高考專題突破四高考中的立體幾何問題考點自測課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引考點自測考點自測 1.正三棱柱ABCA1B1C1中，D為BC中點，E為A1C1中點，則DE與平面A1B1BA的位置關(guān)系為A.相交 B.平行C.垂直相交 D.不確定 答案 解析如圖取B1C1中點為F，連接EF，DF，DE，則EFA1B1，DFB1B，平面EFD平面A1B1BA，DE平面A1B1BA. 2.設(shè)x、y、z是空間不同的直線或平面，對下列四種情形：x、y、z均為直線；x、y是直線，z是平面；z是直線，x、y是平面；x、y、z均為平面.其中使“xz且yzxy”為真命題的是A. B.C. D.由正方體模型可知為假命題；由線面垂直的性質(zhì)定理可知為真命題. 答案 解析 3.(2016成都模擬)如圖是一個幾何體的三視圖(左視圖中的弧線是半圓)，則該幾何體的表面積是A.203 B.243C.204 D.244 答案 解析根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個正方體和一個半圓柱的組合體，其中正方體的棱長為2，半圓柱的底面半徑為1，母線長為2，故該幾何體的表面積為4522 203.4.如圖，在四棱錐VABCD中，底面ABCD為正方形，E、F分別為側(cè)棱VC、VB上的點，且滿足VC3EC，AF平面BDE，則 _.答案解析2連接AC交BD于點O，連接EO，取VE的中點M，連接AM，MF，VC3EC，VMMEEC，又AOCO，AMEO，又EO平面BDE，AM平面BDE，又AF平面BDE，AMAFA，平面AMF平面BDE，又MF平面AMF，MF平面BDE，又MF平面VBC，平面VBC平面BDEBE，5.如圖，在三棱錐PABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點.若PAAC，PA6，BC8，DF5.則直線PA與平面DEF的位置關(guān)系是_；平面BDE與平面ABC的位置關(guān)系是_.(填“平行”或“垂直”)答案解析平行垂直因為D，E分別為棱PC，AC的中點，所以DEPA.又因為PA 平面DEF，DE平面DEF，所以直線PA平面DEF.因為D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點，PA6，BC8，所以DEPA，DE PA3，EF BC4.又因為DF5，故DF2DE2EF2，所以DEF90，即DEEF.又PAAC，DEPA，所以DEAC.因為ACEFE，AC平面ABC，EF平面ABC，所以DE平面ABC，又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC.題型分類題型分類深度剖析深度剖析例例1(2016全國甲卷)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點O，點E，F(xiàn)分別在AD，CD上，AECF，EF交BD于點H，將DEF沿EF折到DEF的位置.(1)證明：ACHD；題型一求空間幾何體的表面積與體積題型一求空間幾何體的表面積與體積證明由已知得ACBD，ADCD，故ACEF，由此得EFHD，折后EF與HD保持垂直關(guān)系，即EFHD，所以ACHD.解答所以O(shè)H1，DHDH3，故ODOH.由(1)知ACHD，又ACBD，BDHDH，所以AC平面DHD，于是ACOD，又由ODOH，ACOHO，所以O(shè)D平面ABC.(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進行求解.其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積.(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解.(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1正三棱錐的高為1，底面邊長為2 ，內(nèi)有一個球與它的四個面都相切(如圖).求：(1)這個正三棱錐的表面積；解答(2)這個正三棱錐內(nèi)切球的表面積與體積.解答設(shè)正三棱錐PABC的內(nèi)切球球心為O，連接OP，OA，OB，OC，而O點到三棱錐的四個面的距離都為球的半徑r.VPABCVOP ABVOPBCVOP ACVOABC題型二空間點、線、面的位置關(guān)系題型二空間點、線、面的位置關(guān)系例例2(2016濟南模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點.(1)求證：平面ABE平面B1BCC1；證明在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC.因為AB平面ABC，所以BB1AB.又因為ABBC，BCBB1B，所以AB平面B1BCC1.又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.證明(2)求證：C1F平面ABE；方法一方法一如圖1，取AB中點G，連接EG，F(xiàn)G.因為E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點，因為ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1，所以四邊形FGEC1為平行四邊形，所以C1FEG.又因為EG平面ABE，C1F 平面ABE，所以C1F平面ABE.方法二方法二如圖2，取AC的中點H，連接C1H，F(xiàn)H.因為H，F(xiàn)分別是AC，BC的中點，所以HFAB，又因為E，H分別是A1C1，AC的中點，所以EC1綊AH，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1HAE，又C1HHFH，AEABA，所以平面ABE平面C1HF，又C1F平面C1HF，所以C1F平面ABE.解答(3)求三棱錐EABC的體積.因為AA1AC2，BC1，ABBC，所以三棱錐EABC的體積(1)證明面面垂直，將“面面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線面垂直”問題，再將“線面垂直”問題轉(zhuǎn)化為“線線垂直”問題.證明C1F平面ABE：()利用判定定理，關(guān)鍵是在平面ABE中找(作)出直線EG，且滿足C1FEG.()利用面面平行的性質(zhì)定理證明線面平行，則先要確定一個平面C1HF滿足面面平行，實施線面平行與面面平行的轉(zhuǎn)化.(2)計算幾何體的體積時，能直接用公式時，關(guān)鍵是確定幾何體的高，不能直接用公式時，注意進行體積的轉(zhuǎn)化.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2如圖，在三棱錐SABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，ASAB.過A作AFSB，垂足為F，點E，G分別是棱SA，SC的中點.求證：(1)平面EFG平面ABC；證明由ASAB，AFSB知F為SB中點，則EFAB，F(xiàn)GBC，又EFFGF，ABBCB，因此平面EFG平面ABC.(2)BCSA.證明由平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBCSB，AF平面SAB，AFSB，所以AF平面SBC，則AFBC.又BCAB，AFABA，則BC平面SAB，又SA平面SAB，因此BCSA.題型三平面圖形的翻折問題題型三平面圖形的翻折問題例例3(2015陜西)如圖1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD ，ABBC ADa，E是AD的中點，O是AC與BE的交點.將ABE沿BE折起到圖2中A1BE的位置，得到四棱錐A1 -BCDE.(1)證明：CD平面A1OC；證明在題圖1中，連接EC，因為ABBC ADa，BAD ，ADBC，E為AD中點，所以BC綊ED，BC綊AE，所以四邊形BCDE為平行四邊形，故有CDBE，所以ABCE為正方形，所以BEAC，即在題圖2中，BEA1O，BEOC，且A1OOCO，從而BE平面A1OC，又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)當(dāng)平面A1BE平面BCDE時，四棱錐A1-BCDE的體積為36 ，求a的值.解答由已知，平面A1BE平面BCDE，且平面A1BE平面BCDEBE，又由(1)知，A1OBE，所以A1O平面BCDE，即A1O是四棱錐A1-BCDE的高，平行四邊形BCDE的面積SBCABa2，平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況.一般地，翻折后還在同一個平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個平面上的性質(zhì)發(fā)生變化.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2016深圳模擬)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD平面ABCD，AB1，BCPC2，作如圖(2)折疊，折痕EFDC.其中點E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后，點P疊在線段AD上的點記為M，并且MFCF.(1)證明：CF平面MDF；證明因為PD平面ABCD，AD平面ABCD，所以PDAD.又因為ABCD是矩形，CDAD，PD與CD交于點D，所以AD平面PCD.又CF平面PCD，所以ADCF，即MDCF.又MFCF，MDMFM，所以CF平面MDF.解答(2)求三棱錐MCDE的體積.幾何畫板展示幾何畫板展示因為PDDC，PC2，CD1，PCD60，如圖，過點F作FGCD交CD于點G，題型四立體幾何中的存在性問題題型四立體幾何中的存在性問題例例4(2016四川雙流中學(xué)月考)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面BMD1N與棱CC1，AA1分別交于點M，N，且M，N均為中點.(1)求證：AC平面BMD1N.證明連接MN.因為M，N分別為CC1，AA1的中點，又因為AA1CC1，且AA1CC1，所以ANCM，且ANCM，所以四邊形ACMN為平行四邊形，所以ACMN.因為MN平面BMD1N，AC 平面BMD1N，所以AC平面BMD1N.(2)若ADCD2，DD12 ，O為AC的中點.BD1上是否存在動點F，使得OF平面BMD1N？若存在，求出點F的位置，并加以證明；若不存在，請說明理由.解答當(dāng)點F滿足D1F3BF時，OF平面BMD1N，證明如下：連接BD，則BD經(jīng)過點O，取BD1的中點G，連接OF，DG，又D1F3BF，所以O(shè)F為三角形BDG的中位線，所以O(shè)FDG.因為BD2 DD1，且G為BD1的中點，所以BD1DG，所以BD1OF.因為底面ABCD為正方形，所以ACBD.又DD1底面ABCD，所以ACDD1，又BDDD1D，所以AC平面BDD1，又OF平面BDD1，所以ACOF.由(1)知ACMN，所以MNOF.又MN，BD1是平面四邊形BMD1N的對角線，所以它們必相交，所以O(shè)F平面BMD1N.對于線面關(guān)系中的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論則否定假設(shè).思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練4如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知DCDD12AD2AB，ADDC，ABDC.(1)求證：D1CAC1；證明在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，連接C1D，DCDD1，四邊形DCC1D1是正方形，DC1D1C.又ADDC，ADDD1，DCDD1D，AD平面DCC1D1，又D1C平面DCC1D1，ADD1C.AD平面ADC1，DC1平面ADC1，且ADDC1D，D1C平面ADC1，又AC1平面ADC1，D1CAC1.(2)問在棱CD上是否存在點E，使D1E平面A1BD.若存在，確定點E位置；若不存在，說明理由.解答假設(shè)存在點E，使D1E平面A1BD.連接AD1，AE，D1E，設(shè)AD1A1DM，BDAEN，連接MN，平面AD1E平面A1BDMN，要使D1E平面A1BD，可使MND1E，又M是AD1的中點，則N是AE的中點.又易知ABNEDN，ABDE.即E是DC的中點.綜上所述，當(dāng)E是DC的中點時，可使D1E平面A1BD.課時作業(yè)課時作業(yè)1.(2016北京順義區(qū)一模)如圖所示，已知平面平面l，.A，B是直線l上的兩點，C，D是平面內(nèi)的兩點，且ADl，CBl，DA4，AB6，CB8.P是平面上的一動點，且有APDBPC，則四棱錐PABCD體積的最大值是答案解析123456789由題意知，PAD，PBC是直角三角形，又APDBPC，所以PADPBC.因為DA4，CB8，所以PB2PA.作PMAB于點M，由題意知，PM.令A(yù)Mt(0t6)，則PA2t24PA2(6t)2，所以PA2124t.1234567892.(2016江西贛中南五校第一次聯(lián)考)已知m，n是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題中正確的是A.若，則B.若mn，m，n，則C.若mn，m，n，則D.若mn，m，則n答案解析對于A，若，則或相交；對于B，若mn，m，n，則或相交；對于D，若mn，m，則n或n.故選C.1234567893.(2016唐山模擬)如圖，ABCDA1B1C1D1為正方體，連接BD，AC1，B1D1，CD1，B1C，現(xiàn)有以下幾個結(jié)論：BD平面CB1D1；AC1平面CB1D1；CB1與BD為異面直線.其中所有正確結(jié)論的序號為_.答案解析123456789由題意可知，BDB1D1，又B1D1平面CB1D1，BD 平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，正確；易知AC1B1D1，AC1B1C，又B1D1B1CB1，所以AC1平面CB1D1，正確；由異面直線的定義可知正確.1234567894.如圖梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E、F分別是AB、CD的中點，將四邊形ADFE沿直線EF進行翻折，給出四個結(jié)論：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平面DCF平面BFC.在翻折過程中，可能成立的結(jié)論是_.(填寫結(jié)論序號)答案解析123456789因為BCAD，AD與DF相交不垂直，所以BC與DF不垂直，則錯誤；設(shè)點D在平面BCF上的投影為點P，當(dāng)BPCF時就有BDFC，而ADBCAB234，可使條件滿足，所以正確；當(dāng)點P落在BF上時，DP平面BDF，從而平面BDF平面BCF，所以正確；因為點D的投影不可能在FC上，所以平面DCF平面BFC不成立，即錯誤.故答案為.1234567895.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E是棱BC的中點，點F是棱CD上的動點，當(dāng) _時，D1E平面AB1F.1答案解析123456789如圖，連接A1B，則A1B是D1E在平面ABB1A1內(nèi)的射影.AB1A1B，D1EAB1，又D1E平面AB1FD1EAF.連接DE，則DE是D1E在底面ABCD內(nèi)的投影，D1EAFDEAF.ABCD是正方形，E是BC的中點，123456789當(dāng)且僅當(dāng)F是CD的中點時，DEAF，即當(dāng)點F是CD的中點時，D1E平面AB1F，1234567896.(2016咸陽模擬)如圖，梯形ABEF中，AFBE，ABAF，且ABBCADDF2CE2，沿DC將梯形CDFE折起，使得平面CDFE平面ABCD.(1)證明：AC平面BEF；證明123456789如圖，取BF的中點M，設(shè)AC與BD交點為O，連接MO，ME.123456789CE綊MO，故四邊形OCEM為平行四邊形，EMCO，即EMAC.又AC 平面BEF，EM平面BEF，AC平面BEF.123456789解答(2)求三棱錐DBEF的體積.平面CDFE平面ABCD，平面CDFE平面ABCDDC，BCDC，BC平面DEF.7.(2016山東牟平一中期末)如圖，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，ACB1D，BB1底面ABCD，E，F(xiàn)，H分別為AD，CD，DD1的中點，EF與BD交于點G.(1)證明：平面ACD1平面BB1D；證明123456789BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1.又ACB1D，BB1B1DB1，AC平面BB1D.AC平面ACD1，平面ACD1平面BB1D.123456789(2)證明：GH平面ACD1.證明設(shè)ACBDO，連接OD1.E，F(xiàn)分別為AD，CD的中點，EFODG，G為OD的中點.H為DD1的中點，HGOD1.GH 平面ACD1，OD1 平面ACD1，GH平面ACD11234567891234567898.(2016北京東城區(qū)一模)如圖，在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是菱形，點O是對角線AC與BD的交點，AB2，BAD60，M是PD的中點.(1)求證：OM平面PAB；證明因為在PBD中，O，M分別是BD，PD的中點，所以O(shè)MPB.又OM 平面PAB，PB平面PAB，所以O(shè)M平面PAB.123456789(2)求證：平面PBD平面PAC.證明因為底面ABCD是菱形，所以BDAC.因為PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.又ACPAA，所以BD平面PAC.又BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.123456789(3)當(dāng)三棱錐CPBD的體積等于 時，求PA的長.解答因為底面ABCD是菱形，且AB2，BAD60，又VCPBDVPBCD，三棱錐PBCD的高為PA，1234567899.(2016大連測試)如圖，已知三棱柱ABCABC中，平面BCCB底面ABC，BBAC，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，AA3，E，F(xiàn)分別在棱AA，CC上，且AECF2.(1)求證：BB底面ABC；證明123456789如圖，取BC的中點O，連接AO，三角形ABC是等邊三角形，AOBC.平面BCCB底面ABC，AO平面ABC，平面BCCB平面ABCBC，AO平面BCCB.又BB平面BCCB，AOBB.又BBAC，AOACA，AO平面ABC，AC平面ABC，BB底面ABC.(2)在棱AB上找一點M，使得CM平面BEF，并給出證明.123456789解答顯然點M不是點A，B，若棱AB上存在一點M，使得CM平面BEF，過點M作MNAA交BE于N，連接FN，MC，如圖，MNCF，即CM和FN共面，又平面MNFC平面BEFFN，CMFN，四邊形CMNF為平行四邊形，MN2，MN是梯形ABBE的中位線，M為AB的中點.故當(dāng)M為AB的中點時，CM平面BEF.123456789