12.6離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.離散型隨機(jī)變量的均值與方差離散型隨機(jī)變量的均值與方差知識(shí)梳理若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(Xai)pi(i1,2，r).(1)均值EX ，均值EX刻畫的是 .(2)方差DX 為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的 .a1p1a2p2arprX取值的“中心位置”E(XEX)2平均偏離程度2.二項(xiàng)分布的均值、方差二項(xiàng)分布的均值、方差若XB(n，p)，則EX ，DX .3.正態(tài)分布正態(tài)分布(1)XN(，2)，表示X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布.(2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)圖像關(guān)于 對(duì)稱； 決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”；P(X) ；P(2X2) ；P(3X0)的大小95.4%68.3%99.7%判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均數(shù)是隨機(jī)變量，它不確定.()(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離變量的平均程度越小.()(3)正態(tài)分布中的參數(shù)和完全確定了正態(tài)分布，參數(shù)是正態(tài)分布的均值，是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.()(4)一個(gè)隨機(jī)變量如果是眾多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用結(jié)果之和，它就服從或近似服從正態(tài)分布.()(5)均值是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無(wú)關(guān).()思考辨析思考辨析 考點(diǎn)自測(cè)1.(教材改編)某射手射擊所得環(huán)數(shù)的分布列如下：答案解析已知的均值E8.9，則y的值為A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.978910Px0.10.3y 答案解析2.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為P(k) (k2,4,6,8,10)，則D等于A.8 B.5C.10 D.12 3.已知隨機(jī)變量X8，若XB(10,0.6)，則隨機(jī)變量的均值E及方差D分別是A.6和2.4 B.2和2.4C.2和5.6 D.6和5.6答案解析DX100.6(10.6)2.4，設(shè)隨機(jī)變量X的均值及方差分別為EX，DX，因?yàn)閄B(10,0.6)，所以EX100.66，故EE(8X)8EX2，DD(8X)DX2.4.4.設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，x10的均值和方差分別為1和4，若yixia(a為非零常數(shù)，i1,2，10)，則y1，y2，y10的均值和方差分別為_(kāi).答案解析1a,45.某班有50名學(xué)生，一次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布N(100,102)，已知P(90100)0.3，估計(jì)該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為_(kāi).答案解析10題型分類深度剖析題型分類深度剖析題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差題型一離散型隨機(jī)變量的均值、方差命題點(diǎn)命題點(diǎn)1求離散型隨機(jī)變量的均值、方差求離散型隨機(jī)變量的均值、方差例例1(2016山東)甲、乙兩人組成“星隊(duì)”參加猜成語(yǔ)活動(dòng)，每輪活動(dòng)由甲、乙各猜一個(gè)成語(yǔ)，在一輪活動(dòng)中，如果兩人都猜對(duì)，則“星隊(duì)”得3分；如果只有一個(gè)人猜對(duì)，則“星隊(duì)”得1分；如果兩人都沒(méi)猜對(duì)，則“星隊(duì)”得0分.已知甲每輪猜對(duì)的概率是 ，乙每輪猜對(duì)的概率是 ，每輪活動(dòng)中甲、乙猜對(duì)與否互不影響，各輪結(jié)果亦互不影響.假設(shè)“星隊(duì)”參加兩輪活動(dòng)，求：(1)“星隊(duì)”至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)的概率； 解答記事件A：“甲第一輪猜對(duì)”，記事件B：“乙第一輪猜對(duì)”，記事件C：“甲第二輪猜對(duì)”，記事件D：“乙第二輪猜對(duì)”，記事件E：“星隊(duì)至少猜對(duì)3個(gè)成語(yǔ)”.由事件的獨(dú)立性與互斥性，(2)“星隊(duì)”兩輪得分之和X的分布列和均值EX.解答由題意，得隨機(jī)變量X可能的取值為0,1,2,3,4,6.由事件的獨(dú)立性與互斥性，得可得隨機(jī)變量X的分布列為X012346P命題點(diǎn)命題點(diǎn)2已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值已知離散型隨機(jī)變量的均值與方差，求參數(shù)值例例2設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分.(1)當(dāng)a3，b2，c1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列； 解答由題意得2,3,4,5,6，所以的分布列為23456P 解答由題意知的分布列為123P解得a3c，b2c，故abc321.離散型隨機(jī)變量的均值與方差的常見(jiàn)類型及解題策略(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差.可依題設(shè)條件求出離散型隨機(jī)變量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求參數(shù)值.可依據(jù)條件利用均值、方差公式得出含有參數(shù)的方程(組)，解方程(組)即可求出參數(shù)值.(3)由已知條件，作出對(duì)兩種方案的判斷.可依據(jù)均值、方差的意義，對(duì)實(shí)際問(wèn)題作出判斷.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(2015四川)某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).(1)求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；解答因此，A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率為(2)某場(chǎng)比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，設(shè)X表示參賽的男生人數(shù)，求X的分布列和均值. 解答根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3，所以X的分布列為X123P題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用題型二均值與方差在決策中的應(yīng)用例例3(2016全國(guó)乙卷)某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買，則每個(gè)500元.現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購(gòu)買的易損零件數(shù). 解答(1)求X的分布列；由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4,0.2,0.2，從而P(X16)0.20.20.04，P(X17)20.20.40.16，P(X18)20.20.20.40.40.24，P(X19)20.20.220.40.20.24，P(X20)20.20.40.20.20.2，P(X21)20.20.20.08，P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列為X16171819202122P0.04 0.16 0.24 0.240.20.08 0.04(2)若要求P(Xn)0.5，確定n的最小值； 解答由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值為19.(3)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的均值為決策依據(jù)，在n19與n20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ 解答記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購(gòu)買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元).當(dāng)n19時(shí)，EY192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040；當(dāng)n20時(shí)，EY202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知當(dāng)n19時(shí)所需費(fèi)用的均值小于n20時(shí)所需費(fèi)用的均值，故應(yīng)選n19.隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù).一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定.思維升華針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.解答若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬(wàn)元，則X1的分布列為若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利X2萬(wàn)元，則X2的分布列為X25003000PX1300150P所以EX1EX2，DX1DX2，這說(shuō)明雖然項(xiàng)目一、項(xiàng)目二獲利相等，但項(xiàng)目一更穩(wěn)妥.綜上所述，建議該投資公司選擇項(xiàng)目一投資. 題型三正態(tài)分布的應(yīng)用題型三正態(tài)分布的應(yīng)用A.P(Y2)P(Y1)B.P(X2)P(X1)C.對(duì)任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)D.對(duì)任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)答案解析對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)檎龖B(tài)分布曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，所以10.5P(Y2)，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閄的正態(tài)分布密度曲線比Y的正態(tài)分布密度曲線更“瘦高”，所以12.所以P(X1)P(X2)，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，由圖像可知，在y軸的右側(cè)某處，顯然滿足P(Xt)P(Yt)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，在y軸右側(cè)作與x軸垂直的一系列平行線，可知在任何情況下，X的正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成的圖形面積都大于Y的正態(tài)分布密度曲線與x軸之間圍成的圖形面積，即對(duì)任意正數(shù)t，P(Xt)P(Yt)，故D項(xiàng)正確.(2)從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻率分布直方圖： 解答由知，ZN(200,150)，從而P(187.8Z212.2)P(20012.2Z20012.2)0.682 6. 解答()某用戶從該企業(yè)購(gòu)買了100件這種產(chǎn)品，記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù)，利用()的結(jié)果，求EX.由()知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8，212.2)的概率為0.682 6，依題意知XB(100,0.682 6)，所以EX1000.682 668.26. 解答解決正態(tài)分布問(wèn)題有三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)對(duì)稱軸x；(2)標(biāo)準(zhǔn)差；(3)分布區(qū)間.利用對(duì)稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由，分布區(qū)間的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對(duì)稱軸才為x0.思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2015山東)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0，32)，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(，2)，則P()68.26%，P(22)95.44%.)A.4.56% B.13.59%C.27.18% D.31.74%答案解析由正態(tài)分布的概率公式知P(33)0.682 6，P(6P(2).從回答對(duì)題數(shù)的均值考查，兩人水平相當(dāng)；從回答對(duì)題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少正確回答2題的概率考查，甲獲得通過(guò)的可能性大.因此可以判斷甲的通過(guò)能力較強(qiáng). 12分 返回求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問(wèn)題的一般步驟：第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能值；第二步：求每一個(gè)可能值所對(duì)應(yīng)的概率；第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列；第四步：求均值和方差；第五步：根據(jù)均值、方差、進(jìn)行判斷，并得出結(jié)論(適用于均值、方差的應(yīng)用問(wèn)題)；第六步：反思回顧.查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范. 返回課時(shí)作業(yè)課時(shí)作業(yè)1.(2016鄭州一模)某班舉行了一次“心有靈犀”的活動(dòng)，教師把一張寫有成語(yǔ)的紙條出示給A組的某個(gè)同學(xué)，這個(gè)同學(xué)再用身體語(yǔ)言把成語(yǔ)的意思傳遞給本組其他同學(xué).若小組內(nèi)同學(xué)甲猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.4，同學(xué)乙猜對(duì)成語(yǔ)的概率是0.5，且規(guī)定猜對(duì)得1分，猜不對(duì)得0分，則這兩個(gè)同學(xué)各猜1次，得分之和X(單位：分)的均值為A.0.9 B.0.8 C.1.2 D.1.1答案解析123456789由題意得X0,1,2，則P(X0)0.60.50.3，P(X1)0.40.50.60.50.5，P(X2)0.40.50.2，EX10.520.20.9.1234567892.(2017蕪湖質(zhì)檢)若XB(n，p)，且EX6，DX3，則P(X1)的值為A.322 B.24C.3210 D.28 答案 解析1234567893.設(shè)隨機(jī)變量XN(，2)，且X落在區(qū)間(3，1)內(nèi)的概率和落在區(qū)間(1,3)內(nèi)的概率相等，若P(X2)p，則P(0X2)p，P(2x2)12p，123456789答案解析 答案 解析20記此人三次射擊擊中目標(biāo)次數(shù)為X，得分為Y，123456789123456789 答案 解析2(1)2x設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么123456789解答(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測(cè)中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及均值E.123456789解答由題意，得隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3，123456789所以，隨機(jī)變量的分布列為 0123P故隨機(jī)變量的均值1234567897.(2016汕尾調(diào)研)為了解某市高三學(xué)生身高情況，對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行了測(cè)量，經(jīng)分析，全市高三學(xué)生身高X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(160，2)，已知P(X150)0.2，P(X180)0.03.(1)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，求該學(xué)生身高在區(qū)間170,180)的概率；解答123456789由全市高三學(xué)生身高X服從N(160，2)，P(X150)0.2，得P(160X170)P(150X160)0.50.20.3.因?yàn)镻(X180)0.03，所以P(170X180)0.50.30.030.17.故從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取一名學(xué)生，該學(xué)生身高在區(qū)間170,180)的概率為0.17.123456789(2)現(xiàn)從該市高三學(xué)生中隨機(jī)抽取三名學(xué)生，記抽到的三名學(xué)生身高在區(qū)間150,170)的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和均值E.解答123456789所以P(0)(10.6)30.064，P(1)30.6(10.6)20.288，P(2)30.62(10.6)0.432，P(3)0.630.216.所以的分布列為因?yàn)镻(150X170)P(150X160)P(160XE(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大.記“這2人的累計(jì)得分X3”為事件A，則事件A包含有“X0”，“X2”，“X3”三個(gè)兩兩互斥的事件，123456789(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計(jì)得分為X1，都選擇方案乙所獲得的累計(jì)得分為X2，則X1，X2的分布列如下：123456789X1024PX2036P因?yàn)镋X1EX2，123456789所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的均值較大.*9.為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)模擬兌獎(jiǎng)的方式對(duì)1 000位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有4個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額.(1)若袋中所裝的4個(gè)球中有1個(gè)所標(biāo)的面值為50元，其余3個(gè)均為10元，求：顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為60元的概率；顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列及均值； 解答123456789設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X.依題意，得X的所有可能取值為20,60.123456789所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為X2060P123456789故X的分布列為(2)商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個(gè)球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的4個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由. 解答123456789根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為60元，所以，先尋找均值為60元的可能方案.對(duì)于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最大值，所以均值不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，因?yàn)?0元是面值之和的最小值，所以均值也不可能為60元.123456789因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對(duì)于面值由20元和40元組成的情況，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.以下是對(duì)兩個(gè)方案的分析.對(duì)于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X1，則X1的分布列為X12060100P123456789對(duì)于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為X2，則X2的分布列為X2406080P123456789由于兩種方案的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值都符合要求，但方案2獎(jiǎng)勵(lì)額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.123456789