理數(shù)課標(biāo)版第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理教材研讀教材研讀類別 文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線線平行線面平行”)la,a,l ,l性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行線線平行”)l,l,=b,lb2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)a, b, ab=P, a, b,性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面 相交,那么它們的 交線平行(簡(jiǎn)記為“面面平行線線平行”) , =a, =b,ab1.如果直線a平面,那么直線a與平面內(nèi)的()A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無(wú)數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交答案答案D因?yàn)橹本€a平面,所以直線a與平面無(wú)公共點(diǎn),因此直線a和平面內(nèi)的任意一條直線都不相交,故選D.2.下列命題中,正確的是()A.若ab,b,則aB.若a,b,則abC.若a,b,則abD.若ab,b,a ,則a答案答案DA中還有可能a,B中還有可能a與b異面,C中還有可能a與b相交或異面,只有選項(xiàng)D正確.3.(2015北京,4,5分)設(shè),是兩個(gè)不同的平面,m是直線且m.“m”是“”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案答案 B由兩平面平行的判定定理可知,當(dāng)其中一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均平行于另一平面時(shí),兩平面才平行,所以“m”不能推出“”;若兩平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面,所以“”可以推出“m”.因此“m”是“”的必要而不充分條件.故選B.4.已知平面,直線a,有下列命題:a與內(nèi)的所有直線平行;a與內(nèi)無(wú)數(shù)條直線平行;a與內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號(hào)是.答案答案解析解析設(shè)過(guò)a且與相交的平面與的交線為b,由面面平行的性質(zhì)定理知,ba,故內(nèi)的直線b及與b平行的直線才與a平行,故錯(cuò)誤,正確.平面內(nèi)的直線與直線a平行或異面,其中包括異面垂直,故錯(cuò)誤.5.三棱柱ABC-A1B1C1中,過(guò)棱A1C1,B1C1,BC,AC的中點(diǎn)E,F,G,H的平面與平面平行.答案答案 A1B1BA解析解析如圖所示,連接各中點(diǎn)后,易知平面EFGH與平面A1B1BA平行.考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)典例典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn).(1)證明:AD1平面BDC1;(2)證明:BD平面AB1D1.考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破證明證明(1)D1,D分別為A1C1,AC的中點(diǎn),四邊形ACC1A1為平行四邊形,C1D1DA,四邊形ADC1D1為平行四邊形,AD1C1D,又AD1 平面BDC1,C1D平面BDC1,AD1平面BDC1.(2)連接D1D,BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面BB1D1D=D1D,BB1D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點(diǎn),BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,BDB1D1,又BD 平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,BD平面AB1D1.方法技巧方法技巧證明線面平行的常用方法:(1)利用線面平行的定義(無(wú)公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(a ,b,aba);(3)利用“面面平行線面平行”(,aa);(4)利用平行的傳遞性(,a ,aa;ab,b,a a).變式變式1-1若將本例條件“D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉,D1分別為AC,A1C1上的點(diǎn)”,則當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí),BC1平面AB1D1?解析解析當(dāng)=1時(shí),BC1平面AB1D1.理由:如圖,取D1為線段A1C1的中點(diǎn),1111ADDC1111ADDC此時(shí)=1,連接A1B交AB1于點(diǎn)O,連接OD1,由棱柱的性質(zhì)知四邊形A1ABB1為平行四邊形,O為A1B的中點(diǎn),在A1BC1中,點(diǎn)O,D1分別為A1B,A1C1的中點(diǎn),1111ADDCOD1BC1,又OD1平面AB1D1,BC1 平面AB1D1,BC1平面AB1D1,當(dāng)=1時(shí),BC1平面AB1D1.1111ADDC考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)典例典例2如圖,ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).(1)求證:BE平面DMF;(2)求證:平面BDE平面MNG.證明證明(1)如圖,連接AE,則AE必過(guò)DF與GN的交點(diǎn)O,連接MO,則MO為ABE的中位線,所以BEMO,又BE 平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn),所以DEGN,又DE 平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),所以MN為ABD的中位線,所以BDMN,又BD 平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG,又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線,所以平面BDE平面MNG.方法技巧方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的定義;(2)利用面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”;(4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行”;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.答案答案 解析解析,PAB所在的平面與、分別交于CD、AB,CDAB,=.AB=.52PCPACDABPA CDPC5 12522-1如圖,PAB所在的平面與、分別交于CD、AB.若PC=2,CA=3,CD=1,則AB=.2-2在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分別是C1C、B1C1、C1D1的中點(diǎn),求證:平面PMN平面A1BD.證明證明證法一:如圖,連接B1D1,B1C.P,N分別是D1C1,B1C1的中點(diǎn),PNB1D1.又B1D1BD,PNBD.又PN 平面A1BD,PN平面A1BD.同理,MN平面A1BD,又PNMN=N,平面PMN平面A1BD.證法二:如圖,連接AC1,AC.ABCD-A1B1C1D1為正方體,ACBD,又CC1平面ABCD,AC為AC1在平面ABCD上的射影.AC1BD.同理可證AC1A1B,AC1平面A1BD.同理可證AC1平面PMN,平面PMN平面A1BD.考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問題考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問題典例典例3 (2015四川,18改編)一個(gè)正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示.(1)請(qǐng)將字母F,G,H標(biāo)記在正方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處(不需說(shuō)明理由);(2)判斷平面BEG與平面ACH的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解析解析(1)點(diǎn)F,G,H的位置如圖所示.(2)平面BEG平面ACH.證明如下:因?yàn)锳BCD-EFGH為正方體,所以BCFG,BC=FG,FGEH,FG=EH,所以BCEH,BC=EH,于是BCHE為平行四邊形.所以BECH.又CH平面ACH,BE 平面ACH,所以BE平面ACH.同理,BG平面ACH.又BEBG=B,所以平面BEG平面ACH.方法技巧方法技巧1.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關(guān)系,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下:2.在解決線面、面面平行的判定時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序正好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過(guò)于“模式化”.3-1如圖,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),過(guò)A、C、E三點(diǎn)作平面與正方體的面相交.(1)畫出平面與正方體ABCD-A1B1C1D1各面的交線;(2)求證:BD1平面.解析解析(1)如圖,交線即為EC、AC、AE,平面即為平面AEC.(2)證明:連接BD與AC交于O,連接EO,ABCD為正方形,O是BD的中點(diǎn),又E為DD1的中點(diǎn),OEBD1,又OE平面,BD1 平面,BD1平面.