第第2講講統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例高考定位高考定位1.以選擇題、填空題考查的內(nèi)容有樣本數(shù)字特征的計(jì)算、頻率分布直方圖、條形圖、莖葉圖、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)等；2.以解答題考查線性回歸直線方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)以及概率與統(tǒng)計(jì)的交匯，都屬于中、低檔題，也是必得分的題目.真真 題題 感感 悟悟(2016全國卷)某公司計(jì)劃購買1臺機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰.機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時，可以額外購買這種零件作為備件，每個200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)同時購買幾個易損零件，為此搜集并整理了100臺這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖.記x表示1臺機(jī)器在三年使用期內(nèi)需更換的易損零件數(shù)，y表示1臺機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)，n表示購機(jī)的同時購買的易損零件數(shù).(1)若n19，求y與x的函數(shù)解析式；(2)若要求“需更換的易損零件數(shù)不大于n”的頻率不小于0.5，求n的最小值；(3)假設(shè)這100臺機(jī)器在購機(jī)的同時每臺都購買19個易損零件，或每臺都購買20個易損零件，分別計(jì)算這100臺機(jī)器在購買易損零件上所需費(fèi)用的平均數(shù)，以此作為決策依據(jù)，購買1臺機(jī)器的同時應(yīng)購買19個還是20個易損零件？(2)由柱狀圖知，需更換的零件數(shù)不大于18的頻率為0.46，不大于19的頻率為0.7，故n的最小值為19.考考 點(diǎn)點(diǎn) 整整 合合5.獨(dú)立性檢驗(yàn)對于取值分別是x1，x2和y1，y2的分類變量X和Y，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表是：熱點(diǎn)一統(tǒng)計(jì)微題型1抽樣方法【例11】 (2015湖南卷)在一次馬拉松比賽中，35名運(yùn)動員的成績(單位：分鐘)的莖葉圖如圖所示若將運(yùn)動員按成績由好到差編為135號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間139，151上的運(yùn)動員人數(shù)是()A.3 B.4 C.5 D.6解析由題意知，將135號分成7組，每組5名運(yùn)動員，成績落在區(qū)間139，151的運(yùn)動員共有4組，故由系統(tǒng)抽樣法知，共抽取4名.選B.答案B探究提高(1)隨機(jī)抽樣各種方法中，每個個體被抽到的概率都是相等的；(2)系統(tǒng)抽樣又稱“等距”抽樣，被抽到的各個號碼間隔相同；(3)分層抽樣滿足：各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例.微題型2頻率分布直方圖【例12】 (2016北京卷)某市民用水?dāng)M實(shí)行階梯水價，每人月用水量中不超過w立方米的部分按4元/立方米收費(fèi)，超出w立方米的部分按10元/立方米收費(fèi)，從該市隨機(jī)調(diào)查了10 000位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖：(1)如果w為整數(shù)，那么根據(jù)此次調(diào)查，為使80%以上居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為多少？(2)假設(shè)同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的右端點(diǎn)值代替，當(dāng)w3時，估計(jì)該市居民該月的人均水費(fèi).解(1)如題圖所示，用水量在0.5，3)的頻率的和為：(0.20.30.40.50.3)0.50.85.用水量小于等于3立方米的頻率為0.85，又w為整數(shù)，為使80%以上的居民在該月的用水價格為4元/立方米，w至少定為3.(2)當(dāng)w3時，該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為：(0.110.151.50.220.252.50.153)40.15340.05(3.53)0.05(43)0.05(4.53)107.21.81.510.5(元).即該市居民該月的人均水費(fèi)估計(jì)為10.5元.探究提高利用頻率分布直方圖估計(jì)樣本的數(shù)字特征(1)中位數(shù)：在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等，由此可以估計(jì)中位數(shù)的值.(2)平均數(shù)：平均數(shù)為頻率分布直方圖的“重心”，等于圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.(3)眾數(shù)：在頻率分布直方圖中，眾數(shù)是最高的矩形底邊的中點(diǎn)的橫坐標(biāo).微題型3莖葉圖與數(shù)字特征【例13】 (2015山東卷)為比較甲、乙兩地某月14時的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的5天，將這5天中14時的氣溫?cái)?shù)據(jù)(單位：)制成如圖所示的莖葉圖.考慮以下結(jié)論：甲地該月14時的平均氣溫低于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的平均氣溫高于乙地該月14時的平均氣溫；甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；甲地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月14時的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號為()A. B.C. D.答案B探究提高(1)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里每個數(shù)據(jù)均有關(guān)系，任何一個數(shù)據(jù)的變動都會引起平均數(shù)的變動，而中位數(shù)和眾數(shù)都不具備此性質(zhì).(2)眾數(shù)考查各數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻率，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有不少數(shù)據(jù)多次出現(xiàn)時，眾數(shù)往往更能反映問題.(3)中位數(shù)僅與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)，中位數(shù)可能出現(xiàn)在所給數(shù)據(jù)中，也可能不在所給數(shù)據(jù)中，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中的個別數(shù)據(jù)變動較大時，可用中位數(shù)描述其集中趨勢.【訓(xùn)練1】 (2016合肥5月模擬)為了比較兩種治療失眠癥的藥(分別稱為A藥，B藥)的療效，隨機(jī)地選取20位患者服用A藥，20位患者服用B藥，這40位患者在服用一段時間后，記錄他們?nèi)掌骄黾拥乃邥r間(單位：h).試驗(yàn)的觀測結(jié)果如下：服用A藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：0.61.22.71.52.81.82.22.33.23.52.52.61.22.71.52.93.03.12.32.4服用B藥的20位患者日平均增加的睡眠時間：3.21.71.90.80.92.41.22.61.31.41.60.51.80.62.11.12.51.22.70.5(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，從計(jì)算結(jié)果看，哪種藥的療效更好？(2)根據(jù)兩組數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖，從莖葉圖看，哪種藥的療效更好？(2)由觀測結(jié)果可繪制如下莖葉圖：熱點(diǎn)二統(tǒng)計(jì)案例微題型1對回歸直線方程的考查【例21】 (2015全國卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，對近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i1，2，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y的關(guān)系為z0.2yx.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題：年宣傳費(fèi)x49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？年宣傳費(fèi)x為何值時，年利潤的預(yù)報值最大？附：對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，(un，vn)，其回歸直線vu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為：探究提高若x，y為線性相關(guān)，可直接求其線性回歸方程；若x，y為非線性相關(guān)，可通過換元先建立線性回歸方程，然后再轉(zhuǎn)化為非線性回歸方程.微題型2對獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查【例22】 某新聞媒體為了了解觀眾對央視開門大吉節(jié)目的喜愛與性別是否有關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了觀看該節(jié)目的觀眾110名，得到如下的列聯(lián)表：試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，估計(jì)約有_的把握認(rèn)為“喜愛該節(jié)目與否和性別有關(guān)”.參考附表：答案99%【訓(xùn)練2】 (1)某單位為了解用電量y(度)與氣溫x()之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對照表：(2)春節(jié)期間，“厲行節(jié)約，反對浪費(fèi)”之風(fēng)悄然吹開，某市通過隨機(jī)詢問100名性別不同的居民是否能做到“光盤”行動，得到如下的列聯(lián)表：附：A.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到光盤與性別有關(guān)”B.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，認(rèn)為“該市居民能否做到光盤與性別無關(guān)”C.有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到光盤與性別有關(guān)”D.有90%以上的把握認(rèn)為“該市居民能否做到光盤與性別無關(guān)”答案(1)D(2)C【例3】 某企業(yè)為了解下屬某部門對本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪問50名職工，根據(jù)這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖(如圖所示)，其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為40，50)，50，60)，80，90)，90，100.熱點(diǎn)三概率與統(tǒng)計(jì)的交匯(1)求頻率分布直方圖中a的值；(2)估計(jì)該企業(yè)的職工對該部門評分不低于80的概率；(3)從評分在40，60)的受訪職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人的評分都在40，50)的概率.解(1)因?yàn)?0.004a0.0180.02220.028)101，所以a0.006.(2)由所給頻率分布直方圖知，50名受訪職工評分不低于80的頻率為(0.0220.018)100.4.所以該企業(yè)職工對該部門評分不低于80的概率的估計(jì)值為0.4.探究提高概率試題的核心是概率計(jì)算，統(tǒng)計(jì)試題的核心是樣本數(shù)據(jù)的分布；概率與統(tǒng)計(jì)綜合解答題的主要依托點(diǎn)是統(tǒng)計(jì)圖表，正確認(rèn)識和使用這些圖表是解決問題的關(guān)鍵，因此在復(fù)習(xí)該部分時，要在這些圖表上下工夫，把這些統(tǒng)計(jì)圖表的含義弄清楚，在此基礎(chǔ)上掌握好樣本的數(shù)字特征的計(jì)算方法和各類概率的計(jì)算方法.解答此類試題時要做到：(1)讀取圖表的數(shù)據(jù)要準(zhǔn)確；(2)在計(jì)算古典概型概率時，基本事件的總數(shù)要計(jì)算準(zhǔn)確.【訓(xùn)練3】 (2016北京昌平模擬)某校擬舉辦“成語大賽”，高一(1)班的甲、乙兩名同學(xué)在本班參加“成語大賽”選拔測試，在相同的測試的條件下，兩人5次測試的成績(單位：分)的莖葉圖如圖所示.(1)你認(rèn)為選派誰參賽更好？并說明理由；(2)若從甲、乙兩人5次的成績中各隨機(jī)抽取1次進(jìn)行分析，求抽到的2次成績中至少有1次高于90分的概率.(2)設(shè)事件A：抽到的2次成績中至少有1次高于90分.從甲、乙兩人5次的成績中各隨機(jī)抽取1次，所有的基本事件為58，65，58，82，58，87，58，85，58，95，55，65，55，82，55，87，55，85，55，95，76，65，76，82，76，87，76，85，76，95，88，65，88，82，88，87，88，85，88，95，92，65，92，82，92，87，92，85，92，95，共25個.1.隨機(jī)抽樣的方法有三種，其中簡單隨機(jī)抽樣適用于總體中的個體數(shù)量不多的情況，當(dāng)總體中的個體數(shù)量明顯較多時要使用系統(tǒng)抽樣，當(dāng)總體中的個體具有明顯的層次時使用分層抽樣.系統(tǒng)抽樣最重要的特征是“等距”，分層抽樣最重要的是各層的“比例”.2.用樣本估計(jì)總體(1)在頻率分布直方圖中，各小長方形的面積表示相應(yīng)的頻率，各小長方形的面積的和為1.(2)眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)的異同：眾數(shù)、中位數(shù)及平均數(shù)都是描述一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量，平均數(shù)是最重要的量.(3)當(dāng)總體的個體數(shù)較少時，可直接分析總體取值的頻率分布規(guī)律而得到總體分布；當(dāng)總體容量很大時，通常從總體中抽取一個樣本，分析它的頻率分布，以此估計(jì)總體分布.