目 錄 Contents考情精解讀考點(diǎn)1A.知識(shí)全通關(guān)B.題型全突破考法1考法2考法3C.能力大提升專題1專題2考情精解讀 考綱解讀命題趨勢(shì)命題規(guī)律考情精解讀1 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型考試大綱1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)用列舉法計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解隨機(jī)數(shù)的意義,能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率.4.了解幾何概型的意義.考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀2命題趨勢(shì) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型考點(diǎn)2016全國(guó)2015全國(guó)2014全國(guó)自主命題區(qū)域古典概型【70%】全國(guó),3,5分全國(guó),5,5分全國(guó),4,5分全國(guó),13,5分全國(guó),13,5分2016山東,16,12分2016北京,6,5分2016四川,13,5分2016江蘇,7,5分2015山東,16,12分2015天津,15()2015江蘇,5,5分2015四川,11,12分2014山東,16,12分考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀3命題趨勢(shì) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型考點(diǎn)2016全國(guó)2015全國(guó)2014全國(guó)自主命題區(qū)域古典概型【70%】全國(guó),3,5分全國(guó),5,5分全國(guó),4,5分全國(guó),13,5分全國(guó),13,5分2014浙江,14,4分2014江蘇,4,5分2014上海,13,4分2014四川,16,12分2014天津,15,13分幾何概型【10%】全國(guó),8,5分2015山東,7,5分考綱解讀命題規(guī)律考情精解讀4返回目錄1.熱點(diǎn)預(yù)測(cè)古典概型是高考考查的熱點(diǎn),可在填空題、選擇題中單獨(dú)考查,分值5分,也可在解答題中與統(tǒng)計(jì)等綜合考查,分值612分. 此外,對(duì)幾何概型的考查也應(yīng)重視.2.趨勢(shì)分析預(yù)測(cè)2018年,古典概型仍是考查的重點(diǎn),此外幾何概型與線性規(guī)劃、立體幾何相關(guān)聯(lián)的題目也是高考考查的趨勢(shì),應(yīng)引起重視.命題趨勢(shì) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型 知識(shí)全通關(guān)知識(shí)全通關(guān)1考點(diǎn)1古典概型繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型1.基本事件一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的每一個(gè)結(jié)果稱為一個(gè)基本事件.基本事件有如下特點(diǎn):(1)任何兩個(gè)基本事件都是互斥的;(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.2.古典概型的概念及特點(diǎn)我們將具有下面兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型,簡(jiǎn)稱古典概型:(1)有限性,即在一次試驗(yàn)中,基本事件的個(gè)數(shù)是有限的;(2)等可能性,即每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性是相等的.【注意】下列三類試驗(yàn)不是古典概型:(1)基本事件個(gè)數(shù)有限,但非等可能;(2)基本事件個(gè)數(shù)無(wú)限,但等可能;(3)基本事件個(gè)數(shù)無(wú)限,也不等可能.知識(shí)全通關(guān)2 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)3.古典概型的概率公式(1)古典概型的概率公式(2)從集合的觀點(diǎn)看古典概型從集合的觀點(diǎn)來(lái)看,如果把一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的n個(gè)等可能結(jié)果組成一個(gè)集合I,那么每個(gè)結(jié)果都是I的元素.包含m個(gè)結(jié)果的一個(gè)事件就對(duì)應(yīng)I的某個(gè)有m個(gè)元素的子集A.所以該事件的概率是子集A的元素個(gè)數(shù)(記為card(A)與集合I的元素個(gè)數(shù)(card(I)的比值,即【注意】(1)一個(gè)試驗(yàn)是否為古典概型,在于這個(gè)試驗(yàn)是否具有古典概型的兩個(gè)特征有限性和等可能性;(2)古典概型的概率計(jì)算結(jié)果與模型的選擇無(wú)關(guān).(A)AP包含的基本事件的個(gè)數(shù)基本事件的總數(shù)card( )card( )PAmIn知識(shí)全通關(guān)3 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)【辨析比較】頻率的計(jì)算公式與古典概型的概率計(jì)算公式的異同名稱不同點(diǎn)相同點(diǎn)頻率計(jì)算公式頻率計(jì)算中的m,n均隨隨機(jī)試驗(yàn)的變化而變化,但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多,它們的比值逐漸趨近于概率值古典概型的概率計(jì)算公式是一個(gè)定值,對(duì)同一個(gè)隨機(jī)事件而言,m,n都不會(huì)變化知識(shí)全通關(guān)4 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)考點(diǎn)2幾何概型1.幾何概型的概念如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡(jiǎn)稱幾何概型.2.幾何概型的特點(diǎn)(1)無(wú)限性,即試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件有無(wú)限多個(gè);(2)等可能性,即每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相等.【辨析比較】幾何概型與古典概型的異同名稱古典概型幾何概型相同點(diǎn)基本事件發(fā)生的可能性相等不同點(diǎn)基本事件有有限個(gè);P(A)=0A為不可能事件;P(B)=1B為必然事件基本事件有無(wú)限個(gè);P(A)=0A為不可能事件;P(B)=1B為必然事件知識(shí)全通關(guān)5 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)3.幾何概幾何概型的概率公式型的概率公式知識(shí)全通關(guān)6 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)【名師提醒】在幾何概型中,如果A是隨機(jī)事件,(1)若A是不可能事件,則P(A)=0肯定成立;如果隨機(jī)事件所在的區(qū)域是一個(gè)單點(diǎn),由于單點(diǎn)的長(zhǎng)度、面積和體積都是0,則它出現(xiàn)的概率為0,顯然它不是不可能事件,因此由P(A)=0不能推出A是不可能事件.(2)若A是必然事件,則P(A)=1肯定成立;如果一個(gè)隨機(jī)事件所在的區(qū)域是從全部區(qū)域中扣除一個(gè)單點(diǎn),則它出現(xiàn)的概率是1,但它不是必然事件,因此由P(A)=1不能推出A是必然事件.知識(shí)全通關(guān)7 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)4.幾何概型的常見類型(1)與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型,其基本事件只與一個(gè)連續(xù)的變量有關(guān);(2)與面積有關(guān)的幾何概型,其基本事件與兩個(gè)連續(xù)的變量有關(guān),若已知圖形不明確,可將兩個(gè)變量分別作為一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo),這樣基本事件就構(gòu)成了平面上的一個(gè)區(qū)域,即可借助平面區(qū)域解決問(wèn)題;(3)與角度有關(guān)的幾何概型的求法如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用角度表示,則其概率的計(jì)算公式為(A)AP構(gòu)成事件 的區(qū)域角度試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域角度知識(shí)全通關(guān)8 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是事件A在區(qū)域角度內(nèi)是均勻的,進(jìn)而判定事件的發(fā)生是等可能的.(4)與體積有關(guān)的幾何概型的求法如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示,則其概率的計(jì)算公式為解此類問(wèn)題一定要注意幾何概型的條件.(A)AP構(gòu)成事件 的區(qū)域體積試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域體積返回目錄 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型題型全突破9考點(diǎn)3隨機(jī)模擬用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡羅方法.這種方法的基本步驟是:(1)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù),并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義;(2)統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N;(3)計(jì)算頻率fn(A)= M/n作為所求概率的近似值.隨機(jī)模擬估計(jì)概率的適用范圍是:(1)對(duì)于滿足“有限性”但不滿足“等可能性”的概率問(wèn)題我們可采取隨機(jī)模擬方法;(2)對(duì)于一些基本事件的總數(shù)比較大而導(dǎo)致很難把它列舉得不重復(fù)、不遺漏的概率問(wèn)題或?qū)τ诨臼录牡瓤赡苄员容^難于驗(yàn)證的概率問(wèn)題,應(yīng)考慮用隨機(jī)模擬方法.題型全突破考法1 求古典概型的概率繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型題型全突破1考法透析 1.古典概型的概率求解步驟: 2.基本事件個(gè)數(shù)的確定方法(1)列舉法:此法適合于基本事件個(gè)數(shù)較少的古典概型.(2)列表法:此法適合于從多個(gè)元素中選定兩個(gè)元素的試驗(yàn),也可看成坐標(biāo)法.(3)樹狀圖法:樹狀圖是進(jìn)行列舉的一種常用方法,適用于有順序的問(wèn)題及較復(fù)雜問(wèn)題中基本事件數(shù)的探求.(4)運(yùn)用排列組合知識(shí)計(jì)算. 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破2考法示例1某班級(jí)的某一小組有6位學(xué)生,其中4位男生,2位女生,現(xiàn)從中選取2位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組,求下列事件的概率:(1)選取的2位學(xué)生都是男生;(2)選取的2位學(xué)生一位是男生,另一位是女生. 思路分析 首先,直接列舉出任取2位學(xué)生的所有基本事件,求出總數(shù),其次,分別列舉求出(1)(2)兩個(gè)事件含有的基本事件數(shù),最后,利用概率公式求解. 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破3解析 設(shè)4位男生的編號(hào)分別為1,2,3,4;2位女生的編號(hào)分別為5,6.從6位學(xué)生中任取2位學(xué)生的所有可能結(jié)果如下:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15個(gè).(1)從6位學(xué)生中選取2位學(xué)生,所選取的2位全是男生的取法,有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共6個(gè).選取的2位學(xué)生都是男生的概率為P=(2)從6位學(xué)生中選取2位,其中一位是男生,而另一位是女生,其取法包括(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),共8個(gè).選取的2位學(xué)生一位是男生,另一位是女生的概率為P= 25815 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破2 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破3 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型【突破攻略】繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破3列舉法是一種形象、直觀的好方法，列舉時(shí)需注意：（1）盡量按某一順序，以做到不重復(fù)、不遺漏.（2）是否有順序，有序和無(wú)序是有區(qū)別的，可以交換次序來(lái)看是否對(duì)結(jié)果造成影響，有影響就是有序，無(wú)影響即無(wú)序.（3）是否允許重復(fù)，即是放回的還是不放回的，放回的取元素是允許重復(fù)的，不放回的取元素是不允許重復(fù)的. 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型考法2 與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型問(wèn)題繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破4考法指導(dǎo)求幾何概型概率的基本步驟求幾何概型概率的基本步驟:考法示例考法示例3 在等腰直角三角形ABC中,直角頂點(diǎn)為C.(1)在斜邊AB上任取一點(diǎn)M,求AMAC的概率;(2)在ACB的內(nèi)部,以C為端點(diǎn)任作一條射線CM,與線段AB交于點(diǎn)M,求AMAC的概率. 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破5解析 (1)如圖所示,在AB上取一點(diǎn)C,使AC=AC,連接CC.由題意,知AB=AC.由于點(diǎn)M是在斜邊AB上任取的,所以點(diǎn)M等可能分布在線段AB上,因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是線段AB.所以(2)由于在ACB內(nèi)作射線CM,等可能分布的是CM在ACB內(nèi)的任一位置(如圖所示),因此基本事件的區(qū)域應(yīng)是ACB,所以2)22(ACACP AMACABAC()-43242ACCP AMACACB 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型考法3 與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破6考法指導(dǎo)求解與面積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題,關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形,利用圖形的幾何特征找出兩個(gè)“面積”,套用幾何概型的概率計(jì)算公式,從而求得隨機(jī)事件的概率. 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破7 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型考法4 隨機(jī)模擬的應(yīng)用繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破8考法指導(dǎo)利用隨機(jī)模擬試驗(yàn)可以近似計(jì)算不規(guī)則圖形A的面積,解題的依據(jù)是根據(jù)隨機(jī)模擬估計(jì)概率 然后根據(jù) 列等式求A的面積.為了方便解題,我們常常設(shè)計(jì)出一個(gè)規(guī)則的圖形(面積為定值)來(lái)表示隨機(jī)取點(diǎn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域.(A)AP隨機(jī)取的點(diǎn)落在 中的頻數(shù)隨機(jī)取點(diǎn)的總次數(shù)(A)AP構(gòu)成事件 的區(qū)域面積隨機(jī)取點(diǎn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型繼續(xù)學(xué)習(xí)題型全突破9考法示例5 如圖,矩形長(zhǎng)為6,寬為4,在矩形內(nèi)隨機(jī)地撒300顆黃豆,數(shù)得落在橢圓外的黃豆為96顆,以此試驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)估計(jì)橢圓的面積為A.7.68B.8.68C.16.32D.17.32返回目錄 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型題型全突破10能力大提升專題1“約會(huì)型”問(wèn)題的求解繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型能力大提升1求解由兩個(gè)量決定的概率問(wèn)題時(shí),通過(guò)建立坐標(biāo)系,借助于縱、橫坐標(biāo)關(guān)系產(chǎn)生的區(qū)域面積,得到問(wèn)題的結(jié)論,我們稱此類問(wèn)題為“約會(huì)型”概率問(wèn)題.“約會(huì)型”概率問(wèn)題的求解關(guān)鍵在于合理、恰當(dāng)?shù)匾胱兞?再將具體問(wèn)題“數(shù)學(xué)化”,通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型,得出結(jié)論. 示例6 甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭,它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1 h,乙船停泊時(shí)間為2 h,求它們中任意一船都不需要等待碼頭空出的概率. 繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講 古典概型與幾何概型能力大提升2解析 設(shè)甲、乙兩船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y,則0 x24,0y24,要使兩船都不需要等待碼頭空出,則必有甲比乙早到達(dá)1 h及以上或乙比甲早到達(dá)2 h及以上,即y-x1或x-y2.故所求事件構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锳=(x,y)|y-x1或x-y2,x0,24,y0,24.如圖14-2-6中陰影部分所示,全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?qū)?yīng)邊長(zhǎng)為24的正方形.由幾何概型的概率計(jì)算公式,可得所求概率 所以兩船都不需要等待碼頭空出的概率約為0.879.222(A)11(24-1)(24-2)506.5220.87924576PA的面積的面積繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型能力大提升3圖13-2-7繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型能力大提升4專題2古典概型與其他知識(shí)的綜合繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型能力大提升5繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型能力大提升6繼續(xù)學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型能力大提升7示例10城市公交車的數(shù)量太多容易造成資源的浪費(fèi),太少又難以滿足乘客需求,為此,某市公交公司在某站臺(tái)的60名候車乘客中隨機(jī)抽取15人,將他們的候車時(shí)間(單位:分鐘)作為樣本分成5組,如下表所示:1)求這15名乘客的平均候車時(shí)間;(2)估計(jì)這60名乘客中候車時(shí)間少于10分鐘的人數(shù);(3)若從上表第三、四組的6人中選2人作進(jìn)一步的問(wèn)卷調(diào)查,求抽到的2人恰好來(lái)自不同組的概率.組別候車時(shí)間人數(shù)一0,5) 2二5,10)6三10,15)4四15,20)2五20,251返回目錄 數(shù)學(xué) 第二講古典概型與幾何概型能力大提升8158