理數(shù)課標(biāo)版第一節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念教材研讀教材研讀內(nèi)容意義備注復(fù)數(shù)的概念設(shè)a,b都是實(shí)數(shù),形如a+bi的數(shù)叫復(fù)數(shù),其中實(shí)部為a,虛部為b,i叫做虛數(shù)單位a+bi為實(shí)數(shù)b=0,a+bi為虛數(shù)b0,a+bi為純虛數(shù)a=0且b0復(fù)數(shù)相等a+bi=c+dia=c且b=d(a,b,c,dR)共軛復(fù)數(shù)a+bi與c+di共軛a=c且b=-d(a,b,c,dR)復(fù)數(shù)a(a為實(shí)數(shù))的共軛復(fù)數(shù)是a復(fù)平面建立平面直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面,叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)的模向量的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)的模,記作|z|z|=|a+bi|=OZ22ab2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)向量.OZ3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算復(fù)數(shù)的運(yùn)算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),則(i)加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;(ii)減法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;(iii)乘法:z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(iv)除法:=+i(c+di0).12zziiabcd(i)(i)(i)(i)abcdcdcd22acbdcd22bcadcd(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)方程x2+x+1=0沒有解.()(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)中,虛部為bi.()(3)復(fù)數(shù)中有相等復(fù)數(shù)的概念,因此復(fù)數(shù)可以比較大小.()(4)原點(diǎn)是實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn).()(5)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.()1.若復(fù)數(shù)z=(i是虛數(shù)單位),則=()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案答案B本小題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念.z=i(1+i)=-1+i,=-1-i.2i1iz2i1i2i(1 i)(1 i)(1 i)z2.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)m等于()A.-1B.0C.0或1D.0或-1答案答案 D=,令m2+m=0,得m=0或-1.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.故選D.2i1imm2i1imm22(i)(1i)1mmm232(1)i1mmmm3.已知復(fù)數(shù)z=,則i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案答案 Bz=,=+,i=-+i.實(shí)部為-,虛部為,對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,在第二象限,故選B.11iz11i1i2z122iz121212121 1,2 24.i是虛數(shù)單位,則=.答案答案-1-i解析解析=-1-i.32i1 i32i1 i2i1i( 2i)(1 i)(1 i)(1 i)5.設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi(a,bR),則a+b=.答案答案1解析解析依題意有=-+i=a+bi,所以a=-,b=,a+b=-+=1.i21 ii21 i(i2)(1 i)(1 i)(1 i)123212321232考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念典例典例1(1)(2016課標(biāo)全國,2,5分)設(shè)(1+i)x=1+yi,其中x,y是實(shí)數(shù),則|x+yi|=()A.1B.C.D.2(2)(2016福建漳州二模)若復(fù)數(shù)z滿足iz=1+i,則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部是()A.iB.1C.-iD.-123考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破答案答案(1)B(2)B解析解析(1)x,yR,(1+i)x=1+yi,x+xi=1+yi,1,1,xy|x+yi|=|1+i|=.故選B.(2)z=1-i,所以=1+i,其虛部為1.故選B221121ii2(1i) ii1 i1 z規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組即可.(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,bR)的形式,以確定實(shí)部和虛部.(3)解決復(fù)數(shù)模的問題可以根據(jù)模的性質(zhì)把積、商的模轉(zhuǎn)化為模的積、商.1-1設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為,則|(1-z)|=()A.B.2C.D.1答案答案A解法一:z=-1-i,=-1+i,(1-z)=(2+i)(-1+i)=-3+i,|-3+i|=,|(1-z)|=.故選A.解法二:|(1-z)|=|1-z|=|2+i|z|=,故選A.zz22( 3)110z10zz5210zz1021-2設(shè)mR,復(fù)數(shù)z=m2+m-2+(m2-1)i是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則m=.答案答案-2解析解析令m2+m-2=0,得m=-2或1,當(dāng)m=1時(shí),虛部為0,z為實(shí)數(shù),所以m=-2.考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義典例典例2(1)(2016河北五校聯(lián)盟質(zhì)檢)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱的點(diǎn)為A,則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.1+iB.1-iC.-1-iD.-1+i(2)(2016北京,9,5分)設(shè)aR,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=.答案答案(1)B(2)-1解析解析(1)因?yàn)閦=i(1-i)=1+i,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-1),其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1-i.(2)(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,2i1i2i1i2i(1 i)(1 i)(1 i)aR,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,a+1=0,a=-1.方法技巧方法技巧(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量間的相互聯(lián)系:z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題簡單化.OZOZ2-1復(fù)數(shù)z=(i為虛數(shù)單位),z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案答案 A因?yàn)閦=2i( 2i) 2i( 2i) i44i1=+i,所以z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第一象限,故選A.i34ii(34i)2542532543,25 252-2已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若=+(,R),則+的值是.答案答案1解析解析由條件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根據(jù)=+得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),解得+=1.OCOAOBOCOAOBOCOAOB3,24, 1,2. 考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算典例典例3(1)(2016課標(biāo)全國,2,5分)若z=1+2i,則=()A.1B.-1C.iD.-i(2)(2016廣東3月測試)若z=(a-)+ai為純虛數(shù),其中aR,則=()A.iB.1C.-iD.-1(3)已知i是虛數(shù)單位,+=.4i1zz 27i1iaa201621 i61 i1 i答案答案(1)C(2)C(3)0解析解析(1)z=(1+2i)(1-2i)=5,=i,故選C.(2)z為純虛數(shù),a=,=-i.(3)原式=+=+i6=i1008+i6=i4252+i4+2z4i1zz 4i427i1iaa2i12i( 2i)(12i)(12i)(12i)3i31008221i61 i1 i100822i=1+i2=0.方法技巧方法技巧(1)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的解答策略復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算,除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.(2)幾個(gè)常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí),記住以下結(jié)論,可提高計(jì)算速度.(1i)2=2i;=i;=-i.i(a+bi)=-b+ai,a,bR.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN*.1i1i1i1i3-1 i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)z=,z的共軛復(fù)數(shù)為,則z=()12i2izzA.1B.-1C.D.-答案答案 A依題意得z=i,z=i(-i)=-i2=1,故選A.259259(12i)(2i)(2i)(2i)z3-2已知復(fù)數(shù)z=1+i,則=.答案答案2i解析解析=2i.221zzz221zzz2(1 i)2(1 i)i2i3-3 (2016遼寧師大附中期中)設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,若z=1-i(i為虛數(shù)單位),則+z2的虛部為.答案答案-1解析解析z=1-i(i為虛數(shù)單位),+z2=+(1-i)2=-2i=-2i=-i,故其虛部為-1.zzzzz1i1i2(1 i)(1 i)(1 i)2i2