隨堂講義隨堂講義專題五專題五立體幾何立體幾何第三講第三講空間向量與立體幾何空間向量與立體幾何 求解立體幾何問題是高考的必考內容求解立體幾何問題是高考的必考內容，每套試卷必有每套試卷必有立體幾何解答題立體幾何解答題，一般設一般設2至至3問問，前一問較簡單前一問較簡單，最后一最后一問難度較大問難度較大，而選用向量法可以降低解題難度而選用向量法可以降低解題難度 預測預測2016年高考仍以棱柱或棱錐為載體年高考仍以棱柱或棱錐為載體，第一問求證第一問求證線面平行、垂直關系線面平行、垂直關系，第二或第三問則求角或探索存在性第二或第三問則求角或探索存在性問題問題，有一定難度有一定難度解析：解析：解法一解法一(1)取取CD中點中點O，連接連接OB，OM， 2如下圖所示，在四棱錐如下圖所示，在四棱錐 OABCD中，底面中，底面ABCD是是邊長為邊長為1的菱形，的菱形，ABC，OA底面底面ABCD，OA2，M為為OA的中點，的中點，N為為BC的中點的中點 (1)證明：直線證明：直線MN平面平面OCD； (2)求異面直線求異面直線AB與與MD所成角的大??；所成角的大??； (3)求點求點B到平面到平面OCD的距離的距離解析：解析：解法一解法一(綜合法綜合法)(1)如右圖所示如右圖所示，取取OB中點中點E，連接連接ME，NE，MEAB，ABCD，MECD.又又NEOC，平面平面MNE平面平面OCD.MN平面平面OCD. 思路點撥：思路點撥：(1)要證明線面垂直可轉化為證明直線與要證明線面垂直可轉化為證明直線與平面內的兩條相交直線垂直；平面內的兩條相交直線垂直；(2)求二面角的平面角求二面角的平面角，一一種方法是利用空間線面之間的推理論證關系作出二面角種方法是利用空間線面之間的推理論證關系作出二面角的平面角的平面角，通過解三角形知識求解；另一種方法是建立通過解三角形知識求解；另一種方法是建立空間直角坐標系空間直角坐標系，求出相關坐標及二面角的兩個平面的求出相關坐標及二面角的兩個平面的法向量法向量，結合向量夾角公式求解結合向量夾角公式求解解析：解析：(1)四棱柱四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都相等的所有棱長都相等， 四邊形四邊形ABCD和四邊形和四邊形A1B1C1D1均為菱形均為菱形，ACBDO，A1C1B1D1O1，O，O1分別為分別為BD，B1D1中點中點四邊形四邊形ACC1A1和四邊形和四邊形BDD1B1為矩形為矩形，OO1CC1BB1且且CC1AC，BB1BD.OO1BD，OO1AC，又又ACBDO且且AC，BD底面底面ABCD，OO1底面底面ABCD. (2)解法一解法一過過O1作作B1O的垂線交的垂線交B1O于點于點H，連接連接HO1，HC1，設四棱柱設四棱柱ABCDA1B1C1D1的邊長為的邊長為2a.OO1底面底面ABCD且底面且底面ABCD面面A1B1C1D1，OO1面面A1B1C1D1.又又O1C1面面A1B1C1D1，O1C1OO1.四邊形四邊形A1B1C1D1為菱形為菱形，O1C1O1B1.又又O1C1OO1且且OO1O1C1O1，O1O、O1B1面面OB1D，O1C1面面OB1D.又又B1O面面OB1D，B1OO1C1.又又B1OO1H且且O1C1O1HO1，O1C1、O1H面面O1HC1，B1O面面O1HC1，O1HC1為二面角為二面角C1OB1D的平面角的平面角，則則cosO1HC1.CBA60且四邊形且四邊形ABCD為菱形為菱形，設設AB為為2a，O1C1a，B1O1a，OO12a，B1Oa，解法二解法二因為四棱柱因為四棱柱ABCDA1B1C1D1的所有棱長都相等的所有棱長都相等，所以四邊形所以四邊形ABCD是棱形是棱形，因此因此，ACBD，又又O1O面面ABCD，從從而而OB，OC，O1O兩兩垂直兩兩垂直，如圖如圖以以O為坐標原點為坐標原點，OB，OC，OO1所在直線分別為所在直線分別為x軸軸，y軸軸，z軸建軸建立三維直角坐標系設立三維直角坐標系設AB2，因因為為CBA60，所以所以OB，OC1，于是各點的坐標為：于是各點的坐標為：O(0，0，0)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)， 求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個求二面角最常用的辦法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾然后通過兩個平面的法向量的夾角求得二面角的大小角求得二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角角是銳角還是鈍角3如圖，如圖，P是邊長為是邊長為1的正六邊形的正六邊形ABCDEF所在平面外所在平面外一點，一點，PA1，P在平面在平面ABCDEF內的射影為內的射影為BF的中點的中點O.(1)證明：證明：PABF；(2)求面求面APB與面與面DPB所成二面角的大小所成二面角的大小解析：解析：平面平面PAD平面平面ABCD，而而PAD90，PA平面平面ABCD，而而ABCD是正方形是正方形，即即ABAD.故可建立如圖所示的空間直角坐故可建立如圖所示的空間直角坐標系標系，則則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0) 空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題空間向量最適合于解決這類立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜繁瑣的作圖、論證、推理它無需進行復雜繁瑣的作圖、論證、推理，只需通過坐標運只需通過坐標運算進行判斷在解題過程中算進行判斷在解題過程中，往往把往往把“是否存在是否存在”問題轉化問題轉化為為“點的坐標是否有解點的坐標是否有解，是否有規(guī)定范圍的解是否有規(guī)定范圍的解”等等，從而使從而使問題的解決更簡單、有效問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法解題應善于運用這一方法解題 1用空間向量解決立體幾何問題時，要根據情況選用空間向量解決立體幾何問題時，要根據情況選擇，易建立空間直角坐標系，可利用空間向量知識解決立擇，易建立空間直角坐標系，可利用空間向量知識解決立體幾何問題體幾何問題 2在用空間向量解決立體幾何問題時，一定要正確在用空間向量解決立體幾何問題時，一定要正確寫出各相關點的坐標，如果要寫十個點的坐標，哪怕你只寫出各相關點的坐標，如果要寫十個點的坐標，哪怕你只有一個點坐標寫錯，最后結果也會錯，所以一定要寫對所有一個點坐標寫錯，最后結果也會錯，所以一定要寫對所有點的坐標有點的坐標 3用空間向量解決的主要立體幾何問題有平行、垂用空間向量解決的主要立體幾何問題有平行、垂直、求角等記住相關結論，掌握各結論的推導過程，是直、求角等記住相關結論，掌握各結論的推導過程，是正確解決問題的前提正確解決問題的前提