12.5二項分布及其應(yīng)用基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)1.條件概率及其性質(zhì)條件概率及其性質(zhì)知識梳理(1)一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)0，稱P(B|A) 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的 .在古典概型中，若用n(A)表示事件A中基本事件的個數(shù)，則P(B|A) .(2)條件概率具有的性質(zhì) ；如果B和C是兩個互斥事件，則P(BC|A) .條件概率0P(B|A)1P(B|A)P(C|A)(1)設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B_.(2)若A與B相互獨立，則P(B|A) ，P(AB)P(A)P(B|A) .(3)若A與B相互獨立，則 ， ， 也都相互獨立.2.相互獨立事件相互獨立事件相互獨立P(B)P(A)P(B)(1)一般地，在相同條件下重復(fù)做的幾次試驗稱為 .(2)一般地，在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(Xk) .此時稱隨機變量X服從 ，記為 ，并稱p為成功概率.3.二項分布二項分布n次獨立重復(fù)試驗二項分布XB(n，p)超幾何分布與二項分布的區(qū)別(1)超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；(2)超幾何分布是不放回抽取，而二項分布是放回抽取(獨立重復(fù)).知識拓展知識拓展判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)條件概率一定不等于它的非條件概率.()(2)相互獨立事件就是互斥事件.()(3)對于任意兩個事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立.()(4)二項分布是一個概率分布，其公式相當(dāng)于(ab)n二項展開式的通項公式，其中ap，b1p.()(5)P(B|A)表示在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率.()思考辨析思考辨析 考點自測1.袋中有3紅5黑8個大小形狀相同的小球，從中依次摸出兩個小球，則在第一次摸得紅球的條件下，第二次仍是紅球的概率為答案解析第一次摸出紅球，還剩2紅5黑共7個小球，2.(教材改編)小王通過英語聽力測試的概率是 ，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是 答案解析 3.(2015課標(biāo)全國)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試.已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312答案解析投中3次的概率為P(k3)0.63，4.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是_.答案解析已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，0.85.(教材改編)國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為 ，乙去北京旅游的概率為 ，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_.答案解析記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的對立事件為“甲、乙二人都不去北京旅游”，題型分類題型分類深度剖析深度剖析 題型一條件概率題型一條件概率例例1 (1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A為“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于答案解析(2)如圖所示，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形，將一粒豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(陰影部分)內(nèi)”，則P(B|A)_.答案解析AB表示事件“豆子落在OEH內(nèi)”，引申引申探究探究 解答1.若將本例(1)中的事件B：“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”改為“取到的2個數(shù)均為奇數(shù)”，則結(jié)果如何？2.在本例(2)的條件下，求P(A|B). 解答條件概率的求法(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A) 求P(B|A).(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A) .思維升華 跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1(2016開封模擬)已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為答案解析方法一方法一設(shè)事件A為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件B為“第2次抽到的是卡口燈泡”，方法二方法二第1次抽到螺口燈泡后還剩余9只燈泡，其中有7只卡口燈泡，例例2設(shè)某校新、老校區(qū)之間開車單程所需時間為T，T只與道路暢通狀況有關(guān)，對其容量為100的樣本進行統(tǒng)計，結(jié)果如下： 解答題型二相互獨立事件的概率題型二相互獨立事件的概率T(分鐘)25303540頻數(shù)(次)20304010(1)求T的分布列；由統(tǒng)計結(jié)果可得T的頻率分布為T(分鐘)25303540頻率0.20.30.40.1以頻率估計概率得T的分布列為T25303540P0.20.30.40.1(2)劉教授駕車從老校區(qū)出發(fā)，前往新校區(qū)做一個50分鐘的講座，結(jié)束后立即返回老校區(qū)，求劉教授從離開老校區(qū)到返回老校區(qū)共用時間不超過120分鐘的概率. 解答設(shè)T1，T2分別表示往、返所需時間，T1，T2的取值相互獨立，且與T的分布列相同，設(shè)事件A表示“劉教授共用時間不超過120分鐘”，由于講座時間為50分鐘，所以事件A對應(yīng)于“劉教授在路途中的時間不超過70分鐘”.方法一方法一P(A)P(T1T270)P(T125，T245)P(T130，T240)P(T135，T235)P(T140，T230)0.210.310.40.90.10.50.91.方法二方法二P( )P(T1T270)P(T135，T240)P(T140，T235)P(T140，T240)0.40.10.10.40.10.10.09，求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立.(2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有：利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2(2017青島月考)為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽眾會，決定實施低峰優(yōu)惠票價制度.不超過22千米的地鐵票價如下表：解答乘坐里程x(單位：km)0 x66x1212x22票價(單位：元)345(1)求甲、乙兩人所付乘車費用不相同的概率；則甲、乙兩人所付乘車費用相同的概率(2)設(shè)甲、乙兩人所付乘車費用之和為隨機變量，求的分布列.解答由題意可知，6,7,8,9,10，所以的分布列為678910P題型三獨立重復(fù)試驗與二項分布題型三獨立重復(fù)試驗與二項分布命題點命題點1根據(jù)獨立重復(fù)試驗求概率根據(jù)獨立重復(fù)試驗求概率例例3甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.除第五局甲隊獲勝的概率是 外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是 .假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立.(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率； 解答設(shè)“甲隊以30,31,32勝利”分別為事件A，B，C，(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列. 解答X的可能取值為0,1,2,3，故X的分布列為X0123P命題點命題點2根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布例例4一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為 ，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立.(1)設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列； 解答X可能的取值為10,20,100，200.根據(jù)題意，有所以X的分布列為X1020100200P(2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ 解答設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i1,2,3)，所以“三盤游戲中至少有一盤出現(xiàn)音樂”的概率為獨立重復(fù)試驗與二項分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生k次的概率時，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率.(2)在根據(jù)獨立重復(fù)試驗求二項分布的有關(guān)問題時，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項分布的試驗次數(shù)n和變量的概率，求得概率.思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3(2016沈陽模擬)某學(xué)校舉行聯(lián)歡會，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎.甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”、“待定”、“淘汰”三類票各一張，每個節(jié)目投票時，甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為 ，且三人投票相互沒有影響.若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎；否則，該節(jié)目不能獲一等獎.(1)求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率；解答設(shè)“某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎”這一事件為A，則事件A包括：該節(jié)目可以獲兩張“獲獎”票，或者獲三張“獲獎”票.(2)求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎”和“待定”票票數(shù)之和X的分布列.解答所含“獲獎”和“待定”票票數(shù)之和X的值為0,1,2,3.因此X的分布列為X0123P典例典例(1)中國乒乓球隊甲、乙兩名運動員參加奧運乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是 ，乙奪得冠軍的概率是 ，那么中國隊奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_.(2)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率都是 ，這名射手射擊5次，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外兩次未擊中目標(biāo)的概率是_. 獨立事件與互斥事件現(xiàn)場糾錯現(xiàn)場糾錯系列系列18錯解展示 現(xiàn)場糾錯 糾錯心得(1)搞清事件之間的關(guān)系，不要混淆“互斥”與“獨立”.(2)區(qū)分獨立事件與n次獨立重復(fù)試驗. 返回A、B是互斥事件，(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i1,2,3,4,5)，“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則 返回課時作業(yè)課時作業(yè)1.把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件A，“第二次出現(xiàn)正面”為事件B，則P(B|A)等于答案解析123456789101112132.(2016長春模擬)一袋中有5個白球，3個紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時停止，設(shè)停止時共取了X次球，則P(X12)等于 答案 解析“X12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，123456789101112133.已知A，B是兩個相互獨立事件，P(A)，P(B)分別表示它們發(fā)生的概率，則1P(A)P(B)是下列哪個事件的概率A.事件A，B同時發(fā)生B.事件A，B至少有一個發(fā)生C.事件A，B至多有一個發(fā)生D.事件A，B都不發(fā)生答案解析P(A)P(B)是指A，B同時發(fā)生的概率，1P(A)P(B)是A，B不同時發(fā)生的概率，即事件A，B至多有一個發(fā)生的概率.12345678910111213 答案 解析12345678910111213設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件A，“乙命中目標(biāo)”為事件B，“丙命中目標(biāo)”為事件C，則擊中目標(biāo)表示事件A，B，C中至少有一個發(fā)生.12345678910111213函數(shù)f(x)x24xX存在零點，12345678910111213 答案 解析6.(2016安徽黃山屯溪一中月考)甲罐中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球，3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是答案解析B.事件B與事件A1相互獨立D.P(B)的值不能確定，它與A1，A2，A3中哪一個發(fā)生都有關(guān)12345678910111213由題意A1，A2，A3是兩兩互斥的事件，12345678910111213由此知A，D不正確.故選C.12345678910111213XB(2，p)，12345678910111213答案解析 答案 解析燈泡甲亮滿足的條件是a，c兩個開關(guān)都開，b開關(guān)必須斷開，否則短路.設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應(yīng)為事件AC，且A，B，C之間彼此獨立，12345678910111213 答案 解析設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，1234567891011121310.(2016荊州質(zhì)檢)把一枚硬幣任意拋擲三次，事件A“至少一次出現(xiàn)反面”，事件B“恰有一次出現(xiàn)正面”，則P(B|A)_. 答案 解析1234567891011121311.現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇.為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲.(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率； 解答12345678910111213設(shè)“這4個人中恰有k人去參加甲游戲”為事件Ak(k0,1,2,3,4).這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率為12345678910111213(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率； 解答設(shè)“這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.由于A3與A4互斥，故12345678910111213(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲，乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布列. 解答12345678910111213的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故所以的分布列是024P1234567891011121312.(2016西安模擬)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列； 解答12345678910111213設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6 元/kg”，300101 0002 000,30061 000800.由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4，因為利潤產(chǎn)量市場價格成本.所以X所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，12345678910111213(10.5)0.40.5(10.4)0.5，故X的分布列為P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，X4 0002 000800P0.30.50.212345678910111213(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率. 解答12345678910111213設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i1,2,3)，P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；由題意知C1，C2，C3相互獨立，由(1)知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.30.50.8(i1,2,3)，3季的利潤均不少于2 000元的概率為3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為12345678910111213所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.30.82(10.8)0.384，12345678910111213*13.李明在10場籃球比賽中的投籃情況統(tǒng)計如下(假設(shè)各場比賽相互獨立)：場次投籃次數(shù)命中次數(shù)場次投籃次數(shù)命中次數(shù)主場12212客場1188主場21512客場21312主場3128客場3217主場4238客場41815主場52420客場5251212345678910111213(1)從上述比賽中隨機選擇一場，求李明在該場比賽中投籃命中率超過0.6的概率；根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，在10場比賽中，李明投籃命中率超過0.6的場次有5場，分別是主場2，主場3，主場5，客場2，客場4.所以在隨機選擇的一場比賽中，李明的投籃命中率超過0.6的概率是0.5.12345678910111213 解答(2)從上述比賽中隨機選擇一個主場和一個客場，求李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率. 解答12345678910111213記事件A為“在隨機選擇的一場主場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，根據(jù)投籃統(tǒng)計數(shù)據(jù)，P(A)0.6，P(B)0.4.事件B為“在隨機選擇的一場客場比賽中李明的投籃命中率超過0.6”，事件C為“在隨機選擇的一個主場和一個客場比賽中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6”.所以，在隨機選擇的一個主場和一個客場中，李明的投籃命中率一場超過0.6，一場不超過0.6的概率為0.52.0.60.60.40.40.52.12345678910111213