《高考數(shù)學(xué) 考前三個月復(fù)習(xí)沖刺 專題8 第39練 隨機(jī)變量及其分布列課件 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前三個月復(fù)習(xí)沖刺 專題8 第39練 隨機(jī)變量及其分布列課件 理（77頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、題型分析高考展望隨機(jī)變量及其分布列是高考的一個必考熱點，主要包括離散型隨機(jī)變量及其分布列，期望與方差，二項分布及其應(yīng)用和正態(tài)分布.對本部分知識的考查，一是以實際生活為背景求解離散型隨機(jī)變量的分布列和期望；二是獨立事件概率的求解；三是考查二項分布.常考題型精析高考題型精練題型一條件概率與相互獨立事件的概率題型二離散型隨機(jī)變量的期望和方差題型三二項分布問題?？碱}型精析題型一條件概率與相互獨立事件的概率例1(1)(2014課標(biāo)全國)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8

2、 B.0.75 C.0.6 D.0.45解析已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，那么在前一天空氣質(zhì)量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率，答案A(2)(2014山東)乒乓球臺面被球網(wǎng)分隔成甲、乙兩部分，如圖，甲上有兩個不相交的區(qū)域A，B，乙被劃分為兩個不相交的區(qū)域C，D.某次測試要求隊員接到落點在甲上的來球后向乙回球.規(guī)定：回球一次，落點在C上記3分，在D上記1分，其他情況記0分.對落點在A上的來球，隊員小明回球的落點在C上的概率為 ，在D上的概率為 ；對落點在B上的來球，小明回球的落點在C上的概率為 ，在D上的概率為 .假設(shè)共有兩次來球且落在A，B上各一次，小明的兩次回球互不影響

3、.求：小明兩次回球的落點中恰有一次的落點在乙上的概率；解記Ai為事件“小明對落點在A上的來球回球的得分為i分”(i0,1,3)，記Bj為事件“小明對落點在B上的來球回球的得分為j分” (j0,1,3)，記D為事件“小明兩次回球的落點中恰有1次的落點在乙上”.由題意，DA3B0A1B0A0B1A0B3，由事件的獨立性和互斥性，得P(D)P(A3B0A1B0A0B1A0B3)P(A3B0)P(A1B0)P(A0B1)P(A0B3)P(A3)P(B0)P(A1)P(B0)P(A0)P(B1)P(A0)P(B3)兩次回球結(jié)束后，小明得分之和的分布列與數(shù)學(xué)期望.解由題意，隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,

4、3,4,6，由事件的獨立性和互斥性，得P(1)P(A1B0A0B1)P(A1B0)P(A0B1)P(3)P(A3B0A0B3)P(A3B0)P(A0B3)P(4)P(A3B1A1B3)P(A3B1)P(A1B3)可得隨機(jī)變量的分布列為點評(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)這是通用的求條件概率的方法.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A) .(3)相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題

5、時先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應(yīng)的公式計算求解.變式訓(xùn)練1(1)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()B(2)(2014陜西)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg) 300500概率0.50.5作物市場價格(元/kg) 610概率0.40.6設(shè)X表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求X的分布列；解設(shè)A表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，B表示事件“作物市場價格為6 元/kg”，

6、由題設(shè)知P(A)0.5，P(B)0.4，利潤產(chǎn)量市場價格成本.X所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.(10.5)0.40.5(10.4)0.5，P(X800)P(A)P(B)0.50.40.2，所以X的分布列為X4 0002 000800P0.30.50.2若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率.解 設(shè)Ci表示事件“第i季利潤不少于2 000元”(i1,2,3)，由題意知C1，C2，C3相互獨立，由知，P(Ci)P(X4 000)P(X2 000)0.

7、30.50.8(i1,2,3)，3季的利潤均不少于2 000元的概率為P(C1C2C3)P(C1)P(C2)P(C3)0.830.512；3季中有2季的利潤不少于2 000元的概率為所以，這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率為0.5120.3840.896.題型二離散型隨機(jī)變量的期望和方差例2(2015山東)若n是一個三位正整數(shù)，且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字，十位數(shù)字大于百位數(shù)字，則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中，每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù)，且只能抽取一次.得分規(guī)則如下：若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除

8、，參加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1分；若能被10整除，得1分.(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ；解個位數(shù)是5的“三位遞增數(shù)”有125,135,145,235,245,345；(2)若甲參加活動，求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).隨機(jī)變量X的取值為：0，1,1，所以X的分布列為點評離散型隨機(jī)變量的期望和方差的求解，一般分兩步：一是定型，即先判斷隨機(jī)變量的分布是特殊類型，還是一般類型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布等屬于特殊類型；二是定性，對于特殊類型的期望和方差可以直接代入相應(yīng)公式求解，而對于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列然后代入相應(yīng)公式計算，注意離散型隨

9、機(jī)變量的取值與概率間的對應(yīng).變式訓(xùn)練2(2014遼寧)一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示.將日銷售量落入各組的頻率視為概率，并假設(shè)每天的銷售量相互獨立.(1)求在未來連續(xù)3天里，有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率；解設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”，A2表示事件“日銷售量低于50個”，B表示事件“在未來連續(xù)3天里有連續(xù)2天的日銷售量不低于100個且另一天銷售量低于50個”.因此P(A1)(0.0060.0040.002)500.6，P(A2)0.003500.15，P(B)0.60.60.1520.108.

10、(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100個的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列，期望E(X)及方差D(X).解X可能取的值為0,1,2,3，相應(yīng)的概率為則X的分布列為X0123P0.0640.2880.4320.216因為XB(3,0.6)，所以期望E(X)30.61.8，方差D(X)30.6(10.6)0.72.題型三二項分布問題例3(2014湖北)計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量X(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和.單位：億立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5

11、年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的頻率，并假設(shè)各年的入流量相互獨立.(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；由二項分布，得在未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率為(2)水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運行臺數(shù)受年入流量X限制，并有如下關(guān)系：年入流量X40X120發(fā)電機(jī)最多可運行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運行，則該臺年利潤為5 000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？解記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運行的概

12、率為1，對應(yīng)的年利潤Y5 000，E(Y)5 00015 000.安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P(40X80)p10.2；當(dāng)X80時，兩臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y5 000210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 2000.210 0000.88 840.安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40X80時，一臺發(fā)電機(jī)運行，此時Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40X120時，三臺發(fā)電機(jī)運行

13、，此時Y5 000315 000，因此P(Y15 000)P(X120)p30.1，由此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 4000.29 2000.715 0000.18 620.綜上，欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺.點評應(yīng)用公式Pn(k)C pk(1p)nk的三個條件：(1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；(2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；(3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分，對方得0分；若比

14、賽結(jié)果為32，則勝利方得2分，對方得1分.求乙隊得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解X的可能的取值為0,1,2,3.X的分布列為高考題型精練12345678910高考題型精練解析設(shè)甲命中目標(biāo)為事件A，乙命中目標(biāo)為事件B，丙命中目標(biāo)為事件C，則目標(biāo)被擊中的事件可以表示為ABC，即擊中目標(biāo)表示事件A、B、C中至少有一個發(fā)生.12345678910高考題型精練12345678910答案A高考題型精練12345678910高考題型精練12345678910解析設(shè)事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為p，事件A全不發(fā)生為事件A至少發(fā)生一次的對立事件，答案A高考題型精練3.先后擲兩次骰子(骰子的六個面上分別有1,2,3,

15、4,5,6個點)，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“xy為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，則概率P(B|A)等于()12345678910高考題型精練12345678910事件A：“xy為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個互斥事件，高考題型精練事件B為“x，y中有偶數(shù)且xy”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且xy”，12345678910答案B高考題型精練12345678910高考題型精練12345678910的分布列為高考題型精練12345678910高考題型精練123456789105.某次知識競賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)

16、設(shè)的5個問題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個問題，即停止答題，晉級下一輪.假設(shè)某選手正確回答每個問題的概率都是0.8，且每個問題的回答結(jié)果相互獨立，則該選手恰好回答了4個問題就晉級下一輪的概率為_.高考題型精練12345678910解析由題設(shè)，分兩類情況：第1個正確，第2個錯誤，第3、4個正確，由乘法公式得P10.80.20.80.80.102 4；第1、2個錯誤，第3、4個正確，此時概率P20.20.20.80.80.025 6.由互斥事件概率公式得PP1P20.102 40.025 60.128.答案0.128高考題型精練12345678910高考題型精練12345678910高考題型精練(

17、1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負(fù)時的總局?jǐn)?shù)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”.12345678910高考題型精練(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)12345678910(2)X的可能取值為2,3,4,5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)高考題型精練P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)12345678910P(X4)P(A1B2

18、A3A4)P(B1A2B3B4)高考題型精練故X的分布列為12345678910高考題型精練8.已知甲箱中只放有x個紅球與y個白球(x，y0，且xy6)，乙箱中只放有2個紅球、1個白球與1個黑球(球除顏色外，無其他區(qū)別).若從甲箱中任取2個球，從乙箱中任取1個球.(1)記取出的3個顏色全不相同的概率為P，求當(dāng)P取得最大值時x，y的值；12345678910高考題型精練當(dāng)且僅當(dāng)xy時等號成立，所以，當(dāng)P取得最大值時，xy3.12345678910高考題型精練(2)當(dāng)x2時，求取出的3個球中紅球個數(shù)的期望E().解當(dāng)x2時，即甲箱中有2個紅球與4個白球，所以的所有可能取值為0,1,2,3.1234

19、5678910高考題型精練所以，紅球個數(shù)的分布列為12345678910高考題型精練9.(2014福建)為回饋顧客，某商場擬通過摸球兌獎的方式對1 000位顧客進(jìn)行獎勵，規(guī)定：每位顧客從一個裝有4個標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出2個球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎勵額.(1)若袋中所裝的4個球中有1個所標(biāo)的面值為50元，其余3個均為10元，求：顧客所獲的獎勵額為60元的概率；顧客所獲的獎勵額的分布列及數(shù)學(xué)期望.12345678910高考題型精練解設(shè)顧客所獲的獎勵額為X.12345678910依題意，得X的所有可能取值為20,60.高考題型精練即X的分布列為12345678910高考題型

20、精練(2)商場對獎勵總額的預(yù)算是60 000元，并規(guī)定袋中的4個球只能由標(biāo)有面值10元和50元的兩種球組成，或標(biāo)有面值20元和40元的兩種球組成.為了使顧客得到的獎勵總額盡可能符合商場的預(yù)算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，請對袋中的4個球的面值給出一個合適的設(shè)計，并說明理由.12345678910高考題型精練12345678910解根據(jù)商場的預(yù)算，每個顧客的平均獎勵額為60元.所以，先尋找期望為60元的可能方案.對于面值由10元和50元組成的情況，如果選擇(10,10,10,50)的方案，因為60元是面值之和的最大值，所以期望不可能為60元；如果選擇(50,50,50,10)的方案，高考題型精

21、練12345678910因為60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能為60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，記為方案1.對于面值由20元和40元組成的情況，同理，可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，記為方案2.高考題型精練12345678910以下是對兩個方案的分析：對于方案1，即方案(10,10,50,50)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X1，則X1的分布列為高考題型精練12345678910對于方案2，即方案(20,20,40,40)，設(shè)顧客所獲的獎勵額為X2，則X2的分布列為高考題型精練123456789

22、10由于兩種方案的獎勵額的期望都符合要求，但方案2獎勵額的方差比方案1的小，所以應(yīng)該選擇方案2.高考題型精練10.(2015安徽)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機(jī)檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結(jié)束.(1)求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；解記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件A.12345678910高考題型精練(2)已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設(shè)X表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望).解X的可能取值為200,300,400.12345678910高考題型精練P(X400)1P(X200)P(X300)12345678910故X的分布列為