題型一 規(guī)律探索題類型一類型一 數(shù)式規(guī)律數(shù)式規(guī)律類型二類型二 圖形規(guī)律圖形規(guī)律第二部分第二部分 重難題型突破重難題型突破 例例1 ( (2016濟(jì)寧濟(jì)寧) )按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：按一定規(guī)律排列的一列數(shù)： 請(qǐng)你仔細(xì)觀察，按照此規(guī)律請(qǐng)你仔細(xì)觀察，按照此規(guī)律方框內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為方框內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為_(kāi).1911 1311211 13 17， ， ， ， ， ，類型一類型一 數(shù)式規(guī)律數(shù)式規(guī)律【解析【解析】序數(shù)序數(shù)1234567數(shù)字?jǐn)?shù)字11變形變形分子分子13591113分母分母235111317129111113131712335591111131317由上表可知分子依次為從小到大的連續(xù)奇數(shù)，分母由上表可知分子依次為從小到大的連續(xù)奇數(shù)，分母依次為從小到大排列的質(zhì)數(shù)，故方框中數(shù)字為依次為從小到大排列的質(zhì)數(shù)，故方框中數(shù)字為1. .數(shù)字規(guī)律數(shù)字規(guī)律：標(biāo)序數(shù)標(biāo)序數(shù)(1，2，3，n)；找規(guī)律，觀察：找規(guī)律，觀察：當(dāng)所給的一組當(dāng)所給的一組數(shù)字是整數(shù)數(shù)字是整數(shù)時(shí)：時(shí)：A數(shù)字與序數(shù)的關(guān)系；數(shù)字與序數(shù)的關(guān)系；B.數(shù)字的符號(hào)規(guī)律，若為正數(shù)字的符號(hào)規(guī)律，若為正負(fù)號(hào)交替，則用負(fù)號(hào)交替，則用(1)n或或(1)n1表示符號(hào)；表示符號(hào)；導(dǎo)方 法 指當(dāng)所給的一組當(dāng)所給的一組數(shù)字既有整數(shù)又有分?jǐn)?shù)數(shù)字既有整數(shù)又有分?jǐn)?shù)時(shí)：時(shí)：A數(shù)字與系數(shù)的關(guān)系：將整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，分別觀察數(shù)字與系數(shù)的關(guān)系：將整數(shù)寫成分?jǐn)?shù)，分別觀察分子、分母的規(guī)律；分子、分母的規(guī)律；B. .數(shù)字的符號(hào)方法同數(shù)字的符號(hào)方法同“數(shù)字是數(shù)字是整數(shù)整數(shù)”時(shí)時(shí)將中將中A與與B的規(guī)律結(jié)合起來(lái)的規(guī)律結(jié)合起來(lái)導(dǎo)方 法 指【解析【解析】序數(shù)序數(shù)1234n代數(shù)式代數(shù)式x2x24x38x4 奇偶項(xiàng)奇偶項(xiàng)正負(fù)正負(fù)+(1)n1系數(shù)系數(shù)的的絕對(duì)值絕對(duì)值12=2 214=2 318=2 412 n1指數(shù)指數(shù)x1x2x3x4xn由上表可知由上表可知, 第第n項(xiàng)為項(xiàng)為(1)n12n1xn, 即即(2)n1xn 的形的形式式 例例2一組數(shù)據(jù)為：一組數(shù)據(jù)為：x，2x2，4x3，8x4，觀察其，觀察其規(guī)律，推斷第規(guī)律，推斷第n個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)為_(kāi)代數(shù)式規(guī)律代數(shù)式規(guī)律：標(biāo)序數(shù)標(biāo)序數(shù)(1，2，3，n)；找規(guī)律，觀察：找規(guī)律，觀察：A.系數(shù)、代數(shù)式字母的指數(shù)與系數(shù)、代數(shù)式字母的指數(shù)與序數(shù)的關(guān)系；序數(shù)的關(guān)系；B.符號(hào)規(guī)律方法同符號(hào)規(guī)律方法同“數(shù)字規(guī)律數(shù)字規(guī)律”時(shí)時(shí).導(dǎo)方 法 指例例3( (2016黃石黃石) )觀察下列等式：觀察下列等式： 第第1個(gè)等式：個(gè)等式： ， 第第2個(gè)等式：個(gè)等式： ， 第第3個(gè)等式：個(gè)等式： ， 第第4個(gè)等式：個(gè)等式： ， 按上述規(guī)律按上述規(guī)律，回答以下問(wèn)題：回答以下問(wèn)題： (1)請(qǐng)寫出第請(qǐng)寫出第n個(gè)等式：個(gè)等式：an= ; (2)a1a2a3an= a 112112a 113223a 312332a 415225序數(shù)序數(shù)a1 1a2a3a4an左邊左邊左邊左邊變形變形 右邊右邊右邊右邊變形變形【解析【解析】1121231321251121231341452121323243435254根據(jù)上表規(guī)律，可得根據(jù)上表規(guī)律，可得 ；將上面將上面n個(gè)式子左右相加抵消即可求解：個(gè)式子左右相加抵消即可求解：nannnn111naaaannn 123213243111等式規(guī)律等式規(guī)律： (1)求第求第n個(gè)等式的步驟：個(gè)等式的步驟：標(biāo)序數(shù)標(biāo)序數(shù)(1，2，3，n)；找規(guī)律找規(guī)律，觀察：等式左右兩邊中各部分與序數(shù)之觀察：等式左右兩邊中各部分與序數(shù)之間的關(guān)系；間的關(guān)系；總結(jié)總結(jié)中的規(guī)律中的規(guī)律 (2)求求n個(gè)式子和：對(duì)等號(hào)兩邊進(jìn)行相同的運(yùn)算個(gè)式子和：對(duì)等號(hào)兩邊進(jìn)行相同的運(yùn)算，一一般通過(guò)加、減、乘、除消去相同的項(xiàng)般通過(guò)加、減、乘、除消去相同的項(xiàng)，最后將剩余的最后將剩余的項(xiàng)合并項(xiàng)合并，得出結(jié)果得出結(jié)果導(dǎo)方 法 指常見(jiàn)的數(shù)字規(guī)律常見(jiàn)的數(shù)字規(guī)律：A自然數(shù)列規(guī)律：自然數(shù)列規(guī)律：0，1，2，3，n(n0)；B正整數(shù)列規(guī)律：正整數(shù)列規(guī)律：1，2，3，n1，n(n1)；C奇數(shù)列規(guī)律：奇數(shù)列規(guī)律：1，3，5，7，9，2n1(n1)；D偶數(shù)列規(guī)律：偶數(shù)列規(guī)律：2，4，6，8，2n(n1)；E正整數(shù)和：正整數(shù)和：1234n= (n1)；()n n12導(dǎo)方 法 指F正整數(shù)平方：正整數(shù)平方：1，4，9，16，n2(n1)；G正整數(shù)平方加正整數(shù)平方加1：2，5，10，17，n21(n1)；H正整數(shù)平方減正整數(shù)平方減1：0，3，8，15，n21(n1)；I每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間的差以每?jī)蓚€(gè)數(shù)字之間的差以1為單位遞增：為單位遞增：1，3，6，10，15，21，28， (n1)()n n12導(dǎo)方 法 指 例例1(2016益陽(yáng)益陽(yáng))小李用圍棋子排成下列一組有規(guī)律的小李用圍棋子排成下列一組有規(guī)律的圖案圖案 其中第其中第(1)個(gè)圖案有個(gè)圖案有1枚棋子，第枚棋子，第(2)個(gè)圖案有個(gè)圖案有3枚棋枚棋子，第子，第(3)個(gè)圖案有個(gè)圖案有4枚棋子，第枚棋子，第(4)個(gè)圖案有個(gè)圖案有6枚棋子，枚棋子，,那么第那么第(9)個(gè)圖案的棋子數(shù)是個(gè)圖案的棋子數(shù)是_枚枚 例例1題圖題圖類型二類型二 圖形規(guī)律圖形規(guī)律【解析解析】序數(shù)序數(shù) 12345棋子棋子個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)13467找規(guī)律找規(guī)律 1+03 311+13321+23與序數(shù)與序數(shù)關(guān)系關(guān)系1 11322323 113251132432 由上表可知由上表可知，n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)，棋子個(gè)數(shù)為棋子個(gè)數(shù)為 ； n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)，棋子個(gè)數(shù)為棋子個(gè)數(shù)為 .當(dāng)當(dāng)n= =9時(shí)時(shí)，棋子個(gè)數(shù)為棋子個(gè)數(shù)為 枚枚 n11329113132n32(1)基礎(chǔ)圖形固定累加基礎(chǔ)圖形固定累加：標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”；數(shù)圖形個(gè)數(shù)：數(shù)出每組圖形的個(gè)數(shù)；數(shù)圖形個(gè)數(shù)：數(shù)出每組圖形的個(gè)數(shù)；尋找第尋找第n項(xiàng)項(xiàng)(某項(xiàng)某項(xiàng))的個(gè)數(shù)與序數(shù)的個(gè)數(shù)與序數(shù)n的關(guān)系：將后一個(gè)的關(guān)系：將后一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比圖形的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比，通常作差通常作差來(lái)觀察累加個(gè)數(shù)來(lái)觀察累加個(gè)數(shù)，然后按照定量變化推導(dǎo)出關(guān)系式；然后按照定量變化推導(dǎo)出關(guān)系式；驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確導(dǎo)方 法 指(2)基礎(chǔ)圖形遞變累加基礎(chǔ)圖形遞變累加：標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為標(biāo)序號(hào)：記每組圖形的序數(shù)為“1，2，3，n”；數(shù)圖形個(gè)數(shù)：數(shù)出每組圖形的個(gè)數(shù)；數(shù)圖形個(gè)數(shù)：數(shù)出每組圖形的個(gè)數(shù)；尋找第尋找第n項(xiàng)項(xiàng)(某項(xiàng)某項(xiàng))的個(gè)數(shù)與序數(shù)的個(gè)數(shù)與序數(shù)n的關(guān)系：將后一個(gè)圖的關(guān)系：將后一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比形的個(gè)數(shù)與前一個(gè)圖形的個(gè)數(shù)進(jìn)行對(duì)比，通常作商來(lái)通常作商來(lái)觀察圖形個(gè)數(shù)；或?qū)D形個(gè)數(shù)與觀察圖形個(gè)數(shù)；或?qū)D形個(gè)數(shù)與n進(jìn)行對(duì)比進(jìn)行對(duì)比，尋找是尋找是否是與否是與n有關(guān)的平方、平方加有關(guān)的平方、平方加1、平方減、平方減1等關(guān)系；等關(guān)系；驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確驗(yàn)證：代入序號(hào)驗(yàn)證所歸納的式子是否正確導(dǎo)方 法 指 例例2(2016岳陽(yáng)岳陽(yáng))如圖如圖，在平面直角坐標(biāo)系中在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)最小每個(gè)最小方格的邊長(zhǎng)均為方格的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)個(gè)單位長(zhǎng)，P1，P2，P3，均在格點(diǎn)上均在格點(diǎn)上，其順序按圖中其順序按圖中“”方向排列方向排列如：如：P1(0，0)，P2(0，1)，P3(1，1)，P4(1，1)，P5(1，1)，P6(1，2)，根據(jù)這個(gè)規(guī)律根據(jù)這個(gè)規(guī)律，點(diǎn)點(diǎn)P2016的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為_(kāi)例例2題圖題圖 【解析解析】由圖象可知由圖象可知，P1，P4，P8，P12，,在同一條直線在同一條直線y=x(x0)上上，可觀察到當(dāng)可觀察到當(dāng)n為為4的倍數(shù)時(shí)，的倍數(shù)時(shí)，Pn的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )，點(diǎn)點(diǎn)P2016的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為( ， )，即即(504，504)n4n4-2016420164-圖形循環(huán)規(guī)律題圖形循環(huán)規(guī)律題：(1)一般觀察前面的圖形一般觀察前面的圖形，當(dāng)從某個(gè)圖形開(kāi)始又重復(fù)了前當(dāng)從某個(gè)圖形開(kāi)始又重復(fù)了前面的排列面的排列，則該圖形前面的圖形個(gè)數(shù)即為循環(huán)一次的變換則該圖形前面的圖形個(gè)數(shù)即為循環(huán)一次的變換次數(shù)次數(shù)，記為記為n；(2)通過(guò)通過(guò)M次變換次變換，則有則有Mn=Wq(0qn)：1個(gè)循環(huán)周期中第個(gè)循環(huán)周期中第q個(gè)圖形確定第個(gè)圖形確定第M個(gè)圖形的位置關(guān)系個(gè)圖形的位置關(guān)系;歸納后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形之間變化規(guī)律確定倍數(shù)歸納后一個(gè)圖形與前一個(gè)圖形之間變化規(guī)律確定倍數(shù)關(guān)系；關(guān)系；(3)結(jié)合結(jié)合(2)中得到的循環(huán)周期及倍數(shù)關(guān)系中得到的循環(huán)周期及倍數(shù)關(guān)系，確定點(diǎn)坐標(biāo)確定點(diǎn)坐標(biāo)(線線段長(zhǎng)、面積段長(zhǎng)、面積)導(dǎo)方 法 指 例例3(2015衡陽(yáng)衡陽(yáng))如圖如圖，A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4，AnBnAn1都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形，其中點(diǎn)其中點(diǎn)A1，A2，An在在x軸上軸上，點(diǎn)點(diǎn)B1，B2，Bn在直線在直線y=x上已知上已知OA1=1，則則OA2015的長(zhǎng)的長(zhǎng)為為 例例3題圖題圖 【解析】【解析】A1B1A2，A2B2A3，A3B3A4是等腰是等腰直角三角形直角三角形，且點(diǎn)且點(diǎn)B1，B2，Bn在直線在直線y=x上上，A1B1=OA1=1，A2B2=2A1B1=2，A3B3=2A2B2=22，A4B4=2A3B3=23，AnBn=2n1，A2015B2015=220151=22014，OA2015=A2015B2015=22014.【方法指導(dǎo)】【方法指導(dǎo)】圖形成倍遞變規(guī)律題圖形成倍遞變規(guī)律題：(1)根據(jù)題意可記第一次變換前的點(diǎn)坐標(biāo)根據(jù)題意可記第一次變換前的點(diǎn)坐標(biāo)(線段長(zhǎng)、面線段長(zhǎng)、面積積)為為b；(2)通過(guò)計(jì)算得到第一次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)通過(guò)計(jì)算得到第一次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)(線段長(zhǎng)、面線段長(zhǎng)、面積積)，第二次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)第二次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)(線段長(zhǎng)、面積線段長(zhǎng)、面積)，第三次第三次變換后的點(diǎn)坐標(biāo)變換后的點(diǎn)坐標(biāo)(線段長(zhǎng)、面積線段長(zhǎng)、面積)，歸納出后一個(gè)點(diǎn)坐歸納出后一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)標(biāo)(線段長(zhǎng)、面積線段長(zhǎng)、面積)與前一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)與前一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)(線段長(zhǎng)、面積線段長(zhǎng)、面積)之之間存在的倍數(shù)關(guān)系間存在的倍數(shù)關(guān)系n；(3)第第M次變換后次變換后，求得點(diǎn)坐標(biāo)求得點(diǎn)坐標(biāo)(線段長(zhǎng)、面積線段長(zhǎng)、面積)為為nMb.導(dǎo)方 法 指