文數(shù)課標(biāo)版第一節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入教材研讀教材研讀1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)形如a+bi(a,bR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即z=a+bi,其中a與b都是實(shí)數(shù),a叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部,b叫做復(fù)數(shù)z的虛部.對(duì)于復(fù)數(shù)a+bi(a,bR),當(dāng)且僅當(dāng)b=0時(shí),它是實(shí)數(shù);當(dāng)b0時(shí),叫做虛數(shù);當(dāng)a=0且b0時(shí),叫做純虛數(shù).(2)復(fù)數(shù)的相等如果a,b,c,d都是實(shí)數(shù),那么a+bi=c+dia=c且b=d;a+bi=0a=0且b=0.2.復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù);各象限內(nèi)的點(diǎn)都表示虛數(shù).復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合是一一對(duì)應(yīng)的,復(fù)數(shù)集C與復(fù)平面內(nèi)所有以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量組成的集合也是一一對(duì)應(yīng)的.3.共軛復(fù)數(shù)的概念共軛復(fù)數(shù)的概念當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等、虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示,即若z=a+bi(a,bR),則=a-bi.zz4.復(fù)數(shù)的模(1)定義:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)對(duì)應(yīng)的向量的模叫做z的模,記作|z|或|a+bi|,|z|=|a+bi|=.(2)性質(zhì):|z1z2|=|z1|z2|,=,|zn|=|z|n,|=|z|.OZ22ab12zz12|zzz5.復(fù)數(shù)的加法與減法(1)復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算法則(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a,b,c,dR).(2)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1、z2、z3C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).(3)復(fù)數(shù)的加減法的幾何意義a.復(fù)數(shù)加法的幾何意義若復(fù)數(shù)z1、z2對(duì)應(yīng)的向量分別為、,設(shè)=+,則復(fù)數(shù)z1+z2是向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).b.復(fù)數(shù)減法的幾何意義1OZ2OZOZ1OZ2OZOZ若復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別為,則復(fù)數(shù)z1-z2是向量所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).1OZ2OZ21Z Z6.復(fù)數(shù)的乘法與除法復(fù)數(shù)的乘法與除法設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR).(1)復(fù)數(shù)的乘法z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i;交換律:z1z2=z2z1;結(jié)合律:(z1z2)z3=z1(z2z3);分配律:z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.(2)復(fù)數(shù)的除法(a+bi)(c+di)=+i(c+di0).22acbdcd22bcadcd7.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,其中kN*.判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“”)(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)中,虛部為bi.()(2)復(fù)數(shù)可以比較大小.()(3)兩個(gè)復(fù)數(shù)的積與商一定是虛數(shù).()(4)復(fù)數(shù)的模實(shí)質(zhì)上就是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,也就是復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量的模.()(5)已知z=a+bi(a,bR),當(dāng)a=0時(shí),復(fù)數(shù)z為純虛數(shù).()1.(2016四川,1,5分)設(shè)i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(1+i)2=()A.0B.2C.2iD.2+2i答案答案C(1+i)2=1+2i+i2=2i,故選C.2.(2016山東,2,5分)若復(fù)數(shù)z=,其中i為虛數(shù)單位,則=()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案答案Bz=1+i,=1-i,故選B.21iz21i2(1 i)(1 i)(1 i)z3.如果復(fù)數(shù)是純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)m等于()A.-1B.0C.0或1D.0或-1答案答案 D=,由題意得解得m=0或-1.故選D.2i1imm2i1imm22(i)(1i)1mmm232(1)i1mmmm22320,110,1mmmmm 4.已知復(fù)數(shù)z=,則i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限答案答案Bz=,=+,i=-+i.實(shí)部為-,虛部為,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第二象限,故選B.11iz11i1i2z122iz121212121 1,2 25.設(shè)復(fù)數(shù)=a+bi(a,bR),則a+b=.答案答案1解析解析依題意有=-+i=a+bi,所以a=-,b=,則a+b=-+=1.i21 ii21 i(i2)(1 i)(1 i)(1 i)123212321232考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念考點(diǎn)一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念典例典例1(1)(2016安徽安慶二模)設(shè)i是虛數(shù)單位,如果復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等,那么實(shí)數(shù)a的值為()A.B.-C.3D.-3(2)(2016安徽江南十校3月聯(lián)考)若復(fù)數(shù)z滿足z(1-i)=|1-i|+i,則z的實(shí)部為()A.B.-1C.1D.(3)(2016遼寧沈陽二中一模)設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-(aR)是純虛數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為()A.-4B.-1C.4D.1i2ia13132122212174i考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案答案(1)C(2)A(3)C(4)D解析解析(1)=,由題意知=,解得a=3.(2)由z(1-i)=|1-i|+i,得z=+i,故z的實(shí)部為,故選A.(3)因?yàn)閍-=a-=(a-4)-i是純虛數(shù),所以a-4=0,a=4,故選C.(4)=(x-xi)=1-yi,解得x=2,y=1,故選D.i2ia21(2)i5aa 215a 25a 2i1i( 2i)(1 i)(1 i)(1 i)212212212174i17(4i)(4i)(4i)1ix1211,21,2xxy (4)(2016福建基地綜合)已知=1-yi,其中x,y是實(shí)數(shù),i是虛數(shù)單位,則x+yi的共軛復(fù)數(shù)為()1ix方法技巧方法技巧解決復(fù)數(shù)有關(guān)概念問題的方法及注意事項(xiàng)(1)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位置都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿足的條件問題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實(shí)部和虛部滿足的方程(不等式)組,解之即可.(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,bR)的形式,以確定實(shí)部和虛部.1-1若a+bi=(i是虛數(shù)單位,a,bR),則ab=()A.-2B.-1C.1D.2512i答案答案Aa+bi=1-2i,所以a=1,b=-2,則ab=-2.512i1-2設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為,則|(1-z)|=()A.B.2C.D.1答案答案A解法一:z=-1-i,=-1+i,(1-z)=(2+i)(-1+i)=-3+i,|-3+i|=,|(1-z)|=.故選A.解法二:|(1-z)|=|1-z|=|2+i|z|=.故選A.zz102zz22( 3)110z10zz5210考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義考點(diǎn)二復(fù)數(shù)的幾何意義典例典例2(1)(2016河北唐山模擬)復(fù)數(shù)z=+3i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限(2)在復(fù)平面內(nèi)與復(fù)數(shù)z=所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)為A,則A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為()A.1+2iB.1-2iC.-2+iD.2+i3i1 i5i12i(3)如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對(duì)應(yīng)的向量分別是,則|z1+z2|=()A.2B.3C.2D.3答案答案(1)A(2)C(3)A解析解析(1)z=+3i=+3i=+3i=2-i+3i=2+2i,故z在復(fù)平面OAOB233i1 i(3i)(1 i)(1 i)(1 i)42i2內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,故選A.(2)依題意得,復(fù)數(shù)z=i(1-2i)=2+i,其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(2,1),因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,1),其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+i,選C.(3)由題圖可知z1=-2-i,z2=i,則z1+z2=-2,|z1+z2|=2.方法技巧方法技巧(1)復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,bR)Z(a,b).(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問題簡(jiǎn)單化.5i(12i)(12i)(12i)OZOZ2-1如圖,在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A表示復(fù)數(shù)z,則圖中表示z的共軛復(fù)數(shù)的點(diǎn)是()A.AB.BC.CD.D答案答案 B設(shè)z=-a+bi(a,bR+),則z的共軛復(fù)數(shù)=-a-bi,它對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-a,-b),是第三象限的點(diǎn).故選B.z2-2已知復(fù)數(shù)z=1+ai(aR,i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面上表示的點(diǎn)在第四象限,且z=5,則a=()A.2B.-2C.D.-答案答案 B易知=1-ai,則z=(1-ai)(1+ai)=1+a2=5,解得a=2,又z在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)在第四象限,則a=-2,故選B.z22zz2-3已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若=+(,R),則+的值是.答案答案1解析解析由條件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根據(jù)=+得(3,-4)=(-1,2)+(1,-1)=(-+,2-),解得+=1.OCOAOBOCOAOBOCOAOB3,24, 1,2. 考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算考點(diǎn)三復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算典例典例3(1)(2016安徽合肥模擬)已知z=(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z=()A.-1B.1C.iD.-i(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z+i=(i為虛數(shù)單位),則|z|=()A.B.C.D.12i12i1ii532(3)(2016湖南長(zhǎng)沙模擬)已知(a+bi)(1-2i)=5(i為虛數(shù)單位,a,bR),則a+b的值為()A.-1B.1C.2D.3答案答案(1)C(2)A(3)D解析解析(1)z=i,故選C.2i12i(2i)(12i)(12i)(12i)224ii2i5 (3)因?yàn)?a+bi)(1-2i)=a+2b+(b-2a)i=5,故解得a=1,b=2,故a+b=3,故選D.方法技巧方法技巧(1)復(fù)數(shù)四則運(yùn)算的解答策略復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算,除法的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫成最簡(jiǎn)形式.(2)幾個(gè)常用結(jié)論在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí),記住以下結(jié)論,可提高計(jì)算速度.(1i)2=2i;=i;=-i.i(a+bi)=-b+ai,a,bR.25,20,abba1i1i1i1i(2)由題意可得z=-i=1-2i,故|z|=,選A.1ii1 i1i 5i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN*.3-1(2016課標(biāo)全國(guó),2,5分)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+i=3-i,則=()zA.-1+2iB.1-2iC.3+2iD.3-2i答案答案 Cz=3-2i,所以=3+2i,故選C.z3-2復(fù)數(shù)z=1-i,則+z=()A.+iB.-iC.+iD.-i答案答案 Dz=1-i,+z=+1-i=+1-i=+1-i=-i.1z12321232321232121z11i1 i(1 i)(1 i)1i232123-3已知復(fù)數(shù)z=,是z的共軛復(fù)數(shù),則z=.答案答案 解析解析z=-+i,z=+=.23i(13i)zz1423i(13i)3i22 3i 3i2(13i)( 3i)(13i)2(13i)(13i)2 32i83414z31i4431i4431611614