極坐標(biāo)形式z ej e T T 由上式可看出 s平面的左半平面 z平面的單位圓內(nèi)部 z 0 z平面的單位圓外部 z 1 s平面的j 軸 0 z平面中的單位圓上 z 1 s平面上實(shí)軸 0 z平面的正實(shí)軸 0 s平面上的原點(diǎn) 0 0 z平面上z 1的點(diǎn) 1 0 6 4z域分析 五 離散系統(tǒng)的頻率響應(yīng) 由于z esT s j 若離散系統(tǒng)H z 收斂域含單位園 則 若連續(xù)系統(tǒng)的H s 收斂域含虛軸 則連續(xù)系統(tǒng)頻率響應(yīng) 離散系統(tǒng)頻率響應(yīng)定義為 存在 令 T 稱為數(shù)字角頻率 式中 H ej 稱為幅頻響應(yīng) 偶函數(shù) 稱為相頻響應(yīng) 只有H z 收斂域含單位園才存在頻率響應(yīng) 6 4z域分析 設(shè)LTI離散系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)為h k 系統(tǒng)函數(shù)為H z 其收斂域含單位園 則系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) yf k h k f k 當(dāng)f k ej k時(shí) 若輸入f k Acos k 則其正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 ys k 0 5Aej ej kH ej 0 5Ae j e j kH e j 0 5Aej ej k H ej ej 0 5Ae j e j k H e j e j A H ej cos k 0 5Aej kej 0 5Ae j ke j 6 4z域分析 例圖示為一橫向數(shù)字濾波器 1 求濾波器的頻率響應(yīng) 2 若輸入信號(hào)為連續(xù)信號(hào)f t 1 2cos 0t 3cos 2 0t 經(jīng)取樣得到的離散序列f k 已知信號(hào)頻率f0 100Hz 取樣fs 600Hz 求濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出yss k 解 1 求系統(tǒng)函數(shù) Y z F z 2z 1F z 2z 2F z z 3F z H z 1 2z 1 2z 2 z 3 z 0 令 TS z取ej H ej 1 2e j 2e j2 e j3 e j1 5 2cos 1 5 4cos 0 5 6 4z域分析 2 連續(xù)信號(hào)f t 1 2cos 0t 3cos 2 0t 經(jīng)取樣后的離散信號(hào)為 f0 100Hz fs 600Hz f k f kTs 1 2cos k 0Ts 3cos k 2 0Ts 令 1 0 2 0Ts 3 3 2 0Ts 2 3 所以H ej 1 6 H ej 2 3 46e j 2 H ej 3 0 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 yss t H ej 1 2 H ej 2 cos k 0Ts 2 3 H ej 3 cos 2k 0Ts 3 6 6 92cos k 3 2 可見(jiàn)消除了輸入序列的二次諧波